Descomposición de Jordan-Chevalley

Eso${\displaystyle x_{s}}$y${\displaystyle x_{n}}$son polinomios en${\displaystyle x}$implica en particular que conmutan con cualquier operador que conmuta con${\displaystyle x}$Esta observación subyace a la prueba de unicidad.

Dejar${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ser una descomposición de Jordan-Chevalley en la que${\displaystyle x_{s}}$y (por lo tanto también)${\displaystyle x_{n}}$son polinomios en${\displaystyle x}$. Dejar${\displaystyle x=x_{s}'+x_{n}'}$sea ​​cualquier descomposición de Jordan-Chevalley. Entonces${\displaystyle x_{s}-x_{s}'=x_{n}'-x_{n}}$, y${\displaystyle x_{s}',x_{n}'}$ambos viajan juntos${\displaystyle x}$, por lo tanto con${\displaystyle x_{s},x_{n}}$ya que estos son polinomios en${\displaystyle x}$. La suma de operadores nilpotentes conmutativos es nuevamente nilpotente, y la suma de operadores potencialmente diagonalizables conmutativos es nuevamente potencialmente diagonalizable (porque son simultáneamente diagonalizables sobre la clausura algebraica de${\displaystyle K}$). Dado que el único operador que es potencialmente diagonalizable y nilpotente es el operador cero, se deduce que${\displaystyle x_{s}-x_{s}'=0=x_{n}-x_{n}'}$.

Para demostrar que la condición que${\displaystyle x}$es necesario tener un polinomio mínimo que sea un producto de polinomios separables, supongamos que${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$es una descomposición de Jordan-Chevalley. Dejando${\displaystyle p}$sea ​​el polinomio mínimo separable de${\displaystyle x_{s}}$, se puede comprobar utilizando el teorema del binomio que${\displaystyle p(x_{s}+x_{n})}$se puede escribir como${\displaystyle x_{n}y}$dónde${\displaystyle y}$es algún polinomio en${\displaystyle x_{s},x_{n}}$Además, para algunos${\displaystyle \ell \geq 1}$,${\displaystyle x_{n}^{\ell }=0}$. De este modo${\displaystyle p(x)^{\ell }=x_{n}^{\ell }y^{\ell }=0}$y por lo tanto el polinomio mínimo de${\displaystyle x}$debe dividirse${\displaystyle p^{\ell }}$. Como${\displaystyle p^{\ell }}$es un producto de polinomios separables (es decir, de copias de${\displaystyle p}$), por lo que es el polinomio mínimo.

Si el campo base no es perfecto , entonces puede que no exista una descomposición de Jordan-Chevalley, ya que es posible que el polinomio mínimo no sea un producto de polinomios separables. El ejemplo más simple es el siguiente. Sea${\displaystyle p}$Sea un número primo, sea${\displaystyle k}$ser un campo de características imperfecto${\displaystyle p,}$(p.ej${\displaystyle k=\mathbb {F} _{p}(t)}$) y elige${\displaystyle a\in k}$eso no es un${\displaystyle p}$poder. Deja${\displaystyle V=k[X]/\left(X^{p}-a\right)^{2},}$dejar${\displaystyle x={\overline {X}}}$sea ​​la imagen en el cociente y deje${\displaystyle T}$ser el${\displaystyle k}$-operador lineal dado por la multiplicación por${\displaystyle x}$en${\displaystyle V}$Nótese que el polinomio mínimo es precisamente${\displaystyle \left(X^{p}-a\right)^{2}}$, que es inseparable y un cuadrado. Debido a la condición necesaria para la descomposición de Jordan-Chevalley (como se muestra en la sección anterior), este operador no tiene una descomposición de Jordan-Chevalley. Puede ser instructivo ver concretamente por qué no existe al menos una descomposición en una parte libre de cuadrados y una parte nilpotente.

Si en lugar de con el polinomio${\displaystyle \left(X^{p}-a\right)^{2}}$, la misma construcción se realiza con${\displaystyle {X^{p}}-a}$, el operador resultante${\displaystyle T}$aún no admite una descomposición de Jordan-Chevalley por el teorema principal. Sin embargo,${\displaystyle T}$es semisimple. La descomposición trivial${\displaystyle T=T+0}$por lo tanto expresa${\displaystyle T}$como suma de un operador semisimple y un operador nilpotente, ambos polinomios en${\displaystyle T}$.

Esta construcción es similar al lema de Hensel, ya que utiliza un análogo algebraico del teorema de Taylor para encontrar un elemento con una determinada propiedad algebraica mediante una variante del método de Newton . En esta forma, se toma de ( Geck 2022 ).

