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cinta de Möbius

Una cinta de Möbius de papel En matemáticas , una cinta de Möbius , banda de Möbius o bucle de Möbius {{cite LPD|3}} {{IPA|de|ˈmøːbi̯ʊs|lang}}. As is common for words containing...

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Una cinta de Möbius de papel

En matemáticas , una cinta de Möbius , banda de Möbius o bucle de Möbius [ a ] es una superficie que se puede formar uniendo los extremos de una tira de papel con un giro de media vuelta. Como objeto matemático , fue descubierta por Johann Benedict Listing y August Ferdinand Möbius en 1858, pero ya había aparecido en mosaicos romanos del siglo III d. C. La cinta de Möbius es una superficie no orientable , lo que significa que dentro de ella no se pueden distinguir consistentemente los giros en sentido horario de los giros en sentido antihorario. Toda superficie no orientable contiene una cinta de Möbius.

Como espacio topológico abstracto , la cinta de Möbius puede incrustarse en el espacio euclidiano tridimensional de muchas maneras diferentes: un medio giro en sentido horario es diferente de un medio giro en sentido antihorario, y también puede incrustarse con un número impar de giros mayor que uno, o con una línea central anudada . Cualquier par de incrustaciones con el mismo nudo para la línea central y el mismo número y dirección de giros son topológicamente equivalentes . Todas estas incrustaciones tienen solo un lado, pero cuando se incrusta en otros espacios, la cinta de Möbius puede tener dos lados. Tiene solo una única curva límite .

Varias construcciones geométricas de la cinta de Möbius le proporcionan una estructura adicional. Puede ser barrida como una superficie reglada por un segmento de línea que gira en un plano giratorio, con o sin autointersecciones. Una tira delgada de papel con sus extremos unidos para formar una cinta de Möbius puede doblarse suavemente como una superficie desarrollable o plegarse plana ; las cintas de Möbius aplanadas incluyen el trihexaflexágono . La cinta de Möbius sudanesa es una superficie mínima en una hiperesfera , y la cinta de Möbius de Meeks es una superficie mínima autointersecante en el espacio euclidiano ordinario. Tanto la cinta de Möbius sudanesa como otra cinta de Möbius autointersecante, la tapa cruzada, tienen un límite circular. Una cinta de Möbius sin su límite, llamada cinta de Möbius abierta, puede formar superficies de curvatura constante . Ciertos espacios altamente simétricos cuyos puntos representan líneas en el plano tienen la forma de una cinta de Möbius.

Las numerosas aplicaciones de las cintas de Möbius incluyen correas mecánicas que se desgastan uniformemente en ambos lados, montañas rusas de doble vía cuyos vagones alternan entre las dos vías, y mapas del mundo impresos de manera que los antípodas aparezcan uno frente al otro. Las cintas de Möbius aparecen en moléculas y dispositivos con propiedades eléctricas y electromecánicas novedosas, y se han utilizado para demostrar resultados de imposibilidad en la teoría de la elección social . En la cultura popular, las cintas de Möbius aparecen en obras de arte de MC Escher , Max Bill y otros, y en el diseño del símbolo de reciclaje . Muchos conceptos arquitectónicos se han inspirado en la cinta de Möbius, incluido el diseño del edificio del Salón de la Fama de NASCAR . Artistas como Harry Blackstone Sr. y T. Nelson Downs han basado trucos de magia escénica en las propiedades de la cinta de Möbius. Los cánones de Johann Sebastian Bach se han analizado utilizando cintas de Möbius. Muchas obras de ficción especulativa presentan cintas de Möbius; En términos más generales, una estructura argumental basada en la cinta de Möbius, de eventos que se repiten con un giro inesperado, es común en la ficción.

Historia

Mosaico de la antigua Sentinum que representa a Aion sosteniendo una cinta de Möbius.
Bomba de cadena con transmisión por cadena de Möbius, de Ismail al-Jazari (1206)

El descubrimiento de la cinta de Möbius como objeto matemático se atribuye independientemente a los matemáticos alemanes Johann Benedict Listing y August Ferdinand Möbius en 1858. [ 2 ] Sin embargo, ya se conocía desde mucho antes, tanto como objeto físico como en representaciones artísticas; en particular, se puede ver en varios mosaicos romanos del siglo III d. C. [ 3 ] [ 4 ] En muchos casos, estos simplemente representan cintas enrolladas como límites. Cuando el número de vueltas es impar, estas cintas son cintas de Möbius, pero para un número par de vueltas son topológicamente equivalentes a anillos sin torcer . Por lo tanto, que la cinta sea o no una cinta de Möbius puede ser una coincidencia, más que una elección deliberada. En al menos un caso, se dibujó una cinta con diferentes colores en diferentes lados con un número impar de vueltas, lo que obligó a su artista a hacer una corrección torpe en el punto donde los colores no coincidían. [ 3 ] Otro mosaico de la ciudad de Sentinum (representado) muestra el zodíaco , sostenido por el dios Aion , como una banda con una sola torsión. No hay evidencia clara de que la unilateralidad de esta representación visual del tiempo celestial fuera intencional; podría haber sido elegida simplemente como una forma de hacer que todos los signos del zodíaco aparecieran en el lado visible de la tira. Se alega que otras representaciones antiguas del ouroboros o de decoraciones en forma de ocho también representan cintas de Möbius, pero no está claro si pretendían representar tiras planas de algún tipo . [ 4 ]

