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Viscoplasticidad

Figura 1. Elementos utilizados en modelos unidimensionales de materiales viscoplásticos. La viscoplasticidad es una teoría de la mecánica de medios continuos que describe el com...

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Figura 1. Elementos utilizados en modelos unidimensionales de materiales viscoplásticos.

La viscoplasticidad es una teoría de la mecánica de medios continuos que describe el comportamiento inelástico dependiente de la velocidad de los sólidos . En este contexto, la dependencia de la velocidad significa que la deformación del material depende de la velocidad a la que se aplican las cargas . [ 1 ] El comportamiento inelástico que estudia la viscoplasticidad es la deformación plástica , lo que significa que el material experimenta deformaciones irreversibles cuando se alcanza un nivel de carga. La plasticidad dependiente de la velocidad es importante para los cálculos de plasticidad transitoria. La principal diferencia entre los modelos de materiales plásticos independientes de la velocidad y los viscoplásticos es que estos últimos no solo presentan deformaciones permanentes después de la aplicación de cargas, sino que continúan experimentando un flujo de fluencia en función del tiempo bajo la influencia de la carga aplicada.

La respuesta elástica de los materiales viscoplásticos se puede representar en una dimensión mediante elementos de resorte de Hooke . La dependencia de la velocidad se puede representar mediante elementos amortiguadores no lineales de manera similar a la viscoelasticidad . La plasticidad se puede tener en cuenta añadiendo elementos de fricción deslizantes como se muestra en la Figura 1. [ 2 ] En la figurami{\displaystyle E}es el módulo de elasticidad ,λ{\displaystyle \lambda }es el parámetro de viscosidad ynorte{\displaystyle N}es un parámetro de tipo ley de potencia que representa un amortiguador no lineal[σ(dε/dt)=σ=λ(dε/dt)1/norte]{\displaystyle [\sigma (\mathrm {d} \varepsilon /\mathrm {d} t)=\sigma =\lambda (\mathrm {d} \varepsilon /\mathrm {d} t)^{1/N}]}. El elemento deslizante puede tener una tensión de fluencia (σy{\displaystyle \sigma _{y}}) que depende de la velocidad de deformación , o incluso es constante, como se muestra en la Figura 1c.

La viscoplasticidad se suele modelar en tres dimensiones utilizando modelos de sobreesfuerzo de los tipos Perzyna o Duvaut-Lions. [ 3 ] En estos modelos, se permite que el esfuerzo aumente más allá de la superficie de fluencia independiente de la velocidad al aplicar una carga y luego se permite que se relaje hasta la superficie de fluencia con el tiempo. Generalmente se supone que la superficie de fluencia no depende de la velocidad en dichos modelos. Un enfoque alternativo consiste en añadir una dependencia de la velocidad de deformación al esfuerzo de fluencia y utilizar las técnicas de plasticidad independiente de la velocidad para calcular la respuesta de un material. [ 4 ]

En metales y aleaciones , la viscoplasticidad es el comportamiento macroscópico causado por un mecanismo vinculado al movimiento de dislocaciones en los granos , con efectos superpuestos de deslizamiento intercristalino. Este mecanismo suele predominar a temperaturas superiores a aproximadamente un tercio de la temperatura de fusión absoluta. Sin embargo, ciertas aleaciones presentan viscoplasticidad a temperatura ambiente (300  K). En polímeros , madera y betún , la teoría de la viscoplasticidad es necesaria para describir comportamientos que van más allá del límite de elasticidad o viscoelasticidad .

En general, las teorías de viscoplasticidad son útiles en áreas como:

  • el cálculo de deformaciones permanentes,
  • la predicción del colapso plástico de las estructuras,
  • la investigación de la estabilidad,
  • simulaciones de choques,
  • sistemas expuestos a altas temperaturas, como las turbinas de los motores, por ejemplo, una central eléctrica,
  • Problemas y sistemas dinámicos expuestos a altas tasas de deformación.

Historia

La investigación sobre las teorías de plasticidad comenzó en 1864 con el trabajo de Henri Tresca , [ 5 ] Saint Venant (1870) y Levy (1871) [ 6 ] sobre el criterio de corte máximo . [ 7 ] Un modelo de plasticidad mejorado fue presentado en 1913 por Von Mises [ 8 ] que ahora se conoce como el criterio de fluencia de von Mises . En viscoplasticidad, el desarrollo de un modelo matemático se remonta a 1910 con la representación de la fluencia primaria por la ley de Andrade. [ 9 ] En 1929, Norton [ 10 ] desarrolló un modelo de amortiguador unidimensional que vinculaba la tasa de fluencia secundaria con la tensión. En 1934, Odqvist [ 11 ] generalizó la ley de Norton al caso multiaxial.

Conceptos como la normalidad del flujo plástico a la superficie de fluencia y las reglas de flujo para la plasticidad fueron introducidos por Prandtl (1924) [ 12 ] y Reuss (1930). [ 13 ] En 1932, Hohenemser y Prager [ 14 ] propusieron el primer modelo para el flujo viscoplástico lento. Este modelo proporcionó una relación entre la tensión desviadora y la velocidad de deformación para un sólido de Bingham incompresible [ 15 ] Sin embargo, la aplicación de estas teorías no comenzó hasta 1950, cuando se descubrieron los teoremas límite.

