Conjetura jacobiana

En matemáticas , la conjetura jacobiana es una conjetura sobre polinomios en varias variables que establece que si una función polinómica de un polinomio${\displaystyle n}$Si un espacio de dimensión n respecto a sí mismo tiene un determinante jacobiano que es una constante distinta de cero, entonces la función tiene un inverso polinomial.

El caso${\displaystyle n=2}$(dos variables), también llamada conjetura jacobiana plana ^{[ 1 ]} o conjetura jacobiana planar , ^{[ 2 ]} es el único caso que permanece sin resolver en 2026. ^{[ 3 ]} El caso ⁠${\displaystyle n=1}$Esto es trivialmente cierto, ya que la derivada de un polinomio es una constante distinta de cero solo si el grado del polinomio es 1 y las funciones polinómicas lineales son invertibles.

El 19 de julio de 2026, Levent Alpöge presentó un contraejemplo explícito en tres variables que atribuyó al software Claude Fable 5 , que refuta la conjetura para ⁠${\displaystyle n>2}$[ ^{4 ] [ 3 ]} La corrección del contraejemplo es fácil de verificar con cualquier sistema de álgebra computacional . ^{Sin embargo, no se ha revelado cómo se encontró. No obstante, llevó a} algunos matemáticos a profundizar en las razones matemáticas y las implicaciones de la existencia del contraejemplo. ^{[ 4 ]}

Nombrada en honor al matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi , la conjetura jacobiana fue formulada originalmente en dos dimensiones por Ludwig Kraus en 1884. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 1 ]} Posteriormente, la versión moderna de la conjetura jacobiana en${\displaystyle n}$La formulación de dimensiones fue realizada por Ott-Heinrich Keller en 1939, ^{[ 7 ]} para el caso de polinomios con coeficientes enteros. Arno van den Essen afirma que Keller solo habló del caso bidimensional; ^{[ 8 ]} sin embargo, Keller de hecho sí habló del caso general.${\displaystyle n}$caso -dimensional. ^{[ 7 ]} Durante casi un siglo, Keller fue considerado la primera persona en formular el caso bidimensional, pero una búsqueda de 2025 en la base de datos zbMATH reveló que el caso bidimensional sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$Ya lo había afirmado Ludwig Kraus en 1884, quien presentó una demostración defectuosa en el mismo artículo. ^{[ 1 ]}

La conjetura no fue nombrada en ninguno de los artículos originales de Kraus ni de Keller. El origen del nombre conjetura jacobiana no está claramente documentado. El primer uso publicado conocido del término aparece en el artículo de Masayoshi Miyanishi de 1973, donde se refiere a la${\displaystyle n}$Conjetura -dimensional. ^{[ 9 ]} Tzuong-Tsieng Moh recordó más tarde que, después de que Oscar Zariski señalara en un seminario en la Universidad de Purdue a finales de la década de 1960 que la afirmación seguía sin probarse, "decidimos llamarla la Conjetura Jacobiana". ^{[ 10 ]} Alexander Borisov atribuyó más tarde la acuñación específicamente a Shreeram Abhyankar , ^{[ 11 ]} cuyas notas de clase de 1977 trataron el problema bidimensional y presentaron resultados que había obtenido en 1970-71. ^{[ 12 ]}

La conjetura, también llamada problema jacobiano , fue posteriormente ampliamente difundida por Abhyankar como un ejemplo de una cuestión difícil en geometría algebraica que puede entenderse utilizando poco más que conocimientos de cálculo . ^{[ 12 ] [ 13 ]} La conjetura jacobiana es la número 16 en la lista de Stephen Smale de 1998 de Problemas Matemáticos para el Siglo Próximo . ^{[ 14 ]}

Según Alexander Borisov, la conjetura en dos dimensiones ha sido especialmente bien estudiada en la literatura sobre la conjetura. ^{[ 15 ]} Históricamente, algunos matemáticos, como Shreeram Abhyankar y Tzuong-Tsieng Moh, incluso han utilizado el término conjetura jacobiana o problema jacobiano para referirse únicamente a la conjetura en dos dimensiones. ^{[ 12 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} Ha habido un gran número de pruebas falsas de la conjetura en dos dimensiones, ^{[ 20 ] [ 21 ]} algunas de ellas publicadas. ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 18 ]} Arno van der Essen en 1997, Tzuong-Tsieng Moh en 1998 y Edward Formanek en 2011 plantearon la hipótesis de que la conjetura podría ser verdadera en dos dimensiones y falsa en el caso general. ^{[ 24 ] [ 10 ] [ 25 ]} Después de que el contraejemplo en tres dimensiones, atribuido a Claude Fable 5 , fue descubierto en 2026, solo la conjetura en dos dimensiones permanece abierta. ^{[ 3 ]}

Dejar${\displaystyle n>1}$Sea un número entero fijo y considere polinomios.${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$en variables${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$con coeficientes en un campo${\displaystyle \mathbb {K} }$Luego definimos una función vectorial .${\displaystyle F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}$configurando: $${\displaystyle F(X_{1},\dots ,X_{n})=(f_{1}(X_{1},\dots ,X_{n}),\dots ,f_{n}(X_{1},\dots ,X_{n}))}$$

Cualquier mapa${\displaystyle F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}$Lo que surge de esta manera se llama aplicación polinómica .