Independientemente de la tradición matemática, los maquinistas saben desde hace tiempo que las correas mecánicas se desgastan la mitad de rápido cuando forman cintas de Möbius, porque utilizan toda la superficie de la correa en lugar de solo la superficie interior de una correa sin torsión. [ 3 ] Además, dicha correa puede ser menos propensa a curvarse de lado a lado. Una descripción escrita temprana de esta técnica data de 1871, posterior a las primeras publicaciones matemáticas sobre la cinta de Möbius. Mucho antes, una imagen de una bomba de cadena en una obra de Ismail al-Jazari de 1206 muestra una configuración de cinta de Möbius para su cadena de transmisión. [ 4 ] Otro uso de esta superficie fue hecho por costureras en París (en una fecha no especificada): iniciaban a las novicias pidiéndoles que cosieran una cinta de Möbius como cuello en una prenda. [ 3 ]

Propiedades

Un objeto 2D que recorre una vez la cinta de Möbius regresa en forma reflejada.

La cinta de Möbius tiene varias propiedades curiosas. Es una superficie no orientable : si un objeto bidimensional asimétrico se desliza una vez alrededor de la cinta, regresa a su posición inicial como su imagen especular. En particular, una flecha curva que apunta en el sentido de las agujas del reloj (↻) regresaría como una flecha que apunta en sentido contrario a las agujas del reloj (↺), lo que implica que, dentro de la cinta de Möbius, es imposible definir de forma consistente qué significa ser en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario. Es la superficie no orientable más simple: cualquier otra superficie es no orientable si y solo si tiene una cinta de Möbius como subconjunto. [ 5 ] De manera similar, cuando se inserta en el espacio euclidiano , la cinta de Möbius tiene solo un lado. Un objeto tridimensional que se desliza una vez alrededor de la superficie de la cinta no se refleja, sino que regresa al mismo punto de la cinta en lo que localmente parece ser su otro lado, lo que demuestra que ambas posiciones son en realidad parte de un solo lado. Este comportamiento es diferente de las superficies orientables familiares en tres dimensiones, como las modeladas por hojas de papel planas, pajitas cilíndricas o bolas huecas, para las cuales un lado de la superficie no está conectado al otro. [ 6 ] Sin embargo, esta es una propiedad de su incrustación en el espacio más que una propiedad intrínseca de la cinta de Möbius en sí: existen otros espacios topológicos en los que la cinta de Möbius puede incrustarse de manera que tenga dos lados. [ 7 ] Por ejemplo, si las caras frontal y posterior de un cubo se pegan entre sí con una reflexión especular izquierda-derecha, el resultado es un espacio topológico tridimensional (el producto cartesiano de una cinta de Möbius con un intervalo) en el que las mitades superior e inferior del cubo pueden separarse entre sí por una cinta de Möbius de dos lados. [ b ] A diferencia de los discos, esferas y cilindros, para los cuales es posible incrustar simultáneamente un conjunto incontable de copias disjuntas en el espacio tridimensional, solo se puede incrustar simultáneamente un número contable de cintas de Möbius. [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]

Un camino a lo largo del borde de una cinta de Möbius, trazado hasta que regresa a su punto de partida en el borde, incluye todos los puntos límite de la cinta de Möbius en una sola curva continua. Para una cinta de Möbius formada al pegar y retorcer un rectángulo, tiene el doble de la longitud de la línea central de la cinta. En este sentido, la cinta de Möbius es diferente de un anillo sin torcer y como un disco circular en tener solo un borde. [ 6 ] Una cinta de Möbius en el espacio euclidiano no puede moverse ni estirarse hasta convertirse en su imagen especular; es un objeto quiral con quiralidad derecha o izquierda. [ 12 ] Las cintas de Möbius con un número impar de semitorsiones mayor que uno, o que están anudadas antes de pegarlas, son distintas como subconjuntos incrustados del espacio tridimensional, aunque todas son equivalentes como superficies topológicas bidimensionales. [ 13 ] Más precisamente, dos cintas de Möbius están incrustadas de forma equivalente en el espacio tridimensional cuando sus líneas centrales determinan el mismo nudo y tienen el mismo número de giros . [ 14 ] Sin embargo, con un número par de giros, se obtiene una superficie topológica diferente, llamada anillo . [ 15 ]

La cinta de Möbius puede transformarse continuamente en su eje central, estrechándola mientras se fijan los puntos en dicho eje. Esta transformación es un ejemplo de retracción por deformación , y su existencia implica que la cinta de Möbius posee muchas de las mismas propiedades que su eje central, que topológicamente es un círculo. En particular, su grupo fundamental es el mismo que el grupo fundamental de un círculo, un grupo cíclico infinito . Por lo tanto, las trayectorias en la cinta de Möbius que comienzan y terminan en el mismo punto pueden distinguirse topológicamente (salvo homotopía ) únicamente por el número de veces que dan vueltas alrededor de la cinta. [ 16 ]

Al cortar la línea central se obtiene una tira de doble longitud y doble cara (no de Möbius).
Un único corte descentrado produce una cinta de Möbius (morada) unida a una tira de doble longitud y doble cara.