En 1960, el primer Simposio IUTAM "Fluencia en Estructuras", organizado por Hoff [ 16 ] , supuso un importante avance en la viscoplasticidad con los trabajos de Hoff, Rabotnov, Perzyna, Hult y Lemaitre sobre las leyes de endurecimiento isotrópico , y los de Kratochvil, Malinini y Khadjinsky, Ponter y Leckie, y Chaboche sobre las leyes de endurecimiento cinemático . En 1963, Perzyna introdujo un coeficiente de viscosidad dependiente de la temperatura y el tiempo [ 17 ] . Los modelos formulados se fundamentaron en la termodinámica de los procesos irreversibles y en la perspectiva fenomenológica . Las ideas presentadas en estos trabajos han sido la base de la mayoría de las investigaciones posteriores sobre plasticidad dependiente de la velocidad.

Fenomenología

Para un análisis cualitativo, se realizan varias pruebas características para describir la fenomenología de los materiales viscoplásticos. Algunos ejemplos de estas pruebas son [ 9 ].

  1. ensayos de endurecimiento a tensión o velocidad de deformación constante,
  2. ensayos de fluencia a fuerza constante y
  3. Relajación de la tensión a elongación constante.

Ensayo de endurecimiento por deformación

Figura 2. Respuesta tensión-deformación de un material viscoplástico a diferentes velocidades de deformación. Las líneas punteadas muestran la respuesta si la velocidad de deformación se mantiene constante. La línea azul muestra la respuesta cuando la velocidad de deformación cambia bruscamente.

Una consecuencia de la fluencia es que, a medida que avanza la deformación plástica, se requiere un aumento de la tensión para producir una deformación adicional . Este fenómeno se conoce como endurecimiento por deformación/trabajo . [ 18 ] Para un material viscoplástico, las curvas de endurecimiento no son significativamente diferentes de las de un material plástico independiente de la velocidad. Sin embargo, se pueden observar tres diferencias esenciales.

  1. A la misma deformación, cuanto mayor sea la tasa de deformación, mayor será la tensión.
  2. Un cambio en la tasa de deformación durante el ensayo produce un cambio inmediato en la curva tensión-deformación .
  3. El concepto de límite elástico del plástico ya no es estrictamente aplicable.

La hipótesis de particionar las deformaciones desacoplando las partes elásticas y plásticas sigue siendo aplicable cuando las deformaciones son pequeñas, [ 3 ] es decir,

ε=εmi+εvpag{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }+{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}

dóndeεmi{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}es la deformación elástica yεvpag{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}es la deformación viscoplástica. Para obtener el comportamiento tensión-deformación que se muestra en azul en la figura, el material se carga inicialmente a una velocidad de deformación de 0,1/s. A continuación, la velocidad de deformación se eleva instantáneamente a 100/s y se mantiene constante en ese valor durante un tiempo. Al final de ese período, la velocidad de deformación se reduce instantáneamente a 0,1/s y el ciclo se repite para valores crecientes de deformación. Existe claramente un desfase entre el cambio de velocidad de deformación y la respuesta de tensión. Este desfase se modela con bastante precisión mediante modelos de sobretensión (como el modelo de Perzyna ), pero no mediante modelos de plasticidad independiente de la velocidad que tienen una tensión de fluencia dependiente de la velocidad.

Prueba de fluencia

Figura 3a. Ensayo de fluencia
Figura 3b. Deformación en función del tiempo en un ensayo de fluencia.

La fluencia es la tendencia de un material sólido a moverse o deformarse lentamente de forma permanente bajo tensiones constantes. Los ensayos de fluencia miden la respuesta de deformación debida a una tensión constante, como se muestra en la Figura 3. La curva de fluencia clásica representa la evolución de la deformación en función del tiempo en un material sometido a tensión uniaxial a temperatura constante. El ensayo de fluencia, por ejemplo, se realiza aplicando una fuerza/tensión constante y analizando la respuesta de deformación del sistema. En general, como se muestra en la Figura 3b, esta curva suele mostrar tres fases o periodos de comportamiento: [ 9 ]

  1. La etapa de fluencia primaria , también conocida como fluencia transitoria, es la etapa inicial durante la cual el endurecimiento del material conduce a una disminución de la velocidad de flujo, que inicialmente es muy alta.(0≤ε≤ε1){\displaystyle (0\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{1})}.
  2. La etapa de fluencia secundaria , también conocida como estado estacionario, es aquella en la que la velocidad de deformación es constante.(ε1≤ε≤ε2){\displaystyle ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{1}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{2})}.
  3. Una fase de fluencia terciaria en la que se produce un aumento de la velocidad de deformación hasta alcanzar la deformación de fractura.(ε2≤ε≤εR){\displaystyle ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{2}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{R})}.

Prueba de relajación

Figura 4. a) Deformación aplicada en una prueba de relajación y b) tensión inducida en función del tiempo durante un período corto para un material viscoplástico.

