Jordan forma normal

Algunos libros de texto los tienen en la subdiagonal ; es decir, inmediatamente debajo de la diagonal principal en lugar de en la superdiagonal. Los autovalores siguen estando en la diagonal principal. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Una matriz A de n × n es diagonalizable si y solo si la suma de las dimensiones de sus autoespacios es n . O, equivalentemente, si y solo si A tiene n autovectores linealmente independientes . No todas las matrices son diagonalizables; las matrices que no son diagonalizables se denominan matrices defectuosas . Considere la siguiente matriz:

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{*{20}{r}}5&4&2&1\\[2pt]0&1&-1&-1\\[2pt]-1&-1&3&0\\[2pt]1&1&-1&2\end{array}}\right].}$

Incluyendo la multiplicidad, los autovalores de A son λ = 1, 2, 4, 4. La dimensión del autoespacio correspondiente al autovalor 4 es 1 (y no 2), por lo que A no es diagonalizable. Sin embargo, existe una matriz invertible P tal que J = P ⁻¹ AP , donde

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\[2pt]0&2&0&0\\[2pt]0&0&4&1\\[2pt]0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

La matriz${\displaystyle J}$es casi diagonal. Esta es la forma normal de Jordan de A. La sección Ejemplo a continuación detalla el cálculo.

Consideremos la matriz${\displaystyle A}$a partir del ejemplo de la sección anterior. La forma normal de Jordan se obtiene mediante alguna transformación de similitud :

${\displaystyle P^{-1}AP=J;}$eso es,${\displaystyle AP=PJ.}$

Dejar${\displaystyle P}$tienen vectores columna${\displaystyle p_{i}}$,${\displaystyle i=1,\ldots ,4}$, entonces

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&2p_{2}&4p_{3}&p_{3}+4p_{4}\end{bmatrix}}.}$

Vemos que

${\displaystyle (A-1I)p_{1}=0}$

${\displaystyle (A-2I)p_{2}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{4}=p_{3}.}$

Para${\displaystyle i=1,2,3}$tenemos${\displaystyle p_{i}\in \ker(A-\lambda _{i}I)}$, eso es,${\displaystyle p_{i}}$es un vector propio de${\displaystyle A}$correspondiente al valor propio${\displaystyle \lambda _{i}}$. Para${\displaystyle i=4}$multiplicando ambos lados por${\displaystyle (A-4I)}$da

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=(A-4I)p_{3}.}$

Pero${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$, entonces

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=0.}$

De este modo,${\displaystyle p_{4}\in \ker(A-4I)^{2}.}$

Vectores como${\displaystyle p_{4}}$se denominan autovectores generalizados de A.

Este ejemplo muestra cómo calcular la forma normal de Jordan de una matriz dada.

Consideremos la matriz

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\end{array}}\right]}$

lo cual se menciona al principio del artículo.

El polinomio característico de A es

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\lambda )&=\det(\lambda I-A)\\&=\lambda ^{4}-11\lambda ^{3}+42\lambda ^{2}-64\lambda +32\\&=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -4)^{2}.\,\end{aligned}}}$

Esto demuestra que los autovalores son 1, 2, 4 y 4, según la multiplicidad algebraica. El autoespacio correspondiente al autovalor 1 se puede encontrar resolviendo la ecuación Av = 1 v . Está generado por el vector columna v = (−1, 1, 0, 0) ^T. De manera similar, el autoespacio correspondiente al autovalor 2 está generado por w = (1, −1, 0, 1) ^T. Finalmente, el autoespacio correspondiente al autovalor 4 también es unidimensional (aunque se trata de un autovalor doble) y está generado por x = (1, 0, −1, 1) ^T. Por lo tanto, la multiplicidad geométrica (es decir, la dimensión del autoespacio del autovalor dado) de cada uno de los tres autovalores es uno. Por lo tanto, los dos autovalores iguales a 4 corresponden a un único bloque de Jordan, y la forma normal de Jordan de la matriz A es la suma directa.