Al cortar una cinta de Möbius por la línea central con unas tijeras, se obtiene una tira larga con cuatro semitorsiones (en relación con un anillo o cilindro sin torsión) en lugar de dos tiras separadas. Dos de las semitorsiones se deben a que esta tira más delgada pasa dos veces por la semitorsión de la cinta de Möbius original, y las otras dos se deben a la forma en que las dos mitades de la tira más delgada se enrollan entre sí. El resultado no es una cinta de Möbius, sino que es topológicamente equivalente a un cilindro. Al cortar esta tira doblemente retorcida nuevamente por su línea central, se obtienen dos tiras doblemente retorcidas unidas. Si, en cambio, se corta una cinta de Möbius longitudinalmente, a un tercio de su ancho, se obtienen dos tiras unidas. Una de ellas es una cinta de Möbius central, más delgada, mientras que la otra tiene dos semitorsiones. [ 6 ] Estas formas interconectadas, formadas por rebanadas longitudinales de cintas de Möbius con anchos variables, a veces se denominan anillos paradrómicos . [ 17 ] [ 18 ]

Subdivisión en seis regiones mutuamente adyacentes, delimitadas por el grafo de Tietze.
Solución al problema de las tres utilidades en una cinta de Möbius

La cinta de Möbius se puede dividir en seis regiones mutuamente adyacentes, lo que demuestra que los mapas en la superficie de la cinta de Möbius a veces pueden requerir seis colores, en contraste con el teorema de los cuatro colores para el plano. [ 19 ] Seis colores siempre son suficientes. Este resultado es parte del teorema de Ringel-Youngs , que establece cuántos colores necesita cada superficie topológica. [ 20 ] Las aristas y los vértices de estas seis regiones forman el grafo de Tietze , que es un grafo dual en esta superficie para el grafo completo de seis vértices pero no se puede dibujar sin cruces en un plano . Otra familia de grafos que se pueden incrustar en la cinta de Möbius, pero no en el plano, son las escaleras de Möbius , los límites de las subdivisiones de la cinta de Möbius en rectángulos que se encuentran extremo con extremo. [ 21 ] Estos incluyen el grafo de utilidad, un grafo bipartito completo de seis vértices cuya incrustación en la cinta de Möbius muestra que, a diferencia del plano, el problema de las tres utilidades se puede resolver en una cinta de Möbius transparente. [ 22 ] La característica de Euler de la cinta de Möbius es cero , lo que significa que para cualquier subdivisión de la cinta por vértices y aristas en regiones, los númerosV{\displaystyle V},mi{\displaystyle E}, yF{\displaystyle F}de vértices, aristas y regiones satisfacenV−mi+F=0{\displaystyle V-E+F=0}. Por ejemplo, el gráfico de Tietze tiene12{\displaystyle 12}vértices,18{\displaystyle 18}bordes y6{\displaystyle 6}regiones;12−18+6=0{\displaystyle 12-18+6=0}. [ 19 ]

Construcciones

Existen muchas maneras diferentes de definir superficies geométricas con la topología de la cinta de Möbius, lo que da lugar a realizaciones con propiedades geométricas adicionales.

Barriendo un segmento de línea

Una cinta de Möbius barrida por un segmento de línea giratorio en un plano giratorio.
El conoide de Plücker fue barrido por un movimiento diferente de un segmento de línea.

Una forma de incrustar la cinta de Möbius en el espacio euclidiano tridimensional es barrerla con un segmento de línea que gira en un plano, el cual a su vez gira alrededor de una de sus líneas. [ 23 ] Para que la superficie barrida se encuentre consigo misma después de medio giro, el segmento de línea debe girar alrededor de su centro a la mitad de la velocidad angular de la rotación del plano. Esto se puede describir como una superficie paramétrica definida por ecuaciones para las coordenadas cartesianas de sus puntos, incógnita(tú,v)=(1+v2porque⁡tú2)porque⁡túy(tú,v)=(1+v2porque⁡tú2)pecado⁡túz(tú,v)=v2pecado⁡tú2{\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u\\y(u,v)&=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u\\z(u,v)&={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}\\\end{aligned}}} para0≤tú<2π{\displaystyle 0\leq u<2\pi }y−1≤v≤1{\displaystyle -1\leq v\leq 1}donde un parámetrotú{\displaystyle u}describe el ángulo de rotación del plano alrededor de su eje central y el otro parámetrov{\displaystyle v}describe la posición de un punto a lo largo del segmento de línea giratorio. Esto produce una cinta de Möbius de ancho 1, cuyo círculo central tiene radio 1, se encuentra en elincógnitay{\displaystyle xy}-plano y está centrado en(0,0,0){\displaystyle (0,0,0)}[ 24 ] El mismo método puede producir cintas de Möbius con cualquier número impar de semigiros, haciendo girar el segmento más rápidamente en su plano. El segmento giratorio barre un disco circular en el plano dentro del cual gira, y la cinta de Möbius que genera forma una sección transversal del toro sólido barrido por este disco. Debido a la unilateralidad de esta sección, el toro seccionado permanece conectado. [ 25 ]

Una línea o segmento de línea barrido con un movimiento diferente, girando en un plano horizontal alrededor del origen mientras se mueve hacia arriba y hacia abajo, forma el conoide o cilindroide de Plücker , una superficie reglada algebraica en forma de cinta de Möbius que se autocruza . [ 26 ] Tiene aplicaciones en el diseño de engranajes . [ 27 ]