Como se muestra en la Figura 4, la prueba de relajación [ 19 ] se define como la respuesta de tensión debida a una deformación constante durante un período de tiempo. En materiales viscoplásticos, las pruebas de relajación demuestran la relajación de la tensión en carga uniaxial a una deformación constante. De hecho, estas pruebas caracterizan la viscosidad y pueden utilizarse para determinar la relación que existe entre la tensión y la velocidad de deformación viscoplástica. La descomposición de la velocidad de deformación es

dεdt=dεmidt+dεvpagdt .{\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}+{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}~.}

La parte elástica de la tasa de deformación viene dada por

dεmidt=mi−1 dσdt{\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}}

Para la región plana de la curva deformación-tiempo, la tasa de deformación total es cero. Por lo tanto, tenemos:

dεvpagdt=−mi−1 dσdt{\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}=-{\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}}

Por lo tanto, la curva de relajación puede utilizarse para determinar la velocidad de deformación viscoplástica y, por consiguiente, la viscosidad del amortiguador en un modelo de material viscoplástico unidimensional. El valor residual que se alcanza cuando la tensión se estabiliza al final de una prueba de relajación corresponde al límite superior de elasticidad. Para algunos materiales, como la sal gema, dicho límite superior de elasticidad se produce con un valor de tensión muy bajo, y las pruebas de relajación pueden prolongarse durante más de un año sin que se observe ninguna meseta en la tensión.

Es importante señalar que las pruebas de relajación son extremadamente difíciles de realizar porque mantener la condicióndεdt=0{\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}=0}en una prueba se requiere una delicadeza considerable. [ 20 ]

Modelos reológicos de viscoplasticidad

Los modelos constitutivos unidimensionales para la viscoplasticidad basados ​​en elementos de resorte-amortiguador-deslizador incluyen [ 3 ] el sólido perfectamente viscoplástico, el sólido elástico perfectamente viscoplástico y el sólido elastoviscoplástico con endurecimiento. Los elementos pueden conectarse en serie o en paralelo . En los modelos donde los elementos están conectados en serie, la deformación es aditiva mientras que la tensión es igual en cada elemento. En las conexiones en paralelo, la tensión es aditiva mientras que la deformación es igual en cada elemento. Muchos de estos modelos unidimensionales pueden generalizarse a tres dimensiones para el régimen de pequeñas deformaciones. En la discusión posterior, las tasas de tiempo de deformación y tensión se escriben comoε˙{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}}yσ˙{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}, respectivamente.

Sólido perfectamente viscoplástico (modelo de Norton-Hoff)

Figura 5. Modelo de Norton-Hoff para un sólido perfectamente viscoplástico.

En un sólido perfectamente viscoplástico, también llamado modelo de viscoplasticidad de Norton-Hoff, la tensión (como en los fluidos viscosos) es una función de la tasa de deformación permanente. El efecto de la elasticidad se desprecia en el modelo, es decir,εmi=0{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}=0}y por lo tanto no hay tensión de fluencia inicial, es decir,σy=0{\displaystyle \sigma _{y}=0}. El amortiguador viscoso tiene una respuesta dada por

σ=η ε˙vpag⟹ε˙vpag=ση{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\eta ~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\!\mathrm {vp} }\implies {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\!\mathrm {vp} }={\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}}

dóndeη{\displaystyle \eta }es la viscosidad del amortiguador. En el modelo de Norton-Hoff la viscosidadη{\displaystyle \eta }es una función no lineal de la tensión aplicada y viene dada por

η=λ(λ‖σ‖)norte−1{\displaystyle \eta =\lambda \left({\frac {\lambda }{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right)^{N-1}}

dóndenorte{\displaystyle N}es un parámetro de ajuste, λ es la viscosidad cinemática del material y‖σ‖=σ:σ=σijσij{\displaystyle \|{\boldsymbol {\sigma }}\|={\sqrt {{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\sigma }}}}={\sqrt {\sigma _{ij}\sigma _{ij}}}}Entonces, la tasa de deformación viscoplástica viene dada por la relación

ε˙vpag=σλ(‖σ‖λ)norte−1{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left({\frac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right)^{N-1}}

En forma unidimensional, el modelo de Norton-Hoff se puede expresar como

σ=λ (ε˙vpag)1/norte{\displaystyle \sigma =\lambda ~\left({\dot {\varepsilon }}_{\!\mathrm {vp} }\right)^{1/N}}

Cuandonorte=1.0{\displaystyle N=1.0}El sólido es viscoelástico .

Si asumimos que el flujo plástico es isocórico (conserva el volumen), entonces la relación anterior se puede expresar en la forma más familiar [ 21 ].

s=2K (3ε˙miq)metro−1 ε˙vpag{\displaystyle {\boldsymbol {s}}=2K~\left({\sqrt {3}}{\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }\right)^{m-1}~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }}

dóndes{\displaystyle {\boldsymbol {s}}}es el tensor de tensiones desviadoras ,ε˙miq{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }}es la tasa de deformación equivalente de von Mises , yK,metro{\displaystyle K,m}son parámetros del material. La velocidad de deformación equivalente se define como

ϵ¯˙=23ϵ¯¯˙:ϵ¯¯˙{\displaystyle {\dot {\bar {\epsilon }}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}:{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}}}}

Estos modelos pueden aplicarse a metales y aleaciones a temperaturas superiores a dos tercios [ 21 ] de su punto de fusión absoluto (en kelvin) y a polímeros/asfalto a temperaturas elevadas. Las respuestas para los ensayos de endurecimiento por deformación, fluencia y relajación de dichos materiales se muestran en la Figura 6.

