Anillo Nagata

En álgebra conmutativa , un anillo N-1 es un dominio de integridad.${\displaystyle A}$cuyo cierre integral en su campo cociente es un campo finitamente generado${\displaystyle A}$- módulo . Se llama anillo japonés (o anillo N-2 ) si para cada extensión finita${\displaystyle L}$de su campo cociente${\displaystyle K}$, el cierre integral de${\displaystyle A}$en${\displaystyle L}$es un finito generado${\displaystyle A}$-módulo (o equivalentemente un módulo finito)${\displaystyle A}$- álgebra ). Un anillo se llama universalmente japonés si todo dominio integral finitamente generado sobre él es japonés, y se llama anillo de Nagata , llamado así por Masayoshi Nagata , o anillo pseudogeométrico si es noetheriano y universalmente japonés (o, que resulta ser lo mismo, si es noetheriano y todos sus cocientes por un ideal primo son anillos N-2). Un anillo se llama geométrico si es el anillo local de una variedad algebraica o una completación de dicho anillo local, ^{[ 1 ]} pero este concepto no se usa mucho.

Los cuerpos y anillos de polinomios o series de potencias en un número finito de indeterminadas sobre cuerpos son ejemplos de anillos japoneses. Otro ejemplo importante es un dominio integralmente cerrado noetheriano (por ejemplo, un dominio de Dedekind ) que posee un cuerpo perfecto de fracciones . Por otro lado, un dominio de ideales principales o incluso un anillo de valuación discreta no son necesariamente japoneses.

Cualquier anillo cuasi-excelente es un anillo de Nagata, por lo que, en particular, casi todos los anillos noetherianos que aparecen en geometría algebraica son anillos de Nagata. El primer ejemplo de un dominio noetheriano que no es un anillo de Nagata fue dado por Akizuki (1935) .

Aquí hay un ejemplo de un anillo de valoración discreta que no es un anillo japonés. Elija un número primo.${\displaystyle p}$y una extensión de campo de grado infinito${\displaystyle K}$de una característica${\displaystyle p}$campo${\displaystyle k}$, de tal manera que${\displaystyle K^{p}\subsetequk}$. Deja que suene la valoración discreta${\displaystyle R}$ser el anillo de la serie de poder formal sobre${\displaystyle K}$cuyos coeficientes generan una extensión finita de${\displaystyle k}$. Si${\displaystyle y}$¿Hay alguna serie de potencias formal que no esté en${\displaystyle R}$luego el anillo${\displaystyle R[y]}$no es un anillo N-1 (su clausura integral no es un módulo finitamente generado) por lo tanto${\displaystyle R}$No es un anillo japonés.

Si${\displaystyle R}$es el subanillo del anillo de polinomios${\displaystyle k[x_{1},x_{2},...]}$en infinitos generadores generados por los cuadrados y cubos de todos los generadores, y${\displaystyle S}$se obtiene de${\displaystyle R}$adjuntando inversos a todos los elementos que no están en ninguno de los ideales generados por alguno${\displaystyle x_{n}}$, entonces${\displaystyle S}$es un dominio noetheriano unidimensional que no es un anillo N-1, en otras palabras, su clausura integral en su cuerpo cociente no es un conjunto finitamente generado${\displaystyle S}$-módulo. También${\displaystyle S}$tiene una singularidad de cúspide en cada punto cerrado , por lo que el conjunto de puntos singulares no es cerrado.

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