Cinemática del cuboctaedro

El esqueleto de un cuboctaedro , considerando sus aristas como vigas rígidas conectadas en articulaciones flexibles en sus vértices pero omitiendo sus caras, no posee rigidez estructural . En consecuencia, sus vértices pueden reposicionarse mediante el plegado (cambio del ángulo diedro) en las aristas y las diagonales de las caras. La cinemática del cuboctaedro es notable porque sus vértices pueden reposicionarse en las posiciones de los vértices del icosaedro regular , el icosaedro de Jessen y el octaedro regular , de acuerdo con la simetría piritoédrica del icosaedro . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Según el teorema de Cauchy , cuando se interpreta como una estructura de caras planas rígidas, conectadas a lo largo de las aristas mediante bisagras, el cuboctaedro es una estructura rígida, al igual que todos los poliedros convexos. Sin embargo, cuando se eliminan las caras, dejando solo aristas rígidas conectadas por articulaciones flexibles en los vértices, el resultado no es un sistema rígido (a diferencia de los poliedros cuyas caras son todas triángulos, a los que se aplica el teorema de Cauchy a pesar de la ausencia de caras).

Al añadir un vértice central, conectado mediante aristas rígidas a todos los demás vértices, el cuboctaedro se subdivide en pirámides cuadradas y tetraedros regulares que convergen en el vértice central. A diferencia del propio cuboctaedro, el sistema resultante de aristas y uniones es rígido y forma la figura del vértice del panal tetraédrico-octaédrico infinito .

El cuboctaedro puede transformarse cíclicamente a través de cuatro poliedros, repitiendo el ciclo infinitamente. Topológicamente, la transformación sigue un bucle de Möbius : es una doble cubierta orientable del octaedro. Físicamente, es un espinor .

En sus relaciones espaciales, el cuboctaedro, el icosaedro, el icosaedro de Jessen y el octaedro se anidan como muñecas rusas y están relacionados por una contracción helicoidal . La contracción comienza con las caras cuadradas del cuboctaedro plegándose hacia adentro a lo largo de sus diagonales para formar pares de triángulos. Los 12 vértices del cuboctaedro se enrollan en espiral hacia adentro (hacia el centro) y se acercan entre sí hasta alcanzar los puntos donde forman un icosaedro regular; se acercan ligeramente más hasta formar un icosaedro de Jessen ; y continúan enrollándose en espiral uno hacia el otro hasta coincidir en pares como los 6 vértices del octaedro. ^{[ 3 ]}

La transformación general del cuboctaedro se puede parametrizar a lo largo de un continuo de transformaciones de casos especiales con dos casos límite: uno en el que las aristas del cuboctaedro son rígidas y otro en el que son elásticas.

La transformación de cuboctaedro de aristas rígidas transforma simétricamente el cuboctaedro en un icosaedro regular , un icosaedro de Jessen y un octaedro regular , en el sentido de que los vértices del poliedro adoptan sucesivamente las posiciones de los vértices de esos poliedros.

El cuboctaedro en realidad no se convierte en esos otros poliedros, y estos no pueden transformarse entre sí (si tienen aristas rígidas), porque a diferencia del cuboctaedro, sí tienen rigidez estructural como consecuencia de tener solo caras triangulares.

En lo que el cuboctaedro con aristas rígidas puede transformarse (y a través de) es en un icosaedro regular del que faltan 6 aristas (un pseudoicosaedro ), ^{[ 4 ]} un icosaedro de Jessen en el que faltan o son elásticas las 6 aristas reflejas, y una doble cubierta del octaedro que tiene dos aristas rígidas coincidentes que conectan cada par de vértices (formada al hacer coincidir pares de vértices del cuboctaedro).

Existe un poliedro de tensegridad que incorpora y refuerza la transformación del cuboctaedro de borde elástico, estrechamente relacionada . El icosaedro de tensegridad posee una rigidez estructural dinámica denominada movilidad infinitesimal y solo puede deformarse en poliedros simétricos a lo largo del espectro que va del cuboctaedro al octaedro. ^{[ 5 ]} Se le denomina icosaedro de tensegridad porque su forma estable media es el icosaedro de Jessen.