Figura 6: Respuesta de un sólido perfectamente viscoplástico a las pruebas de endurecimiento, fluencia y relajación.

Sólido elástico perfectamente viscoplástico (modelo de Bingham-Norton)

Figura 7. El material elástico perfectamente viscoplástico.

Se pueden utilizar dos tipos de enfoques elementales para construir un modo viscoelástico perfecto. En el primer caso, el elemento de fricción deslizante y el amortiguador se disponen en paralelo y luego se conectan en serie al resorte elástico como se muestra en la Figura 7. Este modelo se denomina modelo de Bingham-Maxwell (por analogía con el modelo de Maxwell y el modelo de Bingham ) o modelo de Bingham-Norton . [ 22 ] En el segundo caso, los tres elementos se disponen en paralelo. Este modelo se denomina modelo de Bingham-Kelvin por analogía con el modelo de Kelvin .

Para materiales elástico-viscoplásticos perfectos, la deformación elástica ya no se considera despreciable, sino que la tasa de deformación plástica es solo función de la tensión de fluencia inicial y no hay influencia del endurecimiento. El elemento deslizante representa una tensión de fluencia constante cuando se supera el límite elástico, independientemente de la deformación. El modelo se puede expresar como

σ=mi εFor ‖σ‖<σyε˙=ε˙mi+ε˙vpag=mi−1 σ˙+ση[1−σy‖σ‖]For ‖σ‖≥σy{\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {E}}~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}\end{aligned}}}

dóndeη{\displaystyle \eta }es la viscosidad del elemento amortiguador. Si el elemento amortiguador tiene una respuesta de la forma Norton

ση=σλ[‖σ‖λ]norte−1{\displaystyle {\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}}

obtenemos el modelo Bingham-Norton

ε˙=mi−1 σ˙+σλ[‖σ‖λ]norte−1[1−σy‖σ‖]For ‖σ‖≥σy{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}}

También se pueden observar otras expresiones para la tasa de deformación en la literatura [ 22 ] con la forma general

ε˙=mi−1 σ˙+F(σ,σy) σFor ‖σ‖≥σy{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y})~{\boldsymbol {\sigma }}\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}}

En la figura 8 se muestran las respuestas obtenidas en las pruebas de endurecimiento por deformación, fluencia y relajación de dicho material.

Figura 8. Respuesta de un sólido viscoplástico elástico perfecto a las pruebas de endurecimiento, fluencia y relajación.

Sólido endurecible elastoviscoplástico

Un material elastoviscoplástico con endurecimiento por deformación se describe mediante ecuaciones similares a las de un material elastoviscoplástico con plasticidad perfecta. Sin embargo, en este caso la tensión depende tanto de la velocidad de deformación plástica como de la deformación plástica misma. Para un material elastoviscoplástico, la tensión, después de superar la tensión de fluencia, continúa aumentando más allá del punto de fluencia inicial. Esto implica que la tensión de fluencia en el elemento deslizante aumenta con la deformación y el modelo puede expresarse en términos genéricos como

ε=εmi=mi−1 σ= εFor ‖σ‖<σyε˙=ε˙mi+ε˙vpag=mi−1 σ˙+F(σ,σy,εvpag) σFor ‖σ‖≥σy{\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\boldsymbol {\sigma }}=~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\!\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\!\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} })~{\boldsymbol {\sigma }}&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}\end{aligned}}}

Este modelo se adopta cuando los metales y las aleaciones se encuentran a temperaturas medias y altas, y la madera está sometida a cargas elevadas. Las respuestas a las pruebas de endurecimiento por deformación, fluencia y relajación de dicho material se muestran en la Figura 9.

Figura 9. Respuesta del sólido elastoviscoplástico endurecible a las pruebas de endurecimiento, fluencia y relajación.

Modelos de plasticidad dependientes de la velocidad de deformación

Los modelos clásicos de viscoplasticidad fenomenológica para pequeñas deformaciones se suelen clasificar en dos tipos: [ 3 ]

  • La formulación de Perzyna
  • La formulación de Duvaut-Lions

Formulación de Perzyna

En la formulación de Perzyna, se supone que la velocidad de deformación plástica viene dada por una relación constitutiva de la forma

ε˙vpag=⟨F(σ,q)⟩τ∂F∂σ={F(σ,q)τ∂F∂σsi F(σ,q)>00de lo contrario{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\left\langle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})\right\rangle }{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{cases}{\cfrac {f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}&{\text{if}}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0\\0&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}

dóndeF(.,.){\displaystyle f(.,.)}es una función de rendimiento ,σ{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}es el estrés de Cauchy ,q{\displaystyle {\boldsymbol {q}}}es un conjunto de variables internas (como la deformación plástica)εvpag{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}),τ{\displaystyle \tau }es un tiempo de relajación. La notación⟨…⟩{\displaystyle \langle \dots \rangle }denota los corchetes de Macaulay . La regla de flujo utilizada en varias versiones del modelo de Chaboche es un caso especial de la regla de flujo de Perzyna [ 23 ] y tiene la forma

ε˙vpag=⟨FF0⟩nortesgn⁡(σ−χ){\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }=\left\langle {\frac {f}{f_{0}}}\right\rangle ^{n}\operatorname {sgn}({\boldsymbol {\sigma }}-{\boldsymbol {\chi }})}

dóndeF0{\displaystyle f_{0}}es el valor cuasiestático deF{\displaystyle f} yχ{\displaystyle {\boldsymbol {\chi }}}es un estrés de espalda . Varios modelos para el estrés de espalda también se conocen como modelo Chaboche .