${\displaystyle J=J_{1}(1)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{2}(4)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

Hay tres cadenas de Jordan . Dos tienen longitud uno: { v } y { w }, que corresponden a los autovalores 1 y 2, respectivamente. Hay una cadena de longitud dos que corresponde al autovalor 4. Para encontrar esta cadena, calcula

${\displaystyle \ker(A-4I)^{2}=\operatorname {span} \,\left\{{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}},\left[{\begin{array}{r}1\\0\\-1\\1\end{array}}\right]\right\}}$

donde yo estoy elMatriz identidad de 4 × 4. Elija un vector en el espacio generado anteriormente que no esté en el núcleo de A − 4 I ; por ejemplo, y = (1,0,0,0) ^T . Ahora, ( A − 4 I ) y = x y ( A − 4 I ) x = 0 , por lo que { y , x } es una cadena de longitud dos que corresponde al valor propio 4.

La matriz de transición P tal que P ⁻¹ AP = J se forma colocando estos vectores uno al lado del otro de la siguiente manera:

${\displaystyle P=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}v&w&x&y\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&1&1&1\\1&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&1&0\end{array}}\right].}$

Un cálculo muestra que la ecuación P ⁻¹ AP = J efectivamente se cumple.

${\displaystyle P^{-1}AP=J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

Si hubiéramos intercambiado el orden en que aparecen los vectores de la cadena, es decir, cambiando el orden de v , w y { x , y } juntos, los bloques de Jordan se intercambiarían. Sin embargo, las formas de Jordan son equivalentes.

Damos una demostración por inducción de que cualquier matriz cuadrada de valores complejos A puede ponerse en forma normal de Jordan. Dado que se puede demostrar ^{[ 14 ]} que el espacio vectorial subyacente es la suma directa de subespacios invariantes asociados con los valores propios, se puede suponer que A tiene un solo valor propio λ . El caso 1 × 1 es trivial. Sea A una matriz n × n . El rango de${\displaystyle A-\lambda I}$⁠ , denotado por ⁠${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)}$⁠ , es un subespacio invariante de A . Además, dado que λ es un valor propio de A , la dimensión de ⁠${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)}$⁠ , r , es estrictamente menor que n , por lo tanto, por la hipótesis inductiva, ⁠${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)}$Tiene una base { p ₁ , ..., p _r } compuesta por cadenas de Jordan.

A continuación, consideremos el núcleo , es decir, el subespacio ⁠${\displaystyle \ker(A-\lambda I)}$⁠ . Si

${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)\cap \ker(A-\lambda I)=\{0\},}$

El resultado deseado se deduce inmediatamente del teorema de rango-nulidad . (Este sería el caso, por ejemplo, si A fuera hermitiana ).

De lo contrario, si

${\displaystyle Q=\operatorname {Ran} (A-\lambda I)\cap \ker(A-\lambda I)\neq \{0\},}$

Sea la dimensión de Q s ≤ r . Cada vector en Q es un vector propio, por lo que${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)}$Debe contener s cadenas de Jordan correspondientes a s autovectores linealmente independientes. Por lo tanto, la base { p ₁ , ..., p _r } debe contener s vectores, digamos { p ₁ , ..., p _s }, que son vectores principales de estas cadenas de Jordan. Podemos "extender las cadenas" tomando las preimágenes de estos vectores principales. (Este es el paso clave). Sea q _i tal que

${\displaystyle \;(A-\lambda I)q_{i}=p_{i}{\mbox{ for }}i=1,\ldots ,s.}$

Finalmente, podemos elegir cualquier base para

${\displaystyle \ker(A-\lambda I)/Q}$

y luego elevar a vectores { z ₁ , ..., z _t } en ⁠${\displaystyle \ker(A-\lambda I)}$Cada z _i forma una cadena de Jordan de longitud 1. Solo necesitamos demostrar que la unión de { p ₁ , ..., p _r }, { z ₁ , ..., z t _} y { q ₁ , ..., q _s } forma una base para el espacio vectorial.

