Integral de Jackson

En la teoría q-analógica , la integral de Jackson o q-integral es una serie en la teoría de funciones especiales que expresa la operación inversa a la q-diferenciación .

La integral de Jackson fue introducida por Frank Hilton Jackson . Para métodos de evaluación numérica, véase ^{[ 1 ]} y Exton (1983) .

Sea f ( x ) una función de una variable real x . Para una variable real, la integral de Jackson de f se define mediante el siguiente desarrollo en serie:

${\displaystyle \int _{0}^{a}f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,a\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}a).}$

En consonancia con esto, la definición de${\displaystyle a\to \infty }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{k}f(q^{k}).}$

De forma más general, si g ( x ) es otra función y D _q g denota su q- derivada, podemos escribir formalmente:

${\displaystyle \int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}},}$o

${\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),}$

dando un análogo q de la integral de Riemann-Stieltjes .

Así como la antiderivada ordinaria de una función continua puede representarse mediante su integral de Riemann , es posible demostrar que la integral de Jackson proporciona una q -antiderivada única dentro de una determinada clase de funciones (véase ^{[ 2 ]} ).

• Victor Kac, Pokman Cheung, Cálculo cuántico , Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8
• Jackson FH (1904), "Una generalización de las funciones Γ(n) y x _n ", Proc. R. Soc. 74 64–72.
• Jackson FH (1910), "Sobre integrales q-definidas", QJ Pure Appl. Math. 41 193–203.
• Exton, Harold (1983). Funciones hipergeométricas Q y aplicaciones . Chichester [West Sussex]: E. Horwood. ISBN 978-0470274538.