Formulación de Duvaut-Lions

La formulación de Duvaut-Lions es equivalente a la formulación de Perzyna y puede expresarse como

ε˙vpag={do−1:σ−PAGστsi F(σ,q)>00de lo contrario{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\begin{cases}{\mathsf {C}}^{-1}:{\cfrac {{\boldsymbol {\sigma }}-{\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}{\tau }}&{\text{if}}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}

dóndedo{\displaystyle {\mathsf {C}}}es el tensor de rigidez elástica,PAGσ{\displaystyle {\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}es la proyección puntual más cercana del estado de tensión sobre el límite de la región que delimita todos los posibles estados de tensión elástica. La cantidadPAGσ{\displaystyle {\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}Normalmente se obtiene a partir de la solución independiente de la velocidad de un problema de plasticidad.

Modelos de tensión de flujo

La cantidadF(σ,q){\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}representa la evolución de la superficie de rendimiento . La función de rendimientoF{\displaystyle f}A menudo se expresa como una ecuación que consta de algún invariante de tensión y un modelo para la tensión de fluencia (o tensión de flujo plástico ). Un ejemplo es von Mises oJ2{\displaystyle J_{2}}plasticidad. En esos casos, la velocidad de deformación plástica se calcula de la misma manera que en la plasticidad independiente de la velocidad. En otros casos, el modelo de límite elástico proporciona un método directo para calcular la velocidad de deformación plástica.

En la plasticidad computacional se utilizan numerosos modelos de tensión de fluencia, tanto empíricos como semiempíricos. Los siguientes modelos, que dependen de la temperatura y la velocidad de deformación, ofrecen una muestra de los modelos que se utilizan actualmente:

  1. el modelo Johnson-Cook
  2. el modelo de Steinberg-Cochran-Guinan-Lund.
  3. el modelo de Zerilli-Armstrong.
  4. El modelo de tensión umbral mecánica.
  5. el modelo Preston-Tonks-Wallace.

El modelo Johnson-Cook (JC) [ 24 ] es puramente empírico y es el más utilizado de los cinco. Sin embargo, este modelo exhibe una dependencia de la tasa de deformación irrealmente pequeña a altas temperaturas. El modelo Steinberg-Cochran-Guinan-Lund (SCGL) [ 25 ] [ 26 ] es semiempírico. El modelo es puramente empírico e independiente de la tasa de deformación a altas tasas de deformación. Se utiliza una extensión basada en dislocaciones basada en [ 27 ] a bajas tasas de deformación. El modelo SCGL es utilizado ampliamente por la comunidad de física de choque. El modelo Zerilli-Armstrong (ZA) [ 28 ] es un modelo simple basado en la física que se ha utilizado ampliamente. Un modelo más complejo que se basa en ideas de la dinámica de dislocaciones es el modelo de tensión umbral mecánica (MTS). [ 29 ] Este modelo se ha utilizado para modelar la deformación plástica del cobre, tantalio , [ 30 ] aleaciones de acero, [ 31 ] [ 32 ] y aleaciones de aluminio. [ 33 ] Sin embargo, el modelo MTS está limitado a velocidades de deformación menores a aproximadamente 10 7 /s. El modelo Preston–Tonks–Wallace (PTW) [ 34 ] también se basa en principios físicos y tiene una forma similar al modelo MTS. Sin embargo, el modelo PTW tiene componentes que pueden modelar la deformación plástica en el régimen de choque sobreimpulsado (velocidades de deformación mayores a 10 7 /s). Por lo tanto, este modelo es válido para el rango más amplio de velocidades de deformación entre los cinco modelos de tensión de flujo.

Modelo de tensión de flujo de Johnson-Cook

El modelo Johnson-Cook (JC) [ 24 ] es puramente empírico y da la siguiente relación para la tensión de flujo (σy{\displaystyle \sigma _{y}})

(1)σy(εpag,ε˙pag,T)=[A+B(εpag)norte][1+doln⁡ε˙pag∗][1−(T∗)metro]{\displaystyle {\text{(1)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\text{p}},{\dot {\varepsilon }}_{\text{p}},T)=\left[A+B\left(\varepsilon _{\text{p}}\right)^{n}\right]\left[1+C\ln {\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}}^{*}\right]\left[1-(T^{*})^{m}\right]}

dóndeεpag{\displaystyle \varepsilon _{\text{p}}}es la deformación plástica equivalente ,ε˙pag{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}}es la tasa de deformación plástica yA,B,do,norte,metro{\displaystyle A,B,C,n,m}son constantes materiales.