Por el teorema de rango-nulidad ,${\displaystyle \dim(\ker(A-\lambda I)))=n-r}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle t=n-r-s}$⁠ , y por lo tanto el número de vectores en la base potencial es igual a n. Para demostrar la independencia lineal, supongamos que alguna combinación lineal de los vectores es 0. Aplicando ⁠${\displaystyle A-\lambda I,}$obtenemos alguna combinación lineal de p _i , donde los q _i se convierten en vectores principales entre los p i _. De la independencia lineal de p _{i ,} se deduce que los coeficientes de los vectores q _i deben ser cero. Además, ninguna combinación lineal no trivial de los z _i puede ser igual a una combinación lineal de p _i , porque entonces pertenecería a${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)}$y por lo tanto Q , lo cual es imposible por la construcción de z _i . Por lo tanto, los coeficientes de z _i también serán 0. Esto deja en la combinación lineal original solo los términos p _i , que se suponen linealmente independientes, por lo que sus coeficientes también deben ser cero. Hemos encontrado una base compuesta por cadenas de Jordan, y esto muestra que A puede expresarse en forma normal de Jordan.

Se puede demostrar que la forma normal de Jordan de una matriz A dada es única hasta el orden de los bloques de Jordan.

Conocer las multiplicidades algebraicas y geométricas de los autovalores no es suficiente para determinar la forma normal de Jordan de A. Suponiendo que se conoce la multiplicidad algebraica m ( λ ) de un autovalor λ , la estructura de la forma de Jordan se puede determinar analizando los rangos de las potencias ( A − λI ) ^{m ( λ )} . Para ver esto, supongamos que una matriz n × n A tiene solo un autovalor λ . Entonces m ( λ ) = n . El entero más pequeño k ₁ tal que

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}}=0}$

es el tamaño del bloque de Jordan más grande en la forma de Jordan de A. (Este número k ₁ también se llama índice de λ . Véase la discusión en una sección posterior). El rango de

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-1}}$

es el número de bloques de Jordan de tamaño k ₁ . De manera similar, el rango de

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-2}}$

es el doble del número de bloques de Jordan de tamaño k ₁ más el número de bloques de Jordan de tamaño k ₁ − 1. El caso general es similar.

Esto puede utilizarse para demostrar la unicidad de la forma de Jordan. Sean _J₁ y J₂ dos formas normales de Jordan de _A. Entonces , _J₁ y J₂ son similares y tienen el mismo espectro, incluyendo las multiplicidades algebraicas de los autovalores. El procedimiento descrito en el párrafo anterior puede utilizarse para determinar la _estructura de estas matrices. Dado que el rango de una matriz se conserva mediante una transformación de semejanza, existe una biyección entre los bloques de Jordan de J₁ y J₂ . Esto _{demuestra la} unicidad de la afirmación.

Utilizando la forma normal de Jordan, el cálculo directo proporciona un teorema de mapeo espectral para el cálculo funcional polinomial : Sea A una matriz n × n con valores propios λ ₁ , ..., λ _n , entonces para cualquier polinomio p , p ( A ) tiene valores propios p ( λ ₁ ), ..., p ( λ _n ).

El polinomio característico de A es${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I-A)}$. Las matrices similares tienen el mismo polinomio característico. Por lo tanto,${\textstyle p_{A}(\lambda )=p_{J}(\lambda )=\prod _{i}(\lambda -\lambda _{i})^{m_{i}}}$, dónde${\displaystyle \lambda _{i}}$es la i -ésima raíz de${\textstyle p_{J}}$y${\displaystyle m_{i}}$es su multiplicidad, porque este es claramente el polinomio característico de la forma de Jordan de A.