Superficies poliédricas y pliegues planos

Trihexaflexágono siendo flexionado

Una tira de papel puede formar una cinta de Möbius aplanada en el plano al doblarla en60∘{\displaystyle 60^{\circ }}ángulos de modo que su línea central se encuentre a lo largo de un triángulo equilátero , y uniendo los extremos. La tira más corta para la cual esto es posible consta de tres triángulos equiláteros, doblados en los bordes donde se unen dos triángulos. Su relación de aspecto  —la relación entre la longitud de la tira [ c ] y su ancho—  es3≈1,73{\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.73}y el mismo método de plegado funciona para cualquier relación de aspecto mayor. [ 28 ] [ 29 ] Para una tira de nueve triángulos equiláteros, el resultado es un trihexaflexágono , que se puede flexionar para revelar diferentes partes de su superficie. [ 30 ] Para tiras demasiado cortas para aplicar este método directamente, primero se puede "plegar en acordeón" la tira en su dirección ancha hacia adelante y hacia atrás usando un número par de pliegues. Con dos pliegues, por ejemplo, un1×1{\displaystyle 1\times 1}una franja se convertiría en una1×13{\displaystyle 1\times {\tfrac {1}{3}}}Tira plegada cuya sección transversal tiene forma de "N" y que conservaría esa forma tras medio giro. La tira plegada en acordeón, más estrecha, puede luego plegarse y unirse del mismo modo que una tira más larga . [ 28 ] [ 29 ]

Poliedros de cinco vértices y cintas de Möbius plegadas planas

La cinta de Möbius también puede incrustarse como una superficie poliédrica en el espacio o plegarse en el plano, con solo cinco caras triangulares que comparten cinco vértices. En este sentido, es más simple que el cilindro , que requiere seis triángulos y seis vértices, incluso cuando se representa de forma más abstracta como un complejo simplicial . [ 31 ] [ d ] Una cinta de Möbius de cinco triángulos puede representarse de la forma más simétrica mediante cinco de los diez triángulos equiláteros de un simplex regular de cuatro dimensiones . Esta cinta de Möbius poliédrica de cuatro dimensiones es la única cinta de Möbius ajustada , una que es completamente de cuatro dimensiones y para la cual todos los cortes por hiperplanos la separan en dos partes que son topológicamente equivalentes a discos o círculos. [ 32 ]

Otras incrustaciones poliédricas de cintas de Möbius incluyen una con cuatro cuadriláteros convexos como caras, otra con tres caras cuadriláteras no convexas , [ 33 ] y una que utiliza los vértices y el punto central de un octaedro regular , con un límite triangular. [ 34 ] Toda triangulación abstracta del plano proyectivo puede incrustarse en 3D como una cinta de Möbius poliédrica con un límite triangular después de eliminar una de sus caras; [ 35 ] un ejemplo es el plano proyectivo de seis vértices obtenido al agregar un vértice a la cinta de Möbius de cinco vértices, conectado por triángulos a cada una de sus aristas límite. [ 31 ] Sin embargo, no toda triangulación abstracta de la cinta de Möbius puede representarse geométricamente, como una superficie poliédrica. [ 36 ] Para que sea realizable, es necesario y suficiente que no haya dos 3-ciclos no contraíbles disjuntos en la triangulación. [ 37 ]

Rectángulos incrustados de forma fluida

Una cinta de Möbius rectangular, hecha al unir los extremos de un rectángulo de papel, puede incrustarse suavemente en el espacio tridimensional siempre que su relación de aspecto sea mayor que3≈1,73{\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.73}, la misma proporción que para la versión de triángulo equilátero plegado plano de la cinta de Möbius. [ 38 ] Esta incrustación triangular plana puede elevarse a una incrustación suave [ e ] en tres dimensiones, en la que la tira se encuentra plana en tres planos paralelos entre tres rodillos cilíndricos, cada uno tangente a dos de los planos. [ 38 ] Matemáticamente, una hoja de papel incrustada suavemente puede modelarse como una superficie desarrollable , que puede doblarse pero no estirarse. [ 39 ] [ 40 ] A medida que su relación de aspecto disminuye hacia3{\displaystyle {\sqrt {3}}}, todas las incrustaciones suaves parecen aproximarse a la misma forma triangular. [ 41 ]

Los pliegues longitudinales de una cinta de Möbius plana plegada en acordeón impiden que forme una incrustación tridimensional en la que las capas se separen entre sí y se doblen suavemente sin arrugarse ni estirarse fuera de los pliegues. [ 29 ] En cambio, a diferencia del caso de plegada plana, existe un límite inferior para la relación de aspecto de las cintas de Möbius rectangulares lisas. Su relación de aspecto no puede ser menor queπ/2≈1,57{\displaystyle \pi /2\approx 1.57}, incluso si se permiten autointersecciones. Existen cintas de Möbius suaves autointersecantes para cualquier relación de aspecto por encima de este límite. [ 29 ] [ 42 ] Sin autointersecciones, la relación de aspecto debe ser al menos [ 43 ]233+23≈1.695.{\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}\approx 1.695.}

Problema sin resolver en matemáticas
¿Puede un12×7{\displaystyle 12\times 7}¿Se pueden pegar rectángulos de papel extremo con extremo para formar una cinta de Möbius lisa incrustada en el espacio? [ f ]
Más problemas sin resolver en matemáticas

Para relaciones de aspecto entre este límite y3{\displaystyle {\sqrt {3}}}, ha sido un problema abierto si existen incrustaciones suaves, sin autointersección . [ 29 ] [ 42 ] [ 43 ] En 2023, Richard Schwartz anunció una prueba de que no existen, pero este resultado aún espera revisión por pares y publicación. [ 44 ] [ 45 ] Si se relaja el requisito de suavidad para permitir superficies continuamente diferenciables , el teorema de Nash-Kuiper implica que cualesquiera dos aristas opuestas de cualquier rectángulo pueden pegarse para formar una cinta de Möbius incrustada, sin importar cuán pequeña sea la relación de aspecto. [ g ] El caso límite, una superficie obtenida de una tira infinita del plano entre dos líneas paralelas, pegadas con orientación opuesta entre sí, se llama la cinta de Möbius no acotada o el fibrado de líneas tautológico real . [ 46 ] Aunque no tiene una incrustación cerrada suave en el espacio tridimensional, puede incrustarse suavemente como un subconjunto cerrado del espacio euclidiano de cuatro dimensiones . [ 47 ]

La forma de mínima energía de una cinta de Möbius lisa pegada a partir de un rectángulo no tiene una descripción analítica conocida, pero puede calcularse numéricamente y ha sido objeto de numerosos estudios en la teoría de placas desde el trabajo inicial sobre este tema en 1930 por Michael Sadowsky . [ 39 ] [ 40 ] También es posible encontrar superficies algebraicas que contienen cintas de Möbius rectangulares desarrollables . [ 48 ] [ 49 ]

Hacer que el límite sea circular.