La tasa de deformación y la temperatura normalizadas en la ecuación (1) se definen como

ε˙pag∗:=ε˙pagε˙p0yT∗:=T−T0Tmetro−T0{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}}^{*}:={\frac {{\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}}}{{\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p0}}}}}\qquad {\text{and}}\qquad T^{*}:={\frac {T-T_{0}}{T_{m}-T_{0}}}}

dóndeε˙p0{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\text{p0}}}es la velocidad de deformación plástica efectiva del ensayo cuasiestático utilizado para determinar los parámetros de fluencia y endurecimiento A, B y n. Esto no es, como a menudo se piensa, solo un parámetro para hacerε˙pag∗{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}^{*}}adimensional. [ 35 ]T0{\displaystyle T_{0}}es una temperatura de referencia yTmetro{\displaystyle T_{m}}es una temperatura de fusión de referencia . Para condiciones dondeT∗<0{\displaystyle T^{*}<0}, asumimos quemetro=1{\displaystyle m=1}.

Modelo de tensión de flujo de Steinberg-Cochran-Guinan-Lund

El modelo Steinberg–Cochran–Guinan–Lund (SCGL) es un modelo semiempírico desarrollado por Steinberg et al. [ 25 ] para situaciones de alta velocidad de deformación y extendido a bajas velocidades de deformación y materiales bcc por Steinberg y Lund. [ 26 ] La tensión de fluencia en este modelo viene dada por

(2)σy(εpag,ε˙pag,T)=[σaF(εpag)+σt(ε˙pag,T)]μ(pag,T)μ0;σaF≤σmáximo  y  σt≤σpag{\displaystyle {\text{(2)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\text{p}},{\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}},T)=\left[\sigma _{a}f(\varepsilon _{\text{p}})+\sigma _{t}({\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}},T)\right]{\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}};\quad \sigma _{a}f\leq \sigma _{\text{max}}~~{\text{and}}~~\sigma _{t}\leq \sigma _{p}}

dóndeσa{\displaystyle \sigma _{a}}es el componente atérmico de la tensión de flujo,F(εpag){\displaystyle f(\varepsilon _{\text{p}})}es una función que representa el endurecimiento por deformación,σt{\displaystyle \sigma _{t}}es el componente activado térmicamente de la tensión de flujo,μ(pag,T){\displaystyle \mu (p,T)}es el módulo de corte dependiente de la presión y la temperatura, yμ0{\displaystyle \mu _{0}}es el módulo de corte a temperatura y presión estándar . El valor de saturación de la tensión atérmica esσmáximo{\displaystyle \sigma _{\text{max}}}. La saturación de la tensión activada térmicamente es la tensión de Peierls (σpag{\displaystyle \sigma _{p}}). El módulo de corte para este modelo se suele calcular con el modelo de módulo de corte de Steinberg-Cochran-Guinan .

La función de endurecimiento por deformación (F{\displaystyle f}) tiene la forma

F(εpag)=[1+β(εpag+εpagi)]norte{\displaystyle f(\varepsilon _{\text{p}})=[1+\beta (\varepsilon _{\text{p}}+\varepsilon _{\text{p}}i)]^{n}}

dóndeβ,norte{\displaystyle \beta ,n}son parámetros de endurecimiento por trabajo yεpagi{\displaystyle \varepsilon _{\text{p}}i}es la deformación plástica equivalente inicial.

El componente térmico (σt{\displaystyle \sigma _{t}}) se calcula utilizando un algoritmo de bisección a partir de la siguiente ecuación. [ 26 ] [ 27 ]

ε˙pag=[1do1exp⁡[2UkkBT(1−σtσpag)2]+do2σt]−1;σt≤σpag{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}=\left[{\frac {1}{C_{1}}}\exp \left[{\frac {2U_{k}}{k_{\text{B}}T}}\left(1-{\frac {\sigma _{t}}{\sigma _{p}}}\right)^{2}\right]+{\frac {C_{2}}{\sigma _{t}}}\right]^{-1};\quad \sigma _{t}\leq \sigma _{p}}

dónde2Uk{\displaystyle 2U_{k}}es la energía para formar un par de kinks en un segmento de dislocación de longitudLd{\displaystyle L_{d}},kb{\displaystyle k_{b}}es la constante de Boltzmann ,σpag{\displaystyle \sigma _{p}}es la tensión de Peierls . Las constantesdo1,do2{\displaystyle C_{1},C_{2}}están dadas por las relaciones

do1:=ρdLdab2ν2w2;do2:=Dρdb2{\displaystyle C_{1}:={\frac {\rho _{d}L_{d}ab^{2}\nu }{2w^{2}}};\quad C_{2}:={\frac {D}{\rho _{d}b^{2}}}}

dóndeρd{\displaystyle \rho _{d}}es la densidad de dislocaciones ,Ld{\displaystyle L_{d}}es la longitud de un segmento de dislocación,a{\displaystyle a}es la distancia entre los valles de Peierls ,b{\displaystyle b}es la magnitud del vector de Burgers ,ν{\displaystyle \nu }es la frecuencia de Debye ,w{\displaystyle w}es el ancho de un bucle de torsión , yD{\displaystyle D}es el coeficiente de arrastre .

