Atoroidal

En matemáticas , una 3-variedad atoroidal es una que no contiene un toro esencial . Hay dos variaciones principales en esta terminología: un toro esencial puede definirse geométricamente, como un toro incompresible , no paralelo a la frontera , incrustado , o puede definirse algebraicamente, como un subgrupo de su grupo fundamental que no es conjugado con un subgrupo periférico (es decir, la imagen de la función en el grupo fundamental inducida por una inclusión de un componente de frontera). La terminología no está estandarizada, y diferentes autores requieren que las 3-variedades atoroidales satisfagan ciertas restricciones adicionales. Por ejemplo: ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$

• Boris Apanasov (2000) ofrece una definición de atoroidalidad que combina aspectos geométricos y algebraicos, en términos de aplicaciones de un toro a la variedad y las aplicaciones inducidas en el grupo fundamental. Luego señala que para 3-variedades irreducibles e incompresibles en el límite, esto da la definición algebraica. ^[1]
• Jean-Pierre Otal (2001) utiliza la definición algebraica sin restricciones adicionales. ^[2]
• Bennett Chow (2007) utiliza la definición geométrica, restringida a variedades irreducibles. ^[3]
• Michael Kapovich  (2009) exige que la variante algebraica de las variedades atoroidales (a las que llama simplemente atoroidales) evite ser uno de los tres tipos de fibrado . Hace la misma restricción en las variedades geométricamente atoroidales (a las que llama topológicamente atoroidales) y además exige que eviten las botellas de Klein incrustadas paralelas al borde incompresibles . Con estas definiciones, los dos tipos de atoroidalidad son equivalentes excepto en ciertas variedades de Seifert . ^[4]

Una variedad de 3 que no es atoroidal se llama toroidal .