Aunque la transformación se describe anteriormente como una contracción del cuboctaedro, el punto de equilibrio estable de la tensegridad es el icosaedro de Jessen; el icosaedro de tensegridad se resiste a ser deformado y solo puede expandirse o contraerse hasta el punto en que sus aristas sean elásticas (capaces de alargarse bajo tensión). Al forzar al poliedro a alejarse de su forma de reposo estable (en cualquier dirección), se estiran ligeramente y de forma uniforme sus 24 aristas cortas. La fuerza aplicada a cualquier par de aristas largas paralelas, para acercarlas o alejarlas, se transfiere automáticamente para estirar uniformemente todas las aristas cortas, reduciendo el poliedro desde su icosaedro de Jessen de tamaño medio hacia el octaedro más pequeño, o expandiéndolo hacia el icosaedro regular más grande y el cuboctaedro aún más grande, respectivamente. Al liberar la fuerza, el poliedro vuelve a su forma de reposo de icosaedro de Jessen.

En la transformación de aristas elásticas, las aristas del cuboctaedro no son rígidas (aunque las 6 aristas largas del icosaedro de Jessen sí lo son). El cuboctaedro se transforma en un icosaedro regular de menor radio y menor longitud de arista, un icosaedro de Jessen de radio aún menor y longitud de arista (mínima), y finalmente un octaedro de radio aún menor pero con la misma longitud de arista (máxima) que el cuboctaedro (pero solo después de que las aristas se hayan acortado y alargado de nuevo, y se unan en pares coincidentes).

Las transformaciones de cuboctaedro de arista rígida y elástica se diferencian únicamente en que sus parámetros son recíprocos: en la transformación de arista elástica, las aristas cortas del icosaedro de Jessen se estiran y sus aristas largas son rígidas, y en la transformación de arista rígida, sus aristas largas se comprimen y sus aristas cortas son rígidas. Todo lo descrito anteriormente, excepto las métricas, se aplica a todas las transformaciones de cuboctaedro. En particular, los vértices siempre se mueven en hélices hacia el centro a medida que el cuboctaedro se transforma en el octaedro, ^{[ 7 ] [ 8 ]} y el icosaedro de Jessen (con ángulos diedros de 90° y tres planos ortogonales invariantes) es siempre el punto medio, estable en la medida en que existe resistencia al estiramiento o la compresión. ^{[ 9 ]}

La transformación del cuboctaedro de aristas elásticas se suele presentar como la matemática del icosaedro de tensegridad ^{[ 10 ]} porque es la que mejor modela el comportamiento de la mayoría de las estructuras reales de icosaedro de tensegridad. Sin embargo, se podría construir un icosaedro de tensegridad en el que las aristas cortas (cables) fueran perfectamente inelásticas y las aristas largas (puntales) fueran resortes compresibles. Dicha tensegridad realizaría la transformación del cuboctaedro de aristas rígidas.

Finalmente, ambas transformaciones son abstracciones puras, los dos casos límite de una familia infinita de transformaciones de cuboctaedro en las que hay dos parámetros de elasticidad y no se requiere que uno de ellos sea 0. Ninguno de los casos límite es adecuado para aplicarse perfectamente a la mayoría de las estructuras de tensegridad reales, que generalmente tienen cierta elasticidad tanto en los cables como en los puntales, lo que da como resultado métricas de comportamiento reales que no son triviales de calcular. ^{[ 11 ]} En la práctica de la ingeniería, solo se requiere una pequeña cantidad de elasticidad para permitir un grado significativo de movimiento, por lo que la mayoría de las estructuras de tensegridad se construyen para ser "rígidas como un tambor" utilizando puntales y cables casi inelásticos. Una transformación de icosaedro de tensegridad es una transformación cinemática de cuboctaedro con parámetros de elasticidad pequeños recíprocos.

Las transformaciones de torsión, expansión y contracción entre estos poliedros fueron denominadas transformaciones Jitterbug por Buckminster Fuller . Fuller no proporcionó ninguna matemática; ^{[ 12 ] [ 13 ]} como muchos grandes geómetras antes que él ( Alicia Boole Stott, por ejemplo) no tenía matemáticas que ofrecer. Pero fue el primero en enfatizar la importancia de la simetría equilátera radial del cuboctaedro , que aplicó estructuralmente (y patentó) como la celosía octeto , intuyendo que juega un papel fundamental no solo en la integridad estructural sino también en las relaciones dimensionales entre politopos . Descubrió las transformaciones de simetría del cuboctaedro, comprendió su relación con el icosaedro de tensegridad e incluso realizó demostraciones de la transformación del cuboctaedro de arista rígida ante el público (en los días anteriores a las animaciones renderizadas por computadora). Su demostración con comentarios del "equilibrio vectorial" ^{[ 14 ]} , como él llamó al cuboctaedro, sigue siendo mucho más esclarecedora que las animaciones de este artículo.

• "Anillos Borromeos" . Unión Matemática Internacional.