Modelo de tensión de flujo de Zerilli-Armstrong

El modelo de Zerilli-Armstrong (ZA) [ 28 ] [ 36 ] [ 37 ] se basa en una mecánica de dislocaciones simplificada. La forma general de la ecuación para la tensión de fluencia es

(3)σy(εpag,ε˙pag,T)=σa+Bexp⁡(−βT)+B0εpagexp⁡(−αT) .{\displaystyle {\text{(3)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\text{p}},{\dot {\varepsilon }}_{\text{p}},T)=\sigma _{a}+B\exp(-\beta T)+B_{0}{\sqrt {\varepsilon _{\text{p}}}}\exp(-\alpha T)~.} En este modelo,σa{\displaystyle \sigma _{a}}es el componente atérmico de la tensión de flujo dada por

σa:=σgramo+khℓ+Kεpagnorte,{\displaystyle \sigma _{a}:=\sigma _{g}+{\frac {k_{h}}{\sqrt {\ell }}}+K\varepsilon _{\text{p}}^{n},}

dóndeσgramo{\displaystyle \sigma _{g}}es la contribución debida a los solutos y a la densidad de dislocaciones inicial,kh{\displaystyle k_{h}}es la intensidad de la tensión microestructural,ℓ{\displaystyle \ell }es el diámetro promedio del grano,K{\displaystyle K}es cero para materiales fcc,B,B0{\displaystyle B,B_{0}}son constantes materiales.

En términos activados térmicamente, las formas funcionales de los exponentesα{\displaystyle \alpha }yβ{\displaystyle \beta }son

α=α0−α1ln⁡(ε˙pag);β=β0−β1ln⁡(ε˙pag);{\displaystyle \alpha =\alpha _{0}-\alpha _{1}\ln({\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}});\quad \beta =\beta _{0}-\beta _{1}\ln({\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}});}

dóndeα0,α1,β0,β1{\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{0},\beta _{1}}son parámetros del material que dependen del tipo de material (fcc, bcc, hcp, aleaciones). El modelo de Zerilli-Armstrong ha sido modificado por [ 38 ] para un mejor rendimiento a altas temperaturas.

Modelo de tensión de flujo con umbral mecánico

El modelo de tensión umbral mecánica (MTS) [ 29 ] [ 39 ] [ 40 ] ) tiene la forma

(4)σy(εpag,ε˙,T)=σa+(Siσi+Smiσmi)μ(pag,T)μ0{\displaystyle {\text{(4)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\text{p}},{\dot {\varepsilon }},T)=\sigma _{a}+(S_{i}\sigma _{i}+S_{e}\sigma _{e}){\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}}}

dóndeσa{\displaystyle \sigma _{a}}es el componente atérmico de la tensión umbral mecánica,σi{\displaystyle \sigma _{i}}es el componente de la tensión de flujo debido a barreras intrínsecas al movimiento de dislocaciones activado térmicamente y a las interacciones dislocación-dislocación,σmi{\displaystyle \sigma _{e}}es el componente de la tensión de flujo debido a la evolución microestructural con el aumento de la deformación (endurecimiento por deformación), (Si,Smi{\displaystyle S_{i},S_{e}}) son factores de escala que dependen de la temperatura y la velocidad de deformación, y μ0{\displaystyle \mu _{0}}es el módulo de corte a 0 K y presión ambiente .

Los factores de escala adoptan la forma de Arrhenius .

Si=[1−(kBTgramo0ib3μ(pag,T)ln⁡ε˙0ε˙)1/qi]1/pagiSmi=[1−(kBTgramo0mib3μ(pag,T)ln⁡ε˙0ε˙)1/qmi]1/pagmi{\displaystyle {\begin{aligned}S_{i}&=\left[1-\left({\frac {k_{\text{B}}T}{g_{0i}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {{\dot {\varepsilon }}_{\!0}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{i}}\right]^{1/p_{i}}\\S_{e}&=\left[1-\left({\frac {k_{\text{B}}T}{g_{0e}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {{\dot {\varepsilon }}_{\!0}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{e}}\right]^{1/p_{e}}\end{aligned}}}

dóndekb{\displaystyle k_{b}}es la constante de Boltzmann,b{\displaystyle b}es la magnitud del vector de Burgers, (gramo0i,gramo0mi{\displaystyle g_{0i},g_{0e}}) son energías de activación normalizadas, (ε˙,ε˙0{\displaystyle {\dot {\varepsilon }},{\dot {\varepsilon }}_{0}}) son la tasa de deformación y la tasa de deformación de referencia, y (qi,pagi,qmi,pagmi{\displaystyle q_{i},p_{i},q_{e},p_{e}}) son constantes.

El componente de endurecimiento por deformación de la tensión umbral mecánica (σmi{\displaystyle \sigma _{e}}) viene dada por una ley de Voce modificada empírica

(5)dσmidεpag=θ(σmi){\displaystyle {\text{(5)}}\qquad {\frac {d\sigma _{e}}{d\varepsilon _{\text{p}}}}=\theta (\sigma _{e})}

dónde

θ(σmi)=θ0[1−F(σmi)]+θIVF(σmi)θ0=a0+a1ln⁡ε˙pag+a2ε˙pag−a3TF(σmi)=tanh⁡(ασmiσmis)tanh⁡(α)ln⁡σmisσ0mis=kBTgramo0misb3μ(pag,T)ln⁡ε˙pagε˙pag{\displaystyle {\begin{aligned}\theta (\sigma _{e})&=\theta _{0}[1-F(\sigma _{e})]+\theta _{IV}F(\sigma _{e})\\\theta _{0}&=a_{0}+a_{1}\ln {\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}}+a_{2}{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}}}}-a_{3}T\\F(\sigma _{e})&={\cfrac {\tanh \left(\alpha {\frac {\sigma _{e}}{\sigma _{es}}}\right)}{\tanh(\alpha )}}\\\ln {\cfrac {\sigma _{es}}{\sigma _{0es}}}&={\frac {k_{\text{B}}T}{g_{0es}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\cfrac {{\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}}}{{\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}}}}\end{aligned}}}