El teorema de Cayley-Hamilton afirma que toda matriz A satisface su ecuación característica: si p es el polinomio característico de A , entonces${\displaystyle p_{A}(A)=0}$Esto se puede demostrar mediante un cálculo directo en la forma de Jordan, ya que si${\displaystyle \lambda _{i}}$es un valor propio de multiplicidad${\displaystyle m_{i}}$, luego su bloque Jordan${\displaystyle J_{i}}$claramente satisface${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$Como los bloques diagonales no se afectan entre sí,${\displaystyle i}$el bloque diagonal de${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$es${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$; por eso${\textstyle p_{A}(A)=\prod _{i}(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$.

Se puede suponer que la forma de Jordan existe sobre un campo que extiende el campo base de la matriz, por ejemplo sobre el campo de descomposición de p ; esta extensión de campo no cambia la matriz p ( A ) de ninguna manera.

El polinomio mínimo P de una matriz cuadrada A es el único polinomio mónico de grado mínimo, m , tal que P ( A ) = 0. Alternativamente, el conjunto de polinomios que anulan una A dada forman un ideal I en C [ x ], el dominio ideal principal de polinomios con coeficientes complejos. El elemento mónico que genera I es precisamente P.

Sean λ ₁ , ..., λ _q los autovalores distintos de A , y s _i el tamaño del bloque de Jordan más grande correspondiente a λ _i . Es claro a partir de la forma normal de Jordan que el polinomio mínimo de A tiene grado Σ s _i .

Si bien la forma normal de Jordan determina el polinomio mínimo, lo contrario no es cierto. Esto nos lleva al concepto de divisores elementales . Los divisores elementales de una matriz cuadrada A son los polinomios característicos de sus bloques de Jordan. Los factores del polinomio mínimo m son los divisores elementales de mayor grado que corresponden a autovalores distintos.

El grado de un divisor elemental es igual al tamaño del bloque de Jordan correspondiente y, por lo tanto, a la dimensión del subespacio invariante correspondiente. Si todos los divisores elementales son lineales, A es diagonalizable.

La forma de Jordan de una matriz A de n × n es diagonal por bloques y, por lo tanto, proporciona una descomposición del espacio euclidiano n- dimensional en subespacios invariantes de A. Cada bloque de Jordan J _i corresponde a un subespacio invariante X _i . Simbólicamente, ponemos

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{k}X_{i}}$

donde cada X _i es el intervalo de la cadena de Jordan correspondiente, y k es el número de cadenas de Jordan.

También se puede obtener una descomposición ligeramente diferente mediante la forma de Jordan. Dado un valor propio λ _i , el tamaño de su bloque de Jordan correspondiente más grande s _i se llama índice de λ _i y se denota por v ( λ _i ) . (Por lo tanto, el grado del polinomio mínimo es la suma de todos los índices). Definimos un subespacio Y _i por

${\displaystyle Y_{i}=\ker(\lambda _{i}I-A)^{v(\lambda _{i})}.}$

Esto da como resultado la descomposición

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{l}Y_{i}}$

donde l es el número de autovalores distintos de A. Intuitivamente, agrupamos los subespacios invariantes de bloque de Jordan que corresponden al mismo autovalor. En el caso extremo en que A es un múltiplo de la matriz identidad, tenemos k = n y l = 1.

La proyección sobre Y _i y a lo largo de todos los demás Y _j ( j ≠ i ) se denomina proyección espectral de A en v _i y se suele denotar por P ( λ _i  ; A ) . Las proyecciones espectrales son mutuamente ortogonales en el sentido de que P ( λ _i  ; A ) P (v _j  ; A ) = 0 si i ≠ j . Además, conmutan con A y su suma es la matriz identidad. Sustituyendo cada v _i en la matriz de Jordan J por uno y poniendo a cero todas las demás entradas se obtiene P (v _i  ; J ) , además, si UJU ⁻¹ es la transformación de similitud tal que A = UJU ⁻¹ entonces P ( λ _i  ; A ) = UP ( λ _i  ; J ) U ⁻¹ . No se limitan a dimensiones finitas. Véase más adelante su aplicación a operadores compactos y en cálculo funcional holomorfo para una discusión más general.