El determinante jacobiano de${\displaystyle F}$, denotado por${\displaystyle J_{F}}$, se define como el determinante de la${\displaystyle n\times n}$Matriz jacobiana que consta de las derivadas parciales de${\displaystyle f_{i}}$con respecto a${\displaystyle X_{j}}$:

${\displaystyle J_{F}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial X_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial X_{n}}}\end{matrix}}\right|,}$

entonces${\displaystyle J_{F}}$es en sí misma una función polinómica de la${\displaystyle n}$variables${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$.

De la regla de la cadena multivariable se deduce que si${\displaystyle F}$tiene una función inversa polinómica${\displaystyle G:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}$, entonces${\displaystyle J_{F}}$tiene un recíproco polinomial, por lo que es una constante distinta de cero. La conjetura jacobiana es la siguiente recíproca parcial:

Conjetura jacobiana: Sea${\displaystyle \mathbb {K} }$tener características${\displaystyle 0}$. Si${\displaystyle J_{F}}$es una constante distinta de cero, entonces${\displaystyle F}$tiene una función inversa${\displaystyle G:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}$que es regular , lo que significa que sus componentes son polinomios.

La condición${\displaystyle J_{F}\neq 0}$está relacionado con el teorema de la función inversa en el cálculo multivariable . De hecho, para funciones suaves (y por lo tanto en particular para polinomios) una función inversa local suave a${\displaystyle F}$existe en cada punto donde${\displaystyle J_{F}}$es distinto de cero. Esto significa que existe un vecindario de cada uno de esos puntos que se mapea biyectivamente sobre su imagen. Por ejemplo, el mapa${\displaystyle x\mapsto x+x^{3}}$Tiene una inversa global suave, pero la inversa no es polinómica.

El caso de los polinomios sobre un cuerpo${\displaystyle \mathbb {K} }$de característica cero puede reducirse a${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$utilizando el principio de Lefschetz . ^{[ 20 ]} Además, si${\displaystyle F}$es inyectiva , se puede demostrar que ya es biyectiva con una inversa regular ^{[ 26 ]} (cf. el teorema de Ax–Grothendieck ).

Muchos casos especiales y reducciones de la conjetura jacobiana se establecieron en las décadas anteriores a que fuera refutada en 2026 para${\displaystyle n>2}$A la luz del contraejemplo, los resultados parciales positivos describen ahora las condiciones que cualquier contraejemplo debe violar, mientras que las reducciones muestran que deben existir contraejemplos de formas muy especiales.

La existencia de un inverso polinomial es obvia si${\displaystyle F}$es simplemente un conjunto de funciones lineales en las variables, porque entonces la inversa también será un conjunto de funciones lineales. Sin embargo, a diferencia del caso unidimensional, en dos o más dimensiones existen aplicaciones polinómicas no lineales con determinante jacobiano constante e inversa polinómica. Un ejemplo cuadrático simple viene dado por

${\displaystyle u=x^{2}+y+x}$

${\displaystyle v=x^{2}+y}$

de modo que el determinante jacobiano sea

${\displaystyle J_{F}=\left|{\begin{matrix}1+2x&1\\2x&1\end{matrix}}\right|=(1+2x)(1)-(1)2x=1.}$

En este caso, el inverso existe como los polinomios

${\displaystyle x=uv}$

${\displaystyle y=v-(uv)^{2}.}$

Stuart Sui-Sheng Wang demostró la conjetura jacobiana para polinomios de grado 2, ^{[ 27 ]} por lo que cualquier contraejemplo debe tener grado al menos 3. Hyman Bass , Edwin Connell y David Wright demostraron que el caso general se deduce del caso especial donde los polinomios son de grado 3, o incluso más específicamente, de tipo cúbico homogéneo, es decir, de la forma${\displaystyle F=(X_{1}+H_{1},\dots ,X_{n}+H_{n})}$, donde cada${\displaystyle H_{i}}$es cero o una cúbica homogénea . ^{[ 28 ]} Ludwik Drużkowski demostró que se puede asumir además que el mapa es de tipo lineal cúbico, lo que significa que el no cero${\displaystyle H_{i}}$son cubos de polinomios lineales homogéneos. ^{[ 29 ]}

Edwin Connell y Lou van den Dries demostraron que si la conjetura jacobiana es falsa, entonces tiene un contraejemplo con coeficientes enteros y determinante jacobiano 1. ^{[ 30 ]} Dedujeron que la conjetura jacobiana se cumple para todos los cuerpos de característica${\displaystyle 0}$o para ninguno; combinado con el contraejemplo 2026, que existe sobre los números racionales, esto demuestra que la conjetura falla sobre todo campo de característica${\displaystyle 0}$.