Dejar${\displaystyle x}$tener polinomio mínimo${\displaystyle p}$y supongamos que esto es un producto de polinomios separables. Esta condición es equivalente a exigir que exista algún polinomio separable.${\displaystyle q}$de tal manera que${\displaystyle q\mid p}$y${\displaystyle p\mid q^{m}}$para algunos${\displaystyle m\geq 1}$. Por el lema de Bézout , existen polinomios${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$de tal manera que${\displaystyle {uq+{vq'}}=1}$Esto se puede utilizar para definir una recursión.${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-v(x_{n})q(x_{n})}$, comenzando con${\displaystyle x_{0}=x}$Alquiler${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$sea ​​el álgebra de operadores que son polinomios en${\displaystyle x}$, se puede comprobar por inducción que para todos${\displaystyle n}$:

• ${\displaystyle x_{n}\in {\mathfrak {X}}}$porque en cada paso se aplica un polinomio,
• ${\displaystyle q(x_{n})\in q(x)^{2^{n}}\cdot {\mathfrak {X}}}$porque${\displaystyle q(x_{n+1})=q(x_{n})+q'(x_{n})(x_{n+1}-x_{n})+(x_{n+1}-x_{n})^{2}h}$para algunos${\displaystyle h\in {\mathfrak {X}}}$(por la versión algebraica del teorema de Taylor). Por definición de${\displaystyle x_{n+1}}$así como de${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$, esto se simplifica a${\displaystyle q(x_{n+1})=q(x_{n})^{2}(u(x_{n})+v(x_{n})^{2}h)}$, que de hecho se encuentra en${\displaystyle q(x)^{2^{n+1}}\cdot {\mathfrak {X}}}$por hipótesis de inducción,
• ${\displaystyle x_{n}-x\in q(x)\cdot {\mathfrak {X}}}$porque${\displaystyle x_{n+1}-x=(x_{n+1}-x_{n})+(x_{n}-x)}$y ambos términos están en${\displaystyle q(x)\cdot {\mathfrak {X}}}$, la primera por el punto precedente y la segunda por la hipótesis de inducción.

Por lo tanto, tan pronto como${\displaystyle 2^{n}\geq m}$,${\displaystyle q(x_{n})=0}$por el segundo punto desde${\displaystyle p\mid q^{m}}$y${\displaystyle p(x)=0}$, por lo tanto, el polinomio mínimo de${\displaystyle x_{n}}$dividirá${\displaystyle q}$y por lo tanto ser separables. Además,${\displaystyle x_{n}}$será un polinomio en${\displaystyle x}$por el primer punto y${\displaystyle x_{n}-x}$será nilpotente en el tercer punto (de hecho,${\displaystyle (x_{n}-x)^{m}=0}$). Por lo tanto,${\displaystyle x=x_{n}+(x-x_{n})}$es entonces la descomposición de Jordan-Chevalley de${\displaystyle x}$QED​

Esta demostración, además de ser completamente elemental, tiene la ventaja de ser algorítmica : Por el teorema de Cayley-Hamilton ,${\displaystyle p}$puede tomarse como el polinomio característico de${\displaystyle x}$y en muchos contextos,${\displaystyle q}$se puede determinar a partir de${\displaystyle p}$. ^{[ 3 ]} Entonces${\displaystyle v}$se puede determinar utilizando el algoritmo euclidiano . La iteración de aplicar el polinomio${\displaystyle vq}$a la matriz entonces se puede realizar hasta que${\displaystyle v(x_{n})q(x_{n})=0}$(porque entonces todos los valores posteriores serán iguales) o${\displaystyle 2^{n}}$excede la dimensión del espacio vectorial en el que${\displaystyle x}$se define (donde${\displaystyle n}$es el número de pasos de iteración realizados, como se indicó anteriormente).

Esta demostración, o variantes de la misma, se utiliza comúnmente para establecer la descomposición de Jordan-Chevalley. Tiene la ventaja de ser muy directa y describir con bastante precisión cuán cerca se puede llegar a una descomposición de Jordan-Chevalley: Si${\displaystyle L}$es el campo de descomposición del polinomio mínimo de${\displaystyle x}$y${\displaystyle G}$es el grupo de automorfismos de${\displaystyle L}$que fijan el campo base${\displaystyle K}$, entonces el conjunto${\displaystyle F}$de elementos de${\displaystyle L}$que están fijados por todos los elementos de${\displaystyle G}$es un campo con inclusiones${\displaystyle K\subseteq F\subseteq L}$(véase la correspondencia de Galois ). A continuación se argumenta que${\displaystyle x}$admite una descomposición de Jordan-Chevalley sobre${\displaystyle F}$pero no ningún campo más pequeño. Este argumento no utiliza la teoría de Galois . Sin embargo, la teoría de Galois es necesaria para deducir de esto la condición para la existencia del valle de Jordan-Chevalley dada anteriormente.