Al comparar las dos descomposiciones, observe que, en general, l ≤ k . Cuando A es normal, los subespacios X _i en la primera descomposición son unidimensionales y mutuamente ortogonales. Este es el teorema espectral para operadores normales. La segunda descomposición se generaliza más fácilmente para operadores compactos generales en espacios de Banach.

Aquí podría ser interesante observar algunas propiedades del índice, ν ( λ ) . De manera más general, para un número complejo λ , su índice se puede definir como el menor entero no negativo ν ( λ ) tal que

${\displaystyle \ker(A-\lambda I)^{\nu (\lambda )}=\ker(A-\lambda I)^{m},\;\forall m\geq \nu (\lambda ).}$

Entonces ν (v) > 0 si y solo si λ es un valor propio de A. En el caso de dimensión finita, ν (v) ≤ la multiplicidad algebraica de v .

La forma de Jordan se utiliza para encontrar una forma normal de matrices, salvo conjugación, de modo que las matrices normales conformen una variedad algebraica de grado fijo bajo en el espacio de matrices ambiente.

Los conjuntos de representantes de clases de conjugación de matrices para la forma normal de Jordan o las formas canónicas racionales en general no constituyen subespacios lineales o afines en los espacios de matrices ambiente.

Vladimir Arnold planteó ^{[ 16 ]} un problema: encontrar una forma canónica de matrices sobre un cuerpo para el cual el conjunto de representantes de clases de conjugación de matrices sea una unión de subespacios lineales afines (planos). En otras palabras, mapear inyectivamente el conjunto de clases de conjugación de matrices de vuelta al conjunto inicial de matrices de manera que la imagen de esta incrustación —el conjunto de todas las matrices normales— tenga el grado más bajo posible; es una unión de subespacios lineales desplazados.

Fue resuelto para cuerpos algebraicamente cerrados por Peteris Daugulis. ^{[ 17 ]} La construcción de una forma normal plana definida de una matriz comienza considerando su forma normal de Jordan.

Sea X un espacio de Banach, L ( X ) los operadores acotados en X , y σ ( T ) el espectro de T ∈ L ( X ). El cálculo funcional holomorfo se define de la siguiente manera:

Fijemos un operador acotado T. Consideremos la familia Hol( T ) de funciones complejas que es holomorfa en algún conjunto abierto G que contiene a σ ( T ). Sea Γ = { γi _} una colección finita de curvas de Jordan tales que σ ( T ) se encuentra en el interior de Γ, definimos f ( T ) por

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }f(z)(z-T)^{-1}\,dz.}$

El conjunto abierto G podría variar con f y no necesariamente ser conexo. La integral se define como el límite de las sumas de Riemann, como en el caso escalar. Aunque la integral tiene sentido para f continua , nos restringimos a funciones holomorfas para aplicar la maquinaria de la teoría clásica de funciones (por ejemplo, la fórmula integral de Cauchy). La suposición de que σ ( T ) se encuentra dentro de Γ asegura que f ( T ) esté bien definida; no depende de la elección de Γ. El cálculo funcional es la aplicación Φ de Hol( T ) a L ( X ) dada por

${\displaystyle \;\Phi (f)=f(T).}$

Necesitaremos las siguientes propiedades de este cálculo funcional:

1. Φ extiende el cálculo funcional polinomial.
2. Se cumple el teorema de mapeo espectral : σ ( f ( T )) = f ( σ ( T )).
3. Φ es un homomorfismo de álgebra.

