Círculos de Johnson

En geometría , un conjunto de círculos de Johnson comprende tres círculos de igual radio r que comparten un punto de intersección común H. En esta configuración, los círculos suelen tener un total de cuatro intersecciones (puntos donde se encuentran al menos dos de ellos): el punto común H que comparten todos, y para cada uno de los tres pares de círculos, un punto de intersección adicional (denominado aquí intersección doble). Si dos de los círculos son osculados, solo tienen H como punto común, y se considera que H también es su intersección doble; si coinciden, declaramos que su intersección doble es el punto diametralmente opuesto a H. Los tres puntos de intersección doble definen el triángulo de referencia de la figura. El concepto recibe su nombre de Roger Arthur Johnson. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

1. Los centros de los círculos de Johnson se encuentran en un círculo del mismo radio r que los círculos de Johnson centrados en H. Estos centros forman el triángulo de Johnson .
2. El círculo centrado en H con radio 2r , conocido como círculo anticomplementario, es tangente a cada uno de los círculos de Johnson. Los tres puntos de tangencia son reflexiones del punto H con respecto a los vértices del triángulo de Johnson.
3. Los puntos de tangencia entre los círculos de Johnson y el círculo anticomplementario forman otro triángulo, llamado triángulo anticomplementario del triángulo de referencia. Es similar al triángulo de Johnson y es homotético por un factor de 2, centrado en H , su circuncentro común.
4. Teorema de Johnson : Los puntos de intersección de dos círculos de Johnson (vértices del triángulo de referencia △ ABC ) se encuentran en un círculo del mismo radio r que los círculos de Johnson. Esta propiedad también es bien conocida en Rumania como el problema de la moneda de 5 lei de Gheorghe Țițeica .
5. El triángulo de referencia es, de hecho, congruente con el triángulo de Johnson y es homotético a él por un factor de −1.
6. El punto H es el ortocentro del triángulo de referencia y el circuncentro del triángulo de Johnson.
7. El centro homotético del triángulo de Johnson y del triángulo de referencia es su centro común de nueve puntos .

La propiedad 1 es evidente a partir de la definición. La propiedad 2 también es clara: para cualquier círculo de radio r y cualquier punto P en él, el círculo de radio 2r centrado en P es tangente al círculo en su punto opuesto a P ; esto se aplica en particular a P = H , dando como resultado el círculo anticomplementario C. La propiedad 3 en la formulación de la homotecia se deduce inmediatamente; el triángulo de puntos de tangencia se conoce como triángulo anticomplementario.

Para las propiedades 4 y 5, observemos primero que cualesquiera dos de los tres círculos de Johnson se intercambian mediante la reflexión en la línea que une H con su intersección de dos en dos (o en su tangente común en H si estos puntos coinciden), y esta reflexión también intercambia los dos vértices del triángulo anticomplementario que se encuentran en estos círculos. Por lo tanto, el punto de intersección de dos en dos es el punto medio de un lado del triángulo anticomplementario, y H se encuentra en la mediatriz de este lado. Ahora bien, los puntos medios de los lados de cualquier triángulo son las imágenes de sus vértices mediante una homotecia con factor  −½, centrada en el baricentro del triángulo. Aplicado al triángulo anticomplementario, que a su vez se obtiene del triángulo de Johnson mediante una homotecia con factor  2, se deduce de la composición de homotecias que el triángulo de referencia es homotético al triángulo de Johnson por un factor −1. Dado que dicha homotecia es una congruencia , esto da la propiedad 5, y también el teorema de los círculos de Johnson, ya que los triángulos congruentes tienen círculos circunscritos de igual radio.

Para la propiedad 6, ya se estableció que las mediatrices de los lados del triángulo anticomplementario pasan todas por el punto H ; puesto que ese lado es paralelo a un lado del triángulo de referencia, estas mediatrices son también las alturas del triángulo de referencia.

La propiedad 7 se deduce inmediatamente de la propiedad 6, ya que el centro homotético cuyo factor es -1 debe estar situado en el punto medio de los circuncentros O del triángulo de referencia y H del triángulo de Johnson; este último es el ortocentro del triángulo de referencia, y se sabe que su centro de nueve puntos es ese punto medio. Dado que la simetría central también asigna al ortocentro del triángulo de referencia el del triángulo de Johnson, el centro homotético es también el centro de nueve puntos del triángulo de Johnson.  

También existe una demostración algebraica del teorema de los círculos de Johnson, utilizando un cálculo vectorial simple. Hay vectores${\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}},}$todos de longitud r , de modo que los círculos de Johnson estén centrados respectivamente en${\displaystyle H+{\vec {u}},H+{\vec {v}},H+{\vec {w}}.}$Entonces, los puntos de intersección de 2 en 1 son respectivamente${\displaystyle H+{\vec {u}}+{\vec {v}},H+{\vec {u}}+{\vec {w}},H+{\vec {v}}+{\vec {w}}}$y el punto${\displaystyle H+{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}}$claramente tiene una distancia r a cualquiera de esos puntos de intersección de 2 en 1.

Los tres círculos de Johnson pueden considerarse como reflexiones de la circunferencia circunscrita del triángulo de referencia con respecto a cada uno de los tres lados de dicho triángulo. Además, bajo las reflexiones con respecto a los tres lados del triángulo de referencia, su ortocentro H se proyecta sobre tres puntos de la circunferencia circunscrita del triángulo de referencia que forman los vértices del triángulo circun-órtico , su circuncentro O se proyecta sobre los vértices del triángulo de Johnson y su recta de Euler (la recta que pasa por O, N y H ) genera tres rectas que son concurrentes en X (110) (foco de la parábola de Kiepert ).

El triángulo de Johnson y su triángulo de referencia comparten el mismo centro de nueve puntos, la misma línea de Euler y el mismo círculo de nueve puntos . Los seis puntos formados por los vértices del triángulo de referencia y su triángulo de Johnson se encuentran sobre la circunferencia circunscrita de Johnson , cuyo centro es el centro de nueve puntos y que tiene como perspector el punto X (216) ( conjugado isotómico del circuncentro del triángulo medial ) del triángulo de referencia . La circunferencia circunscrita y la circunferencia circunscrita comparten un cuarto punto, X (110), del triángulo de referencia.

Finalmente, existen dos cúbicas circuncúbicas interesantes y documentadas que pasan por los seis vértices del triángulo de referencia y su triángulo de Johnson, así como por el circuncentro, el ortocentro y el centro de nueve puntos. La primera se conoce como la primera cúbica de Musselman ( K 026). Esta cúbica también pasa por los seis vértices del triángulo medial y el triángulo medial del triángulo de Johnson. La segunda cúbica se conoce como la cúbica central de Euler ( K ​​044). Esta cúbica también pasa por los seis vértices del triángulo órtico y el triángulo órtico del triángulo de Johnson.

La notación del punto X ( i ) es la clasificación ETC de Clark Kimberling de los centros de los triángulos.

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Johnson" . MathWorld .
• FM Jackson y Weisstein, Eric W. "Johnson Circles" . MathWorld .
• FM Jackson y Weisstein, Eric W. "Triángulo de Johnson" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Johnson Circumconic" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Triángulo anticomplementario" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Triángulo circumórtico" . MathWorld .
• Bernard Gibert Circuncúbico K026
• Bernard Gibert Circuncúbico K044
• Clark Kimberling, " Enciclopedia de centros de triángulos ". (Enumera unos 3000 puntos interesantes asociados a cualquier triángulo).