Pegar dos cintas de Möbius para formar una botella de Klein.
Proyección de la cinta de Möbius sudanesa

El borde, o límite , de una cinta de Möbius es topológicamente equivalente a un círculo . En las formas comunes de la cinta de Möbius, tiene una forma diferente a la de un círculo, pero no está anudada , por lo que toda la cinta se puede estirar sin cruzarse para hacer que el borde sea perfectamente circular. [ 50 ] Un ejemplo de esto se basa en la topología de la botella de Klein , una superficie de una sola cara sin límite que no se puede incrustar en el espacio tridimensional, pero sí se puede sumergir (lo que permite que la superficie se cruce a sí misma de ciertas maneras restringidas). Una botella de Klein es la superficie que resulta cuando dos cintas de Möbius se pegan borde con borde, y  —invirtiendo ese proceso—  una botella de Klein se puede cortar a lo largo de un corte cuidadosamente elegido para producir dos cintas de Möbius. [ 51 ] Para una forma de la botella de Klein conocida como botella de Klein de Lawson, la curva a lo largo de la cual se corta se puede hacer circular, lo que da como resultado cintas de Möbius con bordes circulares. [ 52 ]

La botella de Klein de Lawson es una superficie mínima que se autocruza en la hiperesfera unitaria del espacio de 4 dimensiones, el conjunto de puntos de la forma(porque⁡θporque⁡ϕ,pecado⁡θporque⁡ϕ,porque⁡2θpecado⁡ϕ,pecado⁡2θpecado⁡ϕ){\displaystyle (\cos \theta \cos \phi ,\sin \theta \cos \phi ,\cos 2\theta \sin \phi ,\sin 2\theta \sin \phi )}para0≤θ<π,0≤ϕ<2π{\displaystyle 0\leq \theta <\pi ,0\leq \phi <2\pi }. [ 53 ] La mitad de esta botella de Klein, el subconjunto con0≤ϕ<π{\displaystyle 0\leq \phi <\pi }, da una cinta de Möbius incrustada en la hiperesfera como una superficie mínima con un círculo máximo como su límite. [ 54 ] Esta incrustación a veces se llama la "cinta de Möbius sudanesa" en honor a los topólogos Sue Goodman y Daniel Asimov, quienes la descubrieron en la década de 1970. [ 55 ] Geométricamente, la botella de Klein de Lawson se puede construir barriendo un círculo máximo a través de un movimiento gran-circular en la 3-esfera , y la cinta de Möbius sudanesa se obtiene barriendo un semicírculo en lugar de un círculo, o equivalentemente cortando la botella de Klein a lo largo de un círculo que es perpendicular a todos los círculos barridos. [ 52 ] [ 56 ] La proyección estereográfica transforma esta forma de un espacio esférico tridimensional en un espacio euclidiano tridimensional, preservando la circularidad de su límite. [ 52 ] La proyección más simétrica se obtiene utilizando un punto de proyección que se encuentra en el círculo máximo que pasa por el punto medio de cada uno de los semicírculos, pero produce una incrustación no acotada con el punto de proyección alejado de su línea central. [ 54 ] En cambio, dejar la cinta de Möbius sudanesa sin proyectar, en la 3-esfera, la deja con un grupo infinito de simetrías isomorfas al grupo ortogonalO(2){\displaystyle \mathrm {O} (2)}, el grupo de simetrías de un círculo. [ 53 ]

Representación esquemática de una tapa en cruz con la parte inferior abierta, que muestra sus conjuntos de nivel . Esta superficie se cruza a sí misma a lo largo del segmento de línea vertical.

La cinta de Möbius sudanesa se extiende por todos los lados de su círculo límite, inevitablemente si la superficie no se cruza a sí misma. Otra forma de la cinta de Möbius, llamada tapa cruzada o tapa cruzada , también tiene un límite circular, pero por lo demás permanece solo en un lado del plano de este círculo, [ 57 ] lo que la hace más conveniente para adherirse a agujeros circulares en otras superficies. Para ello, se cruza a sí misma. Se puede formar quitando un cuadrilátero de la parte superior de un hemisferio, orientando los bordes del cuadrilátero en direcciones alternas y luego pegando pares opuestos de estos bordes de manera consistente con esta orientación. [ 58 ] Las dos partes de la superficie formadas por los dos pares de bordes pegados se cruzan entre sí con un punto de pellizco como el de un paraguas de Whitney en cada extremo del segmento de cruce, [ 59 ] la misma estructura topológica que se observa en el conoide de Plücker. [ 26 ]

Superficies de curvatura constante

La cinta de Möbius abierta es el interior relativo de una cinta de Möbius estándar, formada al omitir los puntos de su borde. Se le puede asignar una geometría riemanniana con curvatura gaussiana constante positiva, negativa o cero . Los casos de curvatura negativa y cero forman superficies geodésicamente completas, lo que significa que todas las geodésicas ("líneas rectas" en la superficie) pueden extenderse indefinidamente en cualquier dirección.

