Transformación de Jordan-Wigner

La transformación de Jordan-Wigner es una transformación que asigna operadores de espín a operadores de creación y aniquilación fermiónicos . Fue propuesta por Pascual Jordan y Eugene Wigner en 1928 ^{[ 1 ]} para modelos de red unidimensionales , pero actualmente también se han creado análogos bidimensionales de la transformación. La transformación de Jordan-Wigner se utiliza frecuentemente para resolver de forma exacta cadenas de espín unidimensionales, como los modelos de Ising y XY , transformando los operadores de espín en operadores fermiónicos y diagonalizando posteriormente en la base fermiónica.

Esta transformación demuestra que la distinción entre partículas de espín 1/2 y fermiones es inexistente. Puede aplicarse a sistemas de dimensión arbitraria.

A continuación, mostraremos cómo mapear una cadena de espín unidimensional de partículas de espín 1/2 a fermiones.

Tomar un giro de 1/2 operadores de Pauli que actúan en un sitio${\displaystyle j}$de una cadena 1D,${\displaystyle \sigma _{j}^{+},\sigma _{j}^{-},\sigma _{j}^{z}}$. Tomando el anticonmutador de${\displaystyle \sigma _{j}^{+}}$y${\displaystyle \sigma _{j}^{-}}$, encontramos${\displaystyle \{\sigma _{j}^{+},\sigma _{j}^{-}\}=I}$, como cabría esperar de los operadores de creación y aniquilación fermiónicos. Entonces podríamos vernos tentados a establecer

${\displaystyle \sigma _{j}^{+}=(\sigma _{j}^{x}+i\sigma _{j}^{y})/2\equiv f_{j}^{\dagger }}$

${\displaystyle \sigma _{j}^{-}=(\sigma _{j}^{x}-i\sigma _{j}^{y})/2\equiv f_{j}}$

${\displaystyle \sigma _{j}^{z}=2f_{j}^{\dagger }f_{j}-I.}$

Ahora tenemos las relaciones fermiónicas correctas del mismo sitio.${\displaystyle \{f_{j}^{\dagger },f_{j}\}=I}$; sin embargo, en diferentes sitios, tenemos la relación${\displaystyle \{f_{j}^{\dagger },f_{k}\}\neq 0}$, y${\displaystyle [\sigma _{j}^{+},\sigma _{k}^{-}]=0}$dónde${\displaystyle j\neq k}$Por lo tanto, los espines en diferentes sitios conmutan, a diferencia de los fermiones, que anticonmutan. Debemos corregir esto antes de poder tomar la analogía muy en serio.

En 1928, Jordan y Wigner realizaron una transformación que recupera las verdaderas relaciones de conmutación de fermiones a partir de operadores de espín. Este es un ejemplo especial de una transformación de Klein . Tomamos una cadena de fermiones y definimos un nuevo conjunto de operadores.

${\displaystyle a_{j}^{\dagger }=e^{\left(+i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}\right)}\cdot f_{j}^{\dagger }}$

${\displaystyle a_{j}=e^{\left(-i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}\right)}\cdot f_{j}}$

${\displaystyle a_{j}^{\dagger }a_{j}=f_{j}^{\dagger }f_{j}.}$

Se diferencian de los anteriores únicamente por una fase.${\displaystyle e^{\pm i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}}$La fase está determinada por el número de modos fermiónicos ocupados en los modos${\displaystyle k=1,\ldots ,j-1}$del campo. La fase es igual a${\displaystyle +1}$si el número de modos ocupados es par, y${\displaystyle -1}$si el número de modos ocupados es impar. Esta fase se expresa a menudo como

${\displaystyle e^{\left(\pm i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}\right)}=\prod _{k=1}^{j-1}e^{\pm i\pi f_{k}^{\dagger }f_{k}}=\prod _{k=1}^{j-1}{e^{\pm i\pi {\frac {\sigma _{k}^{z}+I}{2}}}}=\prod _{k=1}^{j-1}(-\sigma _{k}^{z}).}$

Los operadores de espín transformados ahora tienen las relaciones de anticonmutación canónicas fermiónicas apropiadas.

${\displaystyle \{a_{i}^{\dagger },a_{j}\}=\delta _{i,j},\,\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=0,\,\{a_{i},a_{j}\}=0.}$

Las relaciones de anticonmutación anteriores se pueden demostrar invocando las relaciones

${\displaystyle \{e^{(-i\pi f_{j}^{\dagger }f_{j})},f_{j}\}=\{e^{(i\pi f_{j}^{\dagger }f_{j})},f_{j}^{\dagger }\}=0}$

La transformación inversa viene dada por

${\displaystyle \sigma _{j}^{+}=e^{\left(-i\pi \sum _{k=1}^{j-1}a_{k}^{\dagger }a_{k}\right)}\cdot a_{j}^{\dagger }}$

${\displaystyle \sigma _{j}^{-}=e^{\left(+i\pi \sum _{k=1}^{j-1}a_{k}^{\dagger }a_{k}\right)}\cdot a_{j}}$

${\displaystyle \sigma _{j}^{z}=2a_{j}^{\dagger }a_{j}-I}$

Nótese que la definición de los operadores fermiónicos es no local con respecto a los operadores bosónicos porque debemos tratar con toda una cadena de operadores a la izquierda del sitio con respecto al cual se definen los operadores fermiónicos. Esto también es cierto a la inversa. Este es un ejemplo de un bucle de 't Hooft , que es un operador de desorden en lugar de un operador de orden . Este es también un ejemplo de una dualidad S.

Si el sistema tiene más de una dimensión, la transformación aún se puede aplicar. Solo es necesario etiquetar los sitios de forma arbitraria con un único índice.

La transformación de Jordan-Wigner se puede invertir para mapear un hamiltoniano fermiónico en un hamiltoniano de espín. Una serie de espines es equivalente a una cadena de cúbits para la computación cuántica . Algunos potenciales moleculares se pueden simular eficientemente mediante una computadora cuántica utilizando esta transformación. ^{[ 2 ]}

• Dualidad S : equivalencia de dos teorías físicas 
• Transformación de Klein – Tipo de redefinición de campo 
• Transformación de Bogoliubov : operación matemática en óptica cuántica, relatividad general y otras áreas de la física. 
• Transformación de Holstein-Primakoff : una transformación en mecánica cuántica. 
• Transformación Jordania-Schwinger

• Nielsen, Michael. «Notas sobre la transformación de Jordan-Wigner» (PDF) . Archivo de Internet . Wayback Machine. Archivado del original (PDF) el 3 de noviembre de 2019.
• Coleman, Piers. "Ejemplos sencillos de segunda cuantización" (PDF) . Universidad de Chicago .