Dejar${\displaystyle \mathbb {K} [X]}$denotemos el anillo de polinomios${\displaystyle \mathbb {K} [X_{1},\dots ,X_{n}]}$y${\displaystyle \mathbb {K} [F]}$denotan el${\displaystyle \mathbb {K} }$-subálgebra generada por${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$. Para un dado${\displaystyle F}$, la condición jacobiana implica invertibilidad si y solo si${\displaystyle \mathbb {K} [X]=\mathbb {K} [F]}$. Keller (1939) demostró el caso birracional , es decir, donde los dos campos${\displaystyle \mathbb {K} (X)}$y${\displaystyle \mathbb {K} (F)}$son iguales. El caso en el que${\displaystyle \mathbb {K} (X)}$es una extensión de Galois de${\displaystyle \mathbb {K} (F)}$Andrew Campbell lo demostró para mapas complejos ^{[ 31 ]} y, en general, Michael Razar ^{[ 32 ]} y, de forma independiente, David Wright ^{[ 22 ]} . Por lo tanto, ningún contraejemplo puede ser birracional ni definir una extensión de Galois; en consonancia con esto, el contraejemplo 2026 es genéricamente de tres a uno ^{[ 4 ] .}

Michiel de Bondt y Arno van den Essen ^{[ 33 ] [ 34 ]} y Ludwik Drużkowski ^{[ 35 ]} demostraron independientemente que el caso general de la conjetura es equivalente al caso especial de mapas complejos de tipo cúbico homogéneo con una matriz jacobiana simétrica, por lo que también deben existir contraejemplos de esta forma. Además, demostraron que la conjetura se cumple para mapas de tipo cúbico lineal con una matriz jacobiana simétrica, sobre cualquier cuerpo de característica${\displaystyle 0}$; por lo tanto, no es posible ningún contraejemplo de esta forma más restringida, así que las reducciones cúbico-lineal y simétrica no se pueden combinar.

La fuerte conjetura jacobiana real fue la afirmación de que una aplicación polinómica real con un determinante jacobiano que no se anula en ningún punto tiene una inversa global suave. Esto es equivalente a preguntar si dicha aplicación es topológicamente una aplicación propia , en cuyo caso es una aplicación de recubrimiento de una variedad simplemente conexa , por lo tanto invertible. Sergey Pinchuk construyó dos contraejemplos a la fuerte conjetura jacobiana real de grado total 35 y superior. ^{[ 36 ]} Debido a que las aplicaciones de Pinchuk tienen un determinante jacobiano no constante, no refutaron la conjetura jacobiana en sí.

La conjetura de Dixmier , que afirmaba que todo endomorfismo de un álgebra de Weyl es un automorfismo, implica la conjetura jacobiana en la dimensión correspondiente. ^{[ 28 ] Por el contrario, Yoshifumi Tsuchimoto [ 37 ]} y, de forma independiente, Alexei Belov-Kanel y Maxim Kontsevich ^{[ 38 ]} demostraron que la conjetura jacobiana para${\displaystyle 2n}$Las variables implican la conjetura de Dixmier en${\displaystyle n}$^{dimensiones. Kossivi Adjamagbo y Arno van den Essen [ 39 ]} dieron una demostración autocontenida y puramente algebraica de la última implicación, quienes también demostraron en el mismo artículo que estas dos conjeturas son equivalentes a la conjetura de Poisson, que establece que todo endomorfismo del álgebra de Poisson compleja n -ésima es un automorfismo. Como consecuencia del contraejemplo 2026, las conjeturas de Dixmier y Poisson son falsas en todas las dimensiones.${\displaystyle n>2}$, mientras que, al igual que con la conjetura jacobiana de dos variables en sí, el caso${\displaystyle n=2}$permanece abierto.

El análogo obvio de la conjetura jacobiana falla si${\displaystyle \mathbb {K} }$tiene característica${\displaystyle p>0}$incluso para una variable. La característica de un campo, si no es cero, debe ser prima, por lo que al menos${\displaystyle 2}$. El polinomio${\displaystyle x-x^{p}}$tiene derivado${\displaystyle 1-px^{p-1}}$, que es${\displaystyle 1}$(porque${\displaystyle px}$es${\displaystyle 0}$) pero no tiene función inversa. Sin embargo, Kossivi Adjamagbo sugirió extender la conjetura jacobiana a características${\displaystyle p>0}$agregando la hipótesis de que${\displaystyle p}$no divide el grado de extensión del campo${\displaystyle \mathbb {K} (X)/\mathbb {K} (F)}$. ^{[ 40 ]}

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