Material Kelvin-Voigt

Un material de Kelvin-Voigt , también llamado material de Voigt , es el modelo más simple de material viscoelástico que muestra propiedades gomosas típicas. Es puramente elástico en escalas de tiempo largas (deformación lenta), pero muestra resistencia adicional a la deformación rápida. El modelo fue desarrollado independientemente por el físico británico Lord Kelvin ^{[ 1 ]} en 1865 y por el físico alemán Woldemar Voigt ^{[ 2 ]} en 1890. ^{[ 3 ]}

El modelo de Kelvin-Voigt, también llamado modelo de Voigt, está representado por un amortiguador puramente viscoso y un resorte puramente elástico conectados en paralelo, como se muestra en la imagen.

Si, en cambio, conectamos estos dos elementos en serie, obtenemos un modelo de un material de Maxwell .

Dado que los dos componentes del modelo están dispuestos en paralelo, las deformaciones en cada componente son idénticas:

${\displaystyle \varepsilon _{\text{Total}}=\varepsilon _{\rm {S}}=\varepsilon _{\rm {D}}.}$

donde el subíndice D indica la relación tensión-deformación en el amortiguador y el subíndice S indica la relación tensión-deformación en el resorte. De manera similar, la tensión total será la suma de la tensión en cada componente: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \sigma _{\text{Total}}=\sigma _{\rm {S}}+\sigma _{\rm {D}}.}$

De estas ecuaciones obtenemos que en un material Kelvin-Voigt, la tensión σ , la deformación ε y sus tasas de cambio con respecto al tiempo t se rigen por ecuaciones de la forma:

${\displaystyle \sigma (t)=E\varepsilon (t)+\eta {\frac {d\varepsilon (t)}{dt}},}$

o, en notación de puntos:

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon +\eta {\dot {\varepsilon }},}$

donde E es un módulo de elasticidad y${\displaystyle \eta }$es la viscosidad . La ecuación se puede aplicar tanto al esfuerzo cortante como al esfuerzo normal de un material.

Si de repente aplicamos una tensión constante${\displaystyle \sigma _{0}}$Si se trata de un material de Kelvin-Voigt, entonces las deformaciones se aproximarían a la deformación del material puramente elástico.${\displaystyle \sigma _{0}/E}$con la diferencia decayendo exponencialmente: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \varepsilon (t)={\frac {\sigma _{0}}{E}}(1-e^{-t/\tau _{R}}),}$

donde t es el tiempo y${\displaystyle \tau _{R}={\frac {\eta }{E}}}$es el tiempo de retardo .

Si liberáramos el material en ese momento${\displaystyle t_{1}}$Entonces, el elemento elástico retardaría el material hasta que la deformación se vuelva cero. El retardo obedece a la siguiente ecuación:

${\displaystyle \varepsilon (t>t_{1})=\varepsilon (t_{1})e^{-(t-t_{1})/\tau _{R}}.}$

La imagen muestra la dependencia de la deformación adimensional.${\displaystyle {\frac {E\varepsilon (t)}{\sigma _{0}}}}$ en tiempo adimensional${\displaystyle t/\tau _{R}}$En la imagen, la tensión sobre el material se carga en el tiempo${\displaystyle t=0}$y liberado en el tiempo adimensional posterior${\displaystyle t_{1}^{*}=t_{1}/\tau _{R}}$.

Dado que toda la deformación es reversible (aunque no de forma repentina), el material de Kelvin-Voigt es un sólido .

El modelo de Voigt predice la fluencia de forma más realista que el modelo de Maxwell , porque en el límite de tiempo infinito la deformación se aproxima a una constante:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\varepsilon ={\frac {\sigma _{0}}{E}},}$

Mientras que el modelo de Maxwell predice una relación lineal entre la deformación y el tiempo, lo cual no suele ser cierto. Si bien el modelo de Kelvin-Voigt es eficaz para predecir la fluencia, no describe bien el comportamiento de relajación una vez eliminada la carga de tensión.

El módulo dinámico complejo del material Kelvin-Voigt viene dado por:

${\displaystyle E^{\star }(\omega )=E_{0}(1+i\omega \tau ).}$

Así, los componentes real e imaginario del módulo dinámico se denominan módulo de almacenamiento.${\displaystyle E^{\prime }}$y${\displaystyle E^{\prime \prime }}$respectivamente:

${\displaystyle E^{\prime }=\Re [E^{\star }(\omega )],}$

${\displaystyle E^{\prime \prime }=\Soy [E^{\star }(\omega )]=E_{0}\omega \tau .}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle E^{\prime }}$es constante, mientras que${\displaystyle E^{\prime \prime }}$es directamente proporcional a la frecuencia (donde la escala de tiempo${\displaystyle \tau }$es la constante de proporcionalidad). A menudo, esta constante${\displaystyle \tau }$multiplicado por la frecuencia angular${\displaystyle \omega }$se denomina módulo de pérdida${\displaystyle \eta =\omega \tau }$.

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