Arriba se observó que si${\displaystyle x}$tiene una forma normal de Jordan (es decir, si el polinomio mínimo de${\displaystyle x}$divisiones), entonces tiene una descomposición de Jordan Chevalley. En este caso también se puede ver directamente que${\displaystyle x_{n}}$(y por lo tanto también${\displaystyle x_{s}}$) es un polinomio en${\displaystyle x}$De hecho, basta con comprobar esto para la descomposición de la matriz de Jordan.${\displaystyle J=D+R}$Este es un argumento técnico, pero no requiere ningún truco más allá del teorema chino del resto .

Este hecho puede utilizarse para deducir la descomposición de Jordan-Chevalley en el caso general. Sea${\displaystyle L}$sea ​​el campo de descomposición del polinomio mínimo de${\displaystyle x}$, de modo que${\displaystyle x}$admite una forma normal de Jordan sobre${\displaystyle L}$. Entonces, por el argumento que acabamos de dar,${\displaystyle x}$tiene una descomposición de Jordan-Chevalley${\displaystyle x={c(x)}+{(x-{c(x)})}}$dónde${\displaystyle c}$es un polinomio con coeficientes de${\displaystyle L}$,${\displaystyle c(x)}$es diagonalizable (sobre${\displaystyle L}$) y${\displaystyle x-c(x)}$es nilpotente.

Dejar${\displaystyle \sigma }$ser un automorfismo de campo de${\displaystyle L}$que arregla${\displaystyle K}$. Entonces $${\displaystyle c(x)+(x-{c(x)})=x={\sigma (x)}={\sigma ({c(x)})}+{\sigma (x-{c(x)})}}$$ Aquí${\displaystyle \sigma (c(x))=\sigma (c)(x)}$es un polinomio en${\displaystyle x}$, así es${\displaystyle x-c(x)}$. De este modo,${\displaystyle \sigma (c(x))}$y${\displaystyle \sigma (x-c(x))}$desplazamiento diario. Además,${\displaystyle \sigma (c(x))}$es potencialmente diagonalizable y${\displaystyle \sigma ({x-c(x)})}$es nilpotente. Por lo tanto, por la unicidad de la descomposición de Jordan-Chevalley (sobre${\displaystyle L}$),${\displaystyle \sigma (c(x))=c(x)}$y${\displaystyle \sigma (c(x))=c(x)}$. Por lo tanto, por definición,${\displaystyle x_{s},x_{n}}$son endomorfismos (representados por matrices) sobre${\displaystyle F}$. Finalmente, dado que${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\dots \right\}}$contiene un${\displaystyle L}$-base que abarca el espacio que contiene${\displaystyle x_{s},x_{n}}$, por el mismo argumento, también vemos que${\displaystyle c}$tiene coeficientes en${\displaystyle F}$QED​

Si el polinomio mínimo de${\displaystyle x}$es un producto de polinomios separables, entonces la extensión del campo${\displaystyle L/K}$es Galois , lo que significa que${\displaystyle F=K}$.

La descomposición de Jordan-Chevalley está muy relacionada con el teorema principal de Wedderburn en la siguiente formulación: ^{[ 4 ]}

Por lo general, el término «separable» en este teorema se refiere al concepto general de álgebra separable , y el teorema podría entonces establecerse como corolario de un resultado más general y potente. ^{[ 5 ]} Sin embargo, si se interpreta en el sentido más básico de que cada elemento tiene un polinomio mínimo separable, entonces esta afirmación es esencialmente equivalente a la descomposición de Jordan-Chevalley descrita anteriormente. Esto proporciona una forma diferente de ver la descomposición, y por ejemplo ( Jacobson 1979 ) toma esta vía para establecerla.

Sobre campos perfectos, este resultado se simplifica. De hecho,${\displaystyle A/J}$es entonces siempre separable en el sentido de polinomios mínimos: Si${\displaystyle a\in A}$, entonces el polinomio mínimo${\displaystyle p}$es un producto de polinomios separables, por lo tanto, hay un polinomio separable.${\displaystyle q}$de tal manera que${\displaystyle q\mid p}$y${\displaystyle p\mid q^{m}}$para algunos${\displaystyle m\geq 1}$. De este modo${\displaystyle q(a)\in J}$. Entonces en${\displaystyle A/J}$, el polinomio mínimo de${\displaystyle a+J}$divide${\displaystyle q}$y por lo tanto es separable. El punto crucial del teorema no es entonces que${\displaystyle A/J}$es separable (porque esa condición es vacía), pero es semisimple, lo que significa que su radical es trivial.

