Ecuaciones de Jefimenko

Las ecuaciones de Jefimenko describen el campo eléctrico.${\displaystyle \mathbf {E} }$y campo magnético${\displaystyle \mathbf {B} }$producido por una distribución arbitraria y dependiente del tiempo de la densidad de carga${\displaystyle \rho }$y densidad de corriente${\displaystyle \mathbf {J} }$: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\iiint \left({\frac {[\rho ]\,\mathbf {n} }{r^{2}}}+{\frac {[{\dot {\rho }}]\,\mathbf {n} }{c\,r}}-{\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]}{c^{2}r}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[\mathbf {J} \right]\times \mathbf {n} }{c^{2}r^{2}}}+{\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\times \mathbf {n}}{c^{3}r}}\right)\,dV'}$

Aquí,${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad del vacío ,${\displaystyle r=|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}$es la distancia entre el punto de origen${\displaystyle \mathbf {r} '}$y el punto de observación${\displaystyle \mathbf {r} }$, y${\displaystyle \mathbf {n} }$es el vector unitario que apunta desde la fuente hacia el observador.

Debido a que las perturbaciones electromagnéticas se propagan a la velocidad de la luz${\displaystyle c}$, los campos observados en un punto${\displaystyle \mathbf {r} }$en ese momento${\displaystyle t}$están determinados por el estado de las fuentes en un momento retardado anterior ,${\textstyle t_{r}=(tr/c)}$Los corchetes${\displaystyle [\ldots ]}$Indicar que las cantidades encerradas se evalúan en tiempo retardado:

${\displaystyle [\rho ]=\rho \!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}$ ,${\displaystyle [{\dot {\rho }}]={\dot {\rho }}\!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}$,${\displaystyle [\mathbf {J} ]=\mathbf {J} \!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}$ y ${\displaystyle \left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]={\dot {\mathbf {J} }}\!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}$

En la situación electrostática , el primer término de la ecuación del campo eléctrico se reduce a la ley de Coulomb . De manera similar, en el límite magnetostático , el primer término de la ecuación del campo magnético se reduce a la ley de Biot-Savart . Las ecuaciones de Jefimenko son las generalizaciones dependientes del tiempo de estas dos leyes. ^{[ 3 ]}

Las ecuaciones de Jefimenko se pueden derivar de los potenciales retardados V y A : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iint \left({\frac {[\rho ]}{r}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[\mathbf {J} \right]}{r}}\right)\,dV'}$

Estos potenciales son las soluciones a las ecuaciones de Maxwell en la formulación potencial . Para obtener los campos, estas expresiones se sustituyen en las definiciones de los potenciales electromagnéticos  :

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} \right)}$

Al realizar las diferenciaciones con respecto a las coordenadas del observador${\displaystyle \mathbf {r} }$y tiempo${\displaystyle t}$Los potenciales se eliminan en favor de la dependencia funcional directa de las fuentes.${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle \mathbf {J} }$. Los campos tienen una dependencia implícita de la posición a través de${\textstyle t_{r}}$, lo cual debe tenerse en cuenta en la diferenciación. ^{[ 2 ]}

Para el campo eléctrico , el cálculo detallado da: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle -{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\iiint \left({\frac {[\rho ]\,\mathbf {n} }{r^{2}}}+{\frac {[{\dot {\rho }}]\,\mathbf {n} }{c\,r}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\iiint \left({\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]}{r}}\right)\,dV'}$

Los términos de las ecuaciones de Panofsky-Phillips se pueden separar en dos categorías: Los términos de "campo cercano" tienen una${\displaystyle 1/r^{2}}$dependencia, y son significativos solo en la proximidad inmediata de las fuentes. Los términos de "campo lejano" tienen una${\displaystyle 1/r}$dependencia. Debido a su disminución más lenta con la distancia, predominan a medida que uno se aleja de las fuentes (ver campo cercano y campo lejano ).

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\color {green}{\frac {[\rho ]\mathbf {n} }{r^{2}}}+{\frac {\left(\left[\mathbf {J} \right]\cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {n} +\left(\left[\mathbf {J} \right]\times \mathbf {n} \right)\times \mathbf {n} }{c\,r^{2}}}}\mathbin {\color {red}{+}} {\color {red}{\frac {\left(\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\times \mathbf {n} \right)\times \mathbf {n} }{c^{2}r}}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\color {green}{\frac {\left[\mathbf {J} \right]\times \mathbf {n} }{c^{2}r^{2}}}}\mathbin {\color {red}{+}} {\color {red}{\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\times \mathbf {n} }{c^{3}r}}}\right)\,dV'}$

• En verde se muestran los campos cercanos (que decaen como 1/r²) .
• En rojo se muestran los campos radiados (que decaen como 1/r) .

En la región de campo lejano, los campos cercanos pueden despreciarse y las expresiones de los campos emitidos se reducen a: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left(\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\times \mathbf {n} \right)\times \mathbf {n} }{r}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\times \mathbf {n} }{r}}\right)\,dV'}$

Por lo tanto, uno tiene${\displaystyle \mathbf {E} \perp \mathbf {B} \perp \mathbf {n} }$, con E y B relacionadas por:

La ecuación de Panofsky-Phillips permite distinguir directamente entre campos cercanos y campos radiados para el campo eléctrico, algo que no es evidente en la formulación de Jefimenko. En la ecuación del campo eléctrico de Jefimenko, tanto el segundo como el tercer término parecen contribuir al campo lejano porque escalan con${\displaystyle 1/r}$Sin embargo, esto es ilusorio; el componente longitudinal del tercer término cancela el${\displaystyle 1/r}$dependencia del segundo término, dejando solo las componentes transversales para propagarse como radiación. ^{[ 4 ]} A pesar de esta complicación, la ecuación del campo eléctrico de Jefimenko es más compacta y a veces más fácil de usar para cálculos. Una de las excepciones es el caso de la radiación de dipolo eléctrico. ^{[ 7 ]}