secuencia espectral EHP

En matemáticas , la secuencia espectral EHP es una secuencia espectral que se utiliza para calcular inductivamente los grupos de homotopía de esferas localizadas en algún primo p . Se describe con más detalle en Ravenel (2003 , capítulo 1.5) y Mahowald (2001) . Está relacionada con la secuencia exacta larga EHP de Whitehead (1953) ; el nombre "EHP" proviene del hecho de que George W. Whitehead nombró 3 de los mapas de su secuencia "E" (la primera letra de la palabra alemana "Einhängung", que significa "suspensión"), "H" (por Heinz Hopf , ya que este mapa es el segundo invariante de Hopf-James) y "P" (relacionado con los productos de Whitehead ).

Para${\displaystyle p=2}$La secuencia espectral utiliza algunas secuencias exactas asociadas a la fibración ( James 1957 ).

${\displaystyle S^{n}(2)\rightarrow \Omega S^{n+1}(2)\rightarrow \Omega S^{2n+1}(2)}$,

dónde${\displaystyle \Omega }$representa un espacio de bucles y el (2) es la localización de un espacio topológico en el primo 2. Esto da una secuencia espectral con${\displaystyle E_{1}^{k,n}}$término igual a

${\displaystyle \pi _{k+n}(S^{2n-1}(2))}$

y convergiendo a${\displaystyle \pi _{*}^{S}(2)}$(grupos homotópicos estables de esferas localizados en 2). La secuencia espectral tiene la ventaja de que la entrada son grupos homotópicos calculados previamente. Fue utilizada por Oda (1977) para calcular los primeros 31 grupos homotópicos estables de esferas.

Para números primos arbitrarios se utilizan algunas fibraciones halladas por Toda (1962) :

${\displaystyle {\widehat {S}}^{2n}(p)\rightarrow \Omega S^{2n+1}(p)\rightarrow \Omega S^{2pn+1}(p)}$

${\displaystyle S^{2n-1}(p)\rightarrow \Omega {\widehat {S}}^{2n}(p)\rightarrow \Omega S^{2pn-1}(p)}$

dónde${\displaystyle {\widehat {S}}^{2n}}$es el${\displaystyle (2np-1)}$-esqueleto del espacio de bucle${\displaystyle \Omega S^{2n+1}}$. (Para${\displaystyle p=2}$, el espacio${\displaystyle {\widehat {S}}^{2n}}$es lo mismo que${\displaystyle S^{2n}}$, así que las fibraciones de Toda en${\displaystyle p=2}$son lo mismo que las fibraciones de James.)

• James, Ioan M. (1957), "Sobre la secuencia de suspensión", Annals of Mathematics , 65 (1): 74–107 , doi : 10.2307/1969666 , JSTOR 1969666 , MR 0083124  
• Mahowald, Mark (2001) [1994], "Secuencia espectral EHP" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Oda, Nobuyuki (1977), "Sobre las 2-componentes de los grupos de homotopía inestables de esferas, I–II", Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. , 53 (6): 202– 218, doi : 10.3792/pjaa.53.202
• Ravenel, Douglas C. (2003), Cobordismo complejo y grupos de homotopía estable de esferas (2.ª  ed.), AMS Chelsea, ISBN 0-8218-2967-X
• Toda, Hiroshi (1962), Métodos de composición en grupos homotópicos de esferas , Princeton University Press , ISBN 0-691-09586-8{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Whitehead, George W. (1953), "Sobre los teoremas de Freudenthal", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 57 (2): 209– 228, doi : 10.2307/1969855 , JSTOR 1969855 , MR 0055683