Curvatura cero
Una tira abierta con curvatura cero puede construirse pegando los lados opuestos de una tira plana entre dos líneas paralelas, descritas anteriormente como el fibrado de líneas tautológico. [ 46 ] La métrica resultante convierte la tira de Möbius abierta en una superficie plana (geodésicamente) completa (es decir, con curvatura gaussiana cero en todas partes). Esta es la única métrica en la tira de Möbius, salvo escalado uniforme, que es a la vez plana y completa. Es el espacio cociente de un plano por una reflexión con deslizamiento y (junto con el plano, el cilindro , el toro y la botella de Klein ) es una de las cinco únicas variedades planas completas bidimensionales . [ 60 ]
Curvatura negativa
La cinta de Möbius abierta también admite métricas completas de curvatura negativa constante. Una forma de ver esto es comenzar con el modelo del semiplano superior (Poincaré) del plano hiperbólico , una geometría de curvatura constante cuyas líneas están representadas en el modelo por semicírculos que se encuentran con el plano hiperbólico.incógnita{\displaystyle x}Eje en ángulo recto. Se toma el subconjunto del semiplano superior entre dos semicírculos anidados cualesquiera, y se identifica el semicírculo exterior con la inversión izquierda-derecha del semicírculo interior. El resultado es topológicamente una cinta de Möbius completa y no compacta con curvatura negativa constante. Es una superficie hiperbólica completa "no estándar" en el sentido de que contiene un semiplano hiperbólico completo (en realidad dos, en lados opuestos del eje de reflexión con deslizamiento), y es una de las únicas 13 superficies no estándar. [ 61 ] Nuevamente, esto puede entenderse como el cociente del plano hiperbólico por una reflexión con deslizamiento. [ 62 ]
Curvatura positiva
Una cinta de Möbius de curvatura positiva constante no puede ser completa, puesto que se sabe que las únicas superficies completas de curvatura positiva constante son la esfera y el plano proyectivo . [ 60 ] Sin embargo, en cierto sentido, está a solo un punto de ser una superficie completa, ya que la cinta de Möbius abierta es homeomorfa al plano proyectivo perforado una vez , la superficie que se obtiene al eliminar cualquier punto del plano proyectivo. [ 63 ]

Las superficies mínimas se describen como de curvatura media cero constante en lugar de curvatura gaussiana constante. La cinta de Möbius sudanesa se construyó como una superficie mínima delimitada por un círculo máximo en una 3-esfera, pero también existe una superficie mínima completa (sin límites) única inmersa en el espacio euclidiano que tiene la topología de una cinta de Möbius abierta. Se la denomina cinta de Möbius de Meeks, [ 64 ] en honor a su descripción en 1982 por William Hamilton Meeks, III . [ 65 ] Aunque globalmente inestable como superficie mínima, pequeños parches de ella, delimitados por curvas no contraíbles dentro de la superficie, pueden formar cintas de Möbius incrustadas estables como superficies mínimas. [ 66 ] Tanto la cinta de Möbius de Meeks como cualquier superficie mínima de dimensión superior con la topología de la cinta de Möbius pueden construirse utilizando soluciones al problema de Björling , que define una superficie mínima de forma única a partir de su curva límite y los planos tangentes a lo largo de esta curva. [ 67 ]

Espacios de líneas

La familia de líneas en el plano puede recibir la estructura de un espacio suave, donde cada línea se representa como un punto en este espacio. El espacio de líneas resultante es topológicamente equivalente a la cinta de Möbius abierta. [ 68 ] Una forma de ver esto es extender el plano euclidiano al plano proyectivo real agregando una línea más, la línea en el infinito . Por dualidad proyectiva, el espacio de líneas en el plano proyectivo es equivalente a su espacio de puntos, el propio plano proyectivo. Al eliminar la línea en el infinito, para producir el espacio de líneas euclidianas, se perfora este espacio de líneas proyectivas. [ 69 ] Por lo tanto, el espacio de líneas euclidianas es un plano proyectivo perforado, que es una de las formas de la cinta de Möbius abierta. [ 63 ] El espacio de líneas en el plano hiperbólico puede ser parametrizado por pares no ordenados de puntos distintos en un círculo, los pares de puntos en el infinito de cada línea. Este espacio, de nuevo, tiene la topología de una cinta de Möbius abierta. [ 70 ]

Estos espacios de líneas son altamente simétricos. Las simetrías de las líneas euclidianas incluyen las transformaciones afines , y las simetrías de las líneas hiperbólicas incluyen las transformaciones de Möbius . [ 71 ] Las transformaciones afines y las transformaciones de Möbius forman grupos de Lie de 6 dimensiones , espacios topológicos que poseen una estructura algebraica compatible que describe la composición de simetrías. [ 72 ] [ 73 ] Debido a que cada línea en el plano es simétrica a cualquier otra línea, la banda de Möbius abierta es un espacio homogéneo , un espacio con simetrías que llevan cada punto a cualquier otro punto. Los espacios homogéneos de grupos de Lie se denominan solvmanifolds , y la banda de Möbius puede utilizarse como contraejemplo , mostrando que no toda solvmanifold es una nilmanifold , y que no toda solvmanifold puede factorizarse en un producto directo de una solvmanifold compacta conRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}Estas simetrías también proporcionan otra forma de construir la cinta de Möbius misma, como un modelo de grupo de estos grupos de Lie. Un modelo de grupo consiste en un grupo de Lie y un subgrupo estabilizador de su acción; al contraer las clases laterales del subgrupo a puntos se produce un espacio con la misma topología que el espacio homogéneo subyacente. En el caso de las simetrías de las líneas euclidianas, el estabilizador de laincógnita{\displaystyle x}El eje consta de todas las simetrías que llevan al eje hacia sí mismo. Cada líneaℓ{\displaystyle \ell }corresponde a una clase lateral, el conjunto de simetrías que mapeanℓ{\displaystyle \ell }haciaincógnita{\displaystyle x}eje -. Por lo tanto, el espacio cociente , un espacio que tiene un punto por clase lateral y hereda su topología del espacio de simetrías, es el mismo que el espacio de líneas, y es de nuevo una cinta de Möbius abierta. [ 74 ]