La misma afirmación es válida para las álgebras de Lie, pero solo en característica cero. Este es el contenido del teorema de Levi . (Nótese que las nociones de semisimple en ambos resultados se corresponden, ya que en ambos casos esto equivale a ser la suma de subálgebras simples o tener un radical trivial, al menos en el caso de dimensión finita).

El punto crucial en la demostración del teorema principal de Wedderburn anterior es que un elemento${\displaystyle x\in A}$corresponde a un operador lineal${\displaystyle T_{x}:A\to A}$con las mismas propiedades. En la teoría de las álgebras de Lie, esto corresponde a la representación adjunta de un álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Este operador descompuesto tiene una descomposición de Jordan-Chevalley.${\displaystyle \operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} (x)_{s}+\operatorname {ad} (x)_{n}}$. Al igual que en el caso asociativo, esto corresponde a una descomposición de${\displaystyle x}$pero los polinomios no están disponibles como herramienta. Un contexto en el que esto tiene sentido es el caso restringido donde${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$está contenido en el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$de los endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita${\displaystyle V}$sobre el campo perfecto${\displaystyle K}$. De hecho, cualquier álgebra de Lie semisimple puede realizarse de esta manera. ^{[ 6 ]}

Si${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$es la descomposición de Jordan, entonces${\displaystyle \operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} (x_{s})+\operatorname {ad} (x_{n})}$es la descomposición de Jordan del endomorfismo adjunto${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$en el espacio vectorial${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. En efecto, primero,${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{s})}$y${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{n})}$viaje diario desde${\displaystyle [\operatorname {ad} (x_{s}),\operatorname {ad} (x_{n})]=\operatorname {ad} ([x_{s},x_{n}])=0}$. Segundo, en general, para cada endomorfismo${\displaystyle y\in {\mathfrak {g}}}$, tenemos:

1. Si${\displaystyle y^{m}=0}$, entonces${\displaystyle \operatorname {ad} (y)^{2m-1}=0}$, desde${\displaystyle \operatorname {ad} (y)}$es la diferencia de las multiplicaciones izquierda y derecha por y .
2. Si${\displaystyle y}$es semisimple, entonces${\displaystyle \operatorname {ad} (y)}$es semisimple, ya que semisimple es equivalente a potencialmente diagonalizable sobre un cuerpo perfecto (si${\displaystyle y}$es diagonal sobre la base${\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}}$, entonces${\displaystyle \operatorname {ad} (y)}$es diagonal sobre la base que consiste en los mapas${\displaystyle M_{ij}}$con${\displaystyle b_{i}\mapsto b_{j}}$y${\displaystyle b_{k}\mapsto 0}$para${\displaystyle k\neq 0}$). ^{[ 7 ]}

Por lo tanto, por unicidad,${\displaystyle \operatorname {ad} (x)_{s}=\operatorname {ad} (x_{s})}$y${\displaystyle \operatorname {ad} (x)_{n}=\operatorname {ad} (x_{n})}$.

La representación adjunta es una representación muy natural y general de cualquier álgebra de Lie. El argumento anterior ilustra (y de hecho demuestra) un principio general que generaliza esto: Si${\displaystyle \pi$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)} es cualquier representación de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un cuerpo perfecto, entonces${\displaystyle \pi }$conserva la descomposición de Jordan en el siguiente sentido: si${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$, entonces${\displaystyle \pi (x_{s})=\pi (x)_{s}}$y${\displaystyle \pi (x_{n})=\pi (x)_{n}}$. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

La descomposición de Jordan se puede utilizar para caracterizar la nilpotencia de un endomorfismo. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero,${\displaystyle E=\operatorname {End} _{\mathbb {Q} }(k)}$el anillo de endomorfismos de k sobre números racionales y V un espacio vectorial de dimensión finita sobre k . Dado un endomorfismo${\displaystyle x:V\to V}$, dejar${\displaystyle x=s+n}$sea ​​la descomposición de Jordan. Entonces${\displaystyle s}$es diagonalizable; es decir,${\textstyle V=\bigoplus V_{i}}$donde cada${\displaystyle V_{i}}$es el espacio propio para el valor propio${\displaystyle \lambda _{i}}$con multiplicidad${\displaystyle m_{i}}$. Entonces, para cualquier${\displaystyle \varphi \in E}$dejar${\displaystyle \varphi (s):V\to V}$sea ​​el endomorfismo tal que${\displaystyle \varphi (s):V_{i}\to V_{i}}$es la multiplicación por${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})}$Chevalley llama${\displaystyle \varphi (s)}$la réplica de${\displaystyle s}$dado por${\displaystyle \varphi }$. (Por ejemplo, si${\displaystyle k=\mathbb {C} }$, entonces el conjugado complejo de un endomorfismo es un ejemplo de réplica.) Ahora,