En el caso de dimensión finita, σ ( T ) = { λ _i } es un conjunto discreto finito en el plano complejo. Sea e _i la función que es 1 en algún entorno abierto de λ _i y 0 en cualquier otro lugar. Por la propiedad 3 del cálculo funcional, el operador

${\displaystyle e_{i}(T)}$

es una proyección. Además, sea ν _i el índice de λ _i y

${\displaystyle f(z)=(z-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

El teorema de mapeo espectral nos dice que

${\displaystyle f(T)e_{i}(T)=(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}e_{i}(T)}$

tiene espectro {0}. Por la propiedad 1, f ( T ) se puede calcular directamente en la forma de Jordan, y por inspección, vemos que el operador f ( T ) e _i ( T ) es la matriz cero.

Por la propiedad 3, f ( T ) e _i ( T ) = e _i ( T ) f ( T ). Por lo tanto, e _i ( T ) es precisamente la proyección sobre el subespacio

${\displaystyle \operatorname {Ran} e_{i}(T)=\ker(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

La relación

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}=1}$

implica

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}\;\operatorname {Ran} e_{i}(T)=\bigoplus _{i}\ker(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}$

donde el índice i recorre los distintos valores propios de T. Esta es la descomposición en subespacio invariante.

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}Y_{i}}$

dado en una sección anterior. Cada e _i ( T ) es la proyección sobre el subespacio generado por las cadenas de Jordan correspondientes a λ _i y a lo largo de los subespacios generados por las cadenas de Jordan correspondientes a v _j para j ≠ i . En otras palabras, e _i ( T ) = P ( λ _i ; T ). Esta identificación explícita de los operadores e _i ( T ) a su vez proporciona una forma explícita de cálculo funcional holomorfo para matrices:

Para todo f ∈ Hol( T ),

${\displaystyle f(T)=\sum _{\lambda _{i}\in \sigma (T)}\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {f^{(k)}}{k!}}(T-\lambda _{i})^{k}e_{i}(T).}$

Nótese que la expresión de f ( T ) es una suma finita porque, en cada entorno de v _i , hemos elegido el desarrollo en serie de Taylor de f centrado en v _i .

Sea T un operador acotado y λ un punto aislado de σ ( T ). (Como se indicó anteriormente, cuando T es compacto, cada punto de su espectro es un punto aislado, excepto posiblemente el punto límite 0).

El punto λ se denomina polo del operador T de orden ν si la función resolvente R _T definida por

${\displaystyle R_{T}(\lambda )=(\lambda -T)^{-1}}$

tiene un polo de orden ν en λ .

Demostraremos que, en el caso de dimensión finita, el orden de un valor propio coincide con su índice. Este resultado también es válido para operadores compactos.

Consideremos la región anular A centrada en el autovalor λ con un radio ε suficientemente pequeño tal que la intersección del disco abierto B _ε ( λ ) y σ ( T ) sea { λ }. La función resolvente R _T es holomorfa en A. Extendiendo un resultado de la teoría clásica de funciones, R _T tiene una representación en serie de Laurent en A :

${\displaystyle R_{T}(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{m}(\lambda -z)^{m}}$

dónde

${\displaystyle a_{-m}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}(\lambda -z)^{m-1}(z-T)^{-1}dz}$y C es un círculo pequeño centrado en λ . 

Según la discusión anterior sobre el cálculo funcional,

${\displaystyle a_{-m}=-(\lambda -T)^{m-1}e_{\lambda }(T)}$dónde${\displaystyle e_{\lambda }}$es 1 en${\displaystyle B_{\varepsilon }(\lambda )}$y 0 en cualquier otro lugar.

Pero hemos demostrado que el entero positivo más pequeño m tal que

${\displaystyle a_{-m}\neq 0}$y${\displaystyle a_{-l}=0\;\;\forall \;l\geq m}$

es precisamente el índice de λ , ν ( λ ). En otras palabras, la función R _T tiene un polo de orden ν ( λ ) en λ .