yθ0{\displaystyle \theta _{0}}es el endurecimiento debido a la acumulación de dislocaciones,θIV{\displaystyle \theta _{IV}}es la contribución debida al endurecimiento de la etapa IV, (a0,a1,a2,a3,α{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\alpha }) son constantes,σmis{\displaystyle \sigma _{es}}es la tensión a una tasa de endurecimiento por deformación cero,σ0mis{\displaystyle \sigma _{0es}}es la tensión umbral de saturación para la deformación a 0  K,gramo0mis{\displaystyle g_{0es}}es una constante, yε˙pag{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}}es la velocidad de deformación máxima. Tenga en cuenta que la velocidad de deformación máxima suele estar limitada a aproximadamente107{\displaystyle 10^{7}}/s.

Modelo de tensión de flujo de Preston-Tonks-Wallace

El modelo de Preston-Tonks-Wallace (PTW) [ 34 ] intenta proporcionar un modelo para la tensión de fluencia para velocidades de deformación extremas (hasta 10¹¹ /s) y temperaturas hasta la fusión. En el modelo se utiliza una ley de endurecimiento de Voce lineal. La tensión de fluencia PTW viene dada por

(6)σy(εpag,ε˙pag,T)={2[τs+αln⁡[1−φexp⁡(−β−θεpagαφ)]]μ(pag,T)régimen térmico2τsμ(pag,T)régimen de choque{\displaystyle {\text{(6)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\text{p}},{\dot {\varepsilon }}_{\text{p}},T)={\begin{cases}2\left[\tau _{s}+\alpha \ln \left[1-\varphi \exp \left(-\beta -{\cfrac {\theta \varepsilon _{\text{p}}}{\alpha \varphi }}\right)\right]\right]\mu (p,T)&{\text{thermal regime}}\\2\tau _{s}\mu (p,T)&{\text{shock regime}}\end{cases}}}

con

α:=s0−τyd;β:=τs−τyα;φ:=exp⁡(β)−1{\displaystyle \alpha :={\frac {s_{0}-\tau _{y}}{d}};\quad \beta  :={\frac {\tau _{s}-\tau _{y}}{\alpha }};\quad \varphi  :=\exp(\beta )-1}

dóndeτs{\displaystyle \tau _{s}}es una tensión de saturación de endurecimiento por deformación normalizada,s0{\displaystyle s_{0}}es el valor deτs{\displaystyle \tau _{s}}a 0K,τy{\displaystyle \tau _{y}}es una tensión de fluencia normalizada,θ{\displaystyle \theta }es la constante de endurecimiento en la ley de endurecimiento de Voce, yd{\displaystyle d}es un parámetro material adimensional que modifica la ley de endurecimiento de Voce.

La tensión de saturación y la tensión de fluencia vienen dadas por

τs=máximo{s0−(s0−s∞)terreno[κT^ln⁡γξ˙ε˙pag],s0(ε˙pagγξ˙)s1}τy=máximo{y0−(y0−y∞)terreno[κT^ln⁡γξ˙ε˙pag],min{y1(ε˙pagγξ˙)y2,s0(ε˙pagγξ˙)s1}}{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{s}&=\max \left\{s_{0}-(s_{0}-s_{\infty }){\text{erf}}\left[\kappa {\hat {T}}\ln {\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{{\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}}}\right],\,s_{0}\left({\cfrac {{\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}\right\}\\\tau _{y}&=\max \left\{y_{0}-(y_{0}-y_{\infty }){\text{erf}}\left[\kappa {\hat {T}}\ln {\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{{\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}}}\right],\,\min \left\{y_{1}\left({\cfrac {{\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{y_{2}},\,s_{0}\left({\cfrac {{\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}\right\}\right\}\end{aligned}}}

dóndes∞{\displaystyle s_{\infty }}es el valor deτs{\displaystyle \tau _{s}}cerca de la temperatura de fusión, (y0,y∞{\displaystyle y_{0},y_{\infty }}) son los valores deτy{\displaystyle \tau _{y}}a 0 K y cerca del punto de fusión, respectivamente,(κ,γ){\displaystyle (\kappa ,\gamma )}son constantes materiales,T^=T/Tmetro{\displaystyle {\hat {T}}=T/T_{m}}, (s1,y1,y2{\displaystyle s_{1},y_{1},y_{2}}) son parámetros del material para el régimen de alta velocidad de deformación, y

ξ˙=12(4πρ3METRO)1/3(μ(pag,T)ρ)1/2{\displaystyle {\dot {\xi }}={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {4\pi \rho }{3M}}\right)^{1/3}\left({\cfrac {\mu (p,T)}{\rho }}\right)^{1/2}}

dóndeρ{\displaystyle \rho }es la densidad, yMETRO{\displaystyle M}es la masa atómica .

Véase también

Referencias

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