Aplicaciones

Flujo eléctrico en una resistencia de Möbius

Más allá de las aplicaciones ya comentadas de las cintas de Möbius en el diseño de correas mecánicas que se desgastan uniformemente en toda su superficie, y del conoide de Plücker en el diseño de engranajes, otras aplicaciones de las cintas de Möbius incluyen:

Los científicos también han estudiado la energética de películas de jabón con forma de cintas de Möbius, [ 88 ] [ 89 ] la síntesis química de moléculas con forma de cinta de Möbius, [ 90 ] [ 91 ] y la formación de cintas de Möbius a nanoescala más grandes utilizando origami de ADN . [ 92 ]

Giro sin fin , Max Bill , 1956, del Museo de Escultura al Aire Libre de Middelheim.

Las obras de arte bidimensionales que presentan la cinta de Möbius incluyen una pintura sin título de 1947 de Corrado Cagli (conmemorada en un poema de Charles Olson ), [ 93 ] [ 94 ] y dos grabados de MC Escher : Möbius Band I (1961), que representa tres gusanos planos plegados mordiéndose las colas; y Möbius Band II (1963), que representa hormigas arrastrándose alrededor de una cinta de Möbius con forma de lemniscata . [ 95 ] [ 96 ] También es un tema popular de la escultura matemática , incluyendo obras de Max Bill ( Endless Ribbon , 1953), José de Rivera ( Infinity , 1967) y Sebastián . [ 93 ] Una cinta de Möbius con nudo de trébol se usó en Immortality (1982) de John Robinson . [ 97 ] Continuum (1976) de Charles O. Perry es una de varias piezas de Perry que exploran variaciones de la cinta de Möbius. [ 98 ]

Símbolo de reciclaje
Logotipo de Google Drive (2012–2014)
Logotipo de IMPA en el sello

Debido a su forma fácilmente reconocible, las cintas de Möbius son un elemento común del diseño gráfico . [ 97 ] El conocido logotipo de tres flechas para el reciclaje , diseñado en 1970, se basa en la forma triangular suave de la cinta de Möbius, [ 99 ] al igual que el logotipo de la Expo '74 de temática ambiental . [ 100 ] Algunas variaciones del símbolo de reciclaje utilizan una incrustación diferente con tres medios giros en lugar de uno, [ 99 ] y la versión original del logotipo de Google Drive utilizó una cinta de Möbius de tres giros plegada plana, al igual que otros diseños similares. [ 101 ] El Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) de Brasil utiliza una cinta de Möbius suave estilizada como su logotipo, y tiene una gran escultura a juego de una cinta de Möbius en exhibición en su edificio. [ 102 ] La cinta de Möbius también ha aparecido en el diseño de sellos postales de países como Brasil, Bélgica, los Países Bajos y Suiza. [ 103 ] [ 104 ]

Entrada al Salón de la Fama de NASCAR

Las cintas de Möbius han sido una inspiración frecuente para el diseño arquitectónico de edificios y puentes. Sin embargo, muchos de estos son proyectos o diseños conceptuales más que objetos construidos, o extienden su interpretación de la cinta de Möbius más allá de su reconocibilidad como una forma matemática o una parte funcional de la arquitectura. [ 105 ] [ 106 ] Un ejemplo es la Biblioteca Nacional de Kazajstán , para la cual se planeó un edificio con la forma de una cinta de Möbius engrosada, pero se terminó con un diseño diferente después de que los arquitectos originales se retiraran del proyecto. [ 107 ] Un edificio notable que incorpora una cinta de Möbius es el Salón de la Fama de NASCAR , que está rodeado por una gran cinta retorcida de acero inoxidable que actúa como fachada y marquesina, y evoca las formas curvas de las pistas de carreras. [ 108 ] A menor escala, la Silla Moebius (2006) de Pedro Reyes es un banco de cortejo cuya base y lados tienen la forma de una cinta de Möbius. [ 109 ] Como una forma de matemáticas y artes textiles , las bufandas se han tejido en cintas de Möbius desde el trabajo de Elizabeth Zimmermann a principios de la década de 1980. [ 110 ] En el estilismo culinario , las cintas de Möbius se han utilizado para cortar bagels , [ 111 ] hacer bucles con tocino , [ 112 ] y crear nuevas formas para la pasta . [ 113 ]