Prueba: Primero, dado que${\displaystyle n\varphi (s)}$es nilpotente,

${\displaystyle 0=\operatorname {tr} (x\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} \left(s\varphi (s)|V_{i}\right)=\sum _{i}m_{i}\lambda _{i}\varphi (\lambda _{i})}$.

Si${\displaystyle \varphi }$es la conjugación compleja, esto implica${\displaystyle \lambda _{i}=0}$para cada i . De lo contrario, toma${\displaystyle \varphi }$ser un${\displaystyle \mathbb {Q} }$-funcional lineal${\displaystyle \varphi :k\to \mathbb {Q} }$seguido de${\displaystyle \mathbb {Q} \hookrightarrow k}$Aplicando esto a la ecuación anterior, se obtiene:

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\varphi (\lambda _{i})^{2}=0}$

y, dado que${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})}$son todos números reales,${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})=0}$para cada i . Variar los funcionales lineales implica entonces${\displaystyle \lambda _{i}=0}$por cada i .${\displaystyle \square }$

Una aplicación típica del criterio anterior es la demostración del criterio de Cartan para la resolubilidad de un álgebra de Lie. Dice: si${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$es una subálgebra de Lie sobre un cuerpo k de característica cero tal que${\displaystyle \operatorname {tr} (xy)=0}$para cada${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},y\in D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$, entonces${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es solucionable.

Demostración: ^{[ 11 ]} Sin pérdida de generalidad , supongamos que k es algebraicamente cerrado. Por el teorema de Lie y el teorema de Engel , basta con demostrar para cada${\displaystyle x\in D{\mathfrak {g}}}$,${\displaystyle x}$es un endomorfismo nilpotente de V. Escribe${\textstyle x=\sum _{i}[x_{i},y_{i}]}$. Entonces debemos mostrar:

${\displaystyle \operatorname {tr} (x\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} ([x_{i},y_{i}]\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} (x_{i}[y_{i},\varphi (s)])}$

es cero. Deje${\displaystyle {\mathfrak {g}}'={\mathfrak {gl}}(V)}$. Nota que tenemos:${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x):{\mathfrak {g}}\to D{\mathfrak {g}}}$y, dado que${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s)}$es la parte semisimple de la descomposición de Jordan de${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x)}$De ello se deduce que${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s)}$es un polinomio sin término constante en${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x)}$; por eso,${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s):{\mathfrak {g}}\to D{\mathfrak {g}}}$y lo mismo ocurre con${\displaystyle \varphi (s)}$en lugar de${\displaystyle s}$. Eso es,${\displaystyle [\varphi (s),{\mathfrak {g}}]\subset D{\mathfrak {g}}}$, lo que implica la afirmación dada la suposición.${\displaystyle \square }$

Dejar${\displaystyle G}$Sea un grupo algebraico lineal sobre un cuerpo perfecto. Entonces, esencialmente por definición, existe una inmersión cerrada.${\displaystyle G\hookrightarrow \mathbf {GL} _{n}}$. Ahora, a cada elemento${\displaystyle g\in G}$, mediante la descomposición multiplicativa de Jordan, hay un par de un elemento semisimple${\displaystyle g_{s}}$y un elemento unipotente${\displaystyle g_{u}}$a priori en${\displaystyle \mathbf {GL} _{n}}$de tal manera que${\displaystyle g=g_{s}g_{u}=g_{u}g_{s}}$. Pero, como resulta, ^{[ 12 ]} los elementos${\displaystyle g_{s},g_{u}}$se puede demostrar que está en${\displaystyle G}$(es decir, satisfacen las ecuaciones definitorias de G ) y que son independientes de la inmersión en${\displaystyle \mathbf {GL} _{n}}$; es decir, la descomposición es intrínseca.

Cuando G es abeliano,${\displaystyle G}$es entonces el producto directo del subgrupo cerrado de los elementos semisimples en G y el de los elementos unipotentes. ^{[ 13 ]}