Cálculo cuántico

El cálculo cuántico , a veces llamado cálculo sin límites , es equivalente al cálculo infinitesimal tradicional sin la noción de límites . Los dos tipos de cálculo en el cálculo cuántico son el cálculo q y el cálculo h . El objetivo de ambos tipos es encontrar "análogos" de objetos matemáticos, donde, después de tomar un cierto límite , se retorna al objeto original. En el cálculo q , el límite cuando q tiende a 1 se toma del análogo q . Del mismo modo, en el cálculo h , el límite cuando h tiende a 0 se toma del análogo h . Los parámetros y pueden relacionarse mediante la fórmula . ${\estilo de visualización q}$ ${\estilo de visualización h}$ $q=e^{h}$

Diferenciación

El diferencial q y el diferencial h se definen como:

d_{q}(f(x))=f(qx)-f(x)

y

d_{h}(f(x))=f(x+h)-f(x)

,

respectivamente. La derivada q y la derivada h se definen entonces como

D_{q}(f(x))={\frac {d_{q}(f(x))}{d_{q}(x)}}={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}

y

D_{h}(f(x))={\frac {d_{h}(f(x))}{d_{h}(x)}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

respectivamente. Tomando el límite como la derivada q o como la derivada h , se puede obtener la derivada : $q\rightarrow 1$ $h\rightarrow 0$

\lim _{q\rightarrow 1}D_{q}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}D_{h}f(x)={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}

Integración

integral q

Una función F ( x ) es una q-antiderivada de f ( x ) si D _qF ( x ) = f ( x ). La q-antiderivada (o q-integral) se denota por y una expresión para F ( x ) se puede encontrar a partir de: , que se llama la integral de Jackson de f ( x ). Para 0 < q < 1 , la serie converge a una función F ( x ) en un intervalo (0, A ] si | f ( x ) x ^α | está acotada en el intervalo $(0,$ $A$ $]$ para algún 0 ≤ α < 1 . ${\textstyle \int f(x)\,d_{q}x}$ ${\textstyle \int f(x)\,d_{q}x=(1-q)\sum _{j=0}^{\infty }xq^{j}f(xq^{j})}$

La integral q es una integral de Riemann-Stieltjes con respecto a una función escalonada que tiene infinitos puntos de incremento en los puntos q ^j. El salto en el punto q ^j es q ^j . Llamando a esta función escalonada g _q ( t ) se obtiene dg _q ( t ) = d _q t . ^[1]

integral h

Una función F ( x ) es una h-antiderivada de f ( x ) si D _h F ( x ) = f ( x ). La h-integral se denota por . Si a y b difieren en un múltiplo entero de h , entonces la integral definida está dada por una suma de Riemann de f ( x ) en el intervalo $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ , dividido en subintervalos de igual ancho h . La motivación de la h-integral proviene de la suma de Riemann de f(x). Siguiendo la idea de la motivación de las integrales clásicas, algunas de las propiedades de las integrales clásicas se mantienen en la h-integral. Esta noción tiene amplias aplicaciones en el análisis numérico , y especialmente en el cálculo de diferencias finitas . ${\textstyle \int f(x)\,d_{h}x}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,d_{h}x}$

Ejemplo

En cálculo infinitesimal, la derivada de la función es (para algún entero positivo ). Las expresiones correspondientes en cálculo q y cálculo h son: $x^{n}$ $nx^{n-1}$ $n$

D_{q}(x^{n})={\frac {1-q^{n}}{1-q}}x^{n-1}=[n]_{q}\ x^{n-1}

¿Dónde está el corchete q? $[n]_{q}$

[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}

y

{\begin{aligned}D_{h}(x^{n})&={\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\&={\frac {1}{h}}\left(\sum _{k=0}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k}-x^{n}}\right)\\&={\frac {1}{h}}\sum _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k}}\\&=\sum _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k-1}}\\&=nx^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}hx^{n-2}+\cdots +nh^{n-2}x+h^{n-1},\end{aligned}}

respectivamente. La expresión es entonces el análogo q y es el análogo h de la regla de potencia para potencias integrales positivas. La expansión q-Taylor permite la definición de análogos q de todas las funciones usuales, como la función seno , cuya derivada q es el análogo q del coseno . $[n]_{q}x^{n-1}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k-1}}}$

Historia

El cálculo h es el cálculo de diferencias finitas , que fue estudiado por George Boole y otros, y ha demostrado ser útil en combinatoria y mecánica de fluidos . En cierto sentido, el cálculo q se remonta a Leonhard Euler y Carl Gustav Jacobi , pero solo recientemente ha comenzado a encontrar utilidad en mecánica cuántica , dada su íntima conexión con las relaciones de conmutatividad y las álgebras de Lie , específicamente los grupos cuánticos .

Véase también

Referencias

^ Abreu, Luis Daniel (2006). "Funciones q-ortogonales respecto de sus propios ceros" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 134 (9): 2695– 2702. doi : 10.1090/S0002-9939-06-08285-2 . JSTOR 4098119.

Lectura adicional

George Gasper, Mizan Rahman, Series hipergeométricas básicas , 2.ª ed., Cambridge University Press (2004), ISBN 978-0-511-52625-1 , doi :10.1017/CBO9780511526251

Jackson, FH (1908). "Sobre funciones q y un cierto operador diferencial". Transactions of the Royal Society of Edinburgh . 46 (2): 253– 281. doi :10.1017/S0080456800002751. S2CID 123927312.
Exton, H. (1983). Funciones q-hipergeométricas y aplicaciones . Nueva York: Halstead Press. ISBN 0-85312-491-4.
Kac, Victor ; Cheung, Pokman (2002). Cálculo cuántico . Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95341-8.

[1] Abreu, Luis Daniel (2006). "Funciones q-ortogonales respecto de sus propios ceros" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 134 (9): 2695– 2702. doi : 10.1090/S0002-9939-06-08285-2 . JSTOR 4098119.