Aunque matemáticamente la cinta de Möbius y la cuarta dimensión son conceptos puramente espaciales, a menudo se han invocado en la ficción especulativa como la base de un bucle temporal en el que las víctimas desprevenidas pueden quedar atrapadas. Ejemplos de este tropo incluyen "No-Sided Professor" (1946) de Martin Gardner , " A Subway Named Mobius " (1950) de Armin Joseph Deutsch y la película Moebius (1996) basada en ella. Un mundo entero con forma de cinta de Möbius es el escenario de "The Wall of Darkness" (1946) de Arthur C. Clarke , mientras que las cintas de Möbius convencionales se utilizan como ingeniosas invenciones en múltiples historias de William Hazlett Upson de la década de 1940. [ 114 ] Otras obras de ficción se han analizado como poseedoras de una estructura similar a la de una cinta de Möbius, en la que elementos de la trama se repiten con un giro; Entre ellas se incluyen En busca del tiempo perdido (1913-1927) de Marcel Proust , Seis personajes en busca de autor (1921) de Luigi Pirandello, ¡ Qué bello es vivir ! (1946) de Frank Capra , Perdidos en la casa de la diversión (1968) de John Barth , Dhalgren (1975) de Samuel R. Delany y la película Donnie Darko (2001). [ 115 ]

Uno de los cánones musicales de J.S. Bach , el quinto de 14 cánones ( BWV 1087 ) descubierto en 1974 en la copia de Bach de las Variaciones Goldberg , presenta una simetría de deslizamiento-reflexión en la que cada voz del canon repite, con notas invertidas , el mismo motivo de dos compases antes. Debido a esta simetría, este canon puede pensarse como si su partitura estuviera escrita en una cinta de Möbius. [ 116 ] [ h ] En teoría musical , los tonos que difieren en una octava se consideran generalmente notas equivalentes, y el espacio de notas posibles forma un círculo, el círculo cromático . Dado que la cinta de Möbius es el espacio de configuración de dos puntos no ordenados en un círculo, el espacio de todos los acordes de dos notas toma la forma de una cinta de Möbius. Esta concepción, y generalizaciones a más puntos, es una aplicación significativa de los orbifolds a la teoría musical . [ 117 ] [ 118 ] Entre los grupos musicales modernos que toman su nombre de la cinta de Möbius se incluyen el trío estadounidense de rock electrónico Mobius Band [ 119 ] y la banda noruega de rock progresivo Ring Van Möbius . [ 120 ]

El "Möbius flip" es un truco acrobático de esquí difícil que consiste en un giro completo con una pirueta. [ 121 ] En The Moebius Flip , un cortometraje experimental de esquí de 1969 , los esquiadores dan un giro a una realidad alternativa y deben completar el truco que da título a la película para volver a casa. [ 122 ]

Las cintas de Möbius y sus propiedades se han utilizado en el diseño de trucos de magia escénica . Uno de estos trucos, conocido como las bandas afganas, se basa en el hecho de que la cinta de Möbius permanece intacta como una sola tira al cortarla longitudinalmente. Se originó en la década de 1880 y fue muy popular en la primera mitad del siglo XX. Existen muchas versiones de este truco, realizadas por ilusionistas famosos como Harry Blackstone Sr. y Thomas Nelson Downs . [ 123 ] [ 124 ]

Véase también

  • Contador de Möbius , un registro de desplazamiento cuyo bit de salida se complementa antes de ser realimentado al bit de entrada.
  • Triángulo de Penrose , una figura imposible cuyo contorno parece envolverla en una cinta de Möbius.
  • Teoría de las cintas , la teoría matemática de tiras infinitesimalmente delgadas que siguen curvas espaciales anudadas.
  • Atractor de Smale-Williams , un fractal formado al engrosar repetidamente una curva espacial hasta convertirla en una cinta de Möbius y luego reemplazarla con el borde límite.
  • toro umbilical

Notas

  1. ↑ Pronunciado EE. UU .: / ˈ m oʊ b i ə s , ˈ m eɪ -/ MOH -bee-əs, MAY - , Reino Unido : / ˈ m ɜː b i ə s / ; [ 1 ] Alemán: [ ˈmøːbi̯ʊs ] . Como es común para las palabras que contienen una diéresis , también se suele escribir Mobius o Moebius .
  2. ↑ Esencialmente este ejemplo, pero para una botella de Klein en lugar de una cinta de Möbius, lo da Blackett (1982) . [ 8 ]
  3. ↑ La longitud de una tira se puede medir en su línea central, o cortando la cinta de Möbius resultante perpendicularmente a su borde de manera que forme un rectángulo.
  4. ↑ La cinta de Möbius plegada en plano formada por tres triángulos equiláteros no proviene de un complejo simplicial abstracto , porque los tres triángulos comparten los mismos tres vértices, mientras que los complejos simpliciales abstractos requieren que cada triángulo tenga un conjunto diferente de vértices.
  5. ↑ Esta incrustación plana y cilíndrica por partes tieneclase de suavidaddo2{\displaystyle C^{2}}y puede aproximarse con precisión arbitraria mediante clases infinitamente diferenciables (clasedo∞{\displaystyle C^{\infty }}) incrustaciones. [ 39 ]
  6. ↑ 12/7 es el número racional más simple en el rango de relaciones de aspecto, entre 1,695 y 1,73, para el cual se desconoce la existencia de una incrustación suave.
  7. ↑ Estas superficies tienen una clase de suavidaddo1{\displaystyle C^{1}}Para un análisis más detallado de los supuestos de suavidad que obligan a que una incrustación sea desarrollable frente a los supuestos bajo los cuales el teorema de Nash-Kuiper permite incrustaciones arbitrariamente flexibles, véanse los comentarios de Bartels y Hornung (2015) , pág. 116, después del Teorema 2.2. [ 39 ]
  8. ↑ Las cintas de Möbius también se han utilizado para analizar muchos otros cánones de Bach y otros, pero en la mayoría de estos casos se podrían haber utilizado igualmente otras superficies con bucles, como un cilindro. [ 116 ]

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