Sistema triple

En álgebra , un sistema triple (o ternario ) es un espacio vectorial V sobre un cuerpo F junto con una aplicación trilineal sobre F.

${\displaystyle (\cdot ,\cdot ,\cdot )\colon V\times V\times V\to V.}$

Los ejemplos más importantes son los sistemas triples de Lie y los sistemas triples de Jordan . Fueron introducidos por Nathan Jacobson en 1949. En particular, cualquier álgebra de Lie define un sistema triple de Lie y cualquier álgebra de Jordan define un sistema triple de Jordan. Son importantes en las teorías de espacios simétricos , especialmente en los espacios simétricos hermíticos y sus generalizaciones ( espacios R simétricos y sus duales no compactos).

Se dice que un sistema triple es un sistema triple de Lie si el mapeo trilineal, denotado${\displaystyle [\cdot ,\cdot ,\cdot ]}$, satisface las siguientes identidades:

${\displaystyle [u,v,w]=-[v,u,w]}$

${\displaystyle [u,v,w]+[w,u,v]+[v,w,u]=0}$

${\displaystyle [u,v,[w,x,y]]=[[u,v,w],x,y]+[w,[u,v,x],y]+[w,x,[u,v,y]].}$

Las dos primeras identidades abstraen la simetría antisimétrica y la identidad de Jacobi para el conmutador triple, mientras que la tercera identidad significa que la aplicación lineal L _{u , v} : V → V , definida por L _{u , v} ( w ) = [ u , v , w ], es una derivación del producto triple. La identidad también muestra que el espacio de operadores lineales   ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$= span {L _{u , v}  : u , v ∈ V } es cerrado bajo el corchete conmutador, por lo tanto es un álgebra de Lie.

Resulta que

${\displaystyle {\mathfrak {g}}:={\mathfrak {h}}\oplus }$V

es un${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$- Álgebra de Lie graduada con${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$de grado 0 y V de grado 1, y corchete

${\displaystyle [(L,u),(M,v)]=([L,M]+L_{u,v},L(v)-M(u)).}$

Esto se denomina incrustación estándar del sistema triple de Lie V en un${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$Álgebra de Lie graduada. Por el contrario, dado cualquier${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-álgebra de Lie graduada, el triple corchete [[ u , v ], w ] convierte el espacio de elementos de grado 1 en un sistema triple de Lie.

Sin embargo, estos métodos de convertir un sistema triple de Lie en un${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$Las álgebras de Lie graduadas y viceversa no son inversas: más precisamente, no definen una equivalencia de categorías . Por ejemplo, si partimos de cualquier álgebra abeliana${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$Álgebra de Lie graduada, el proceso de ida y vuelta produce uno donde el espacio de grado 0 es cero-dimensional, ya que obtenemos${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$= intervalo {L _{u , v}  : u , v ∈ V } = {0}.

Dado cualquier sistema triple de Lie V , y dejando${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus }$V sea el correspondiente${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-álgebra de Lie graduada, esta descomposición de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$obedece la definición algebraica de un espacio simétrico , por lo que si G es cualquier grupo de Lie conexo con álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y H es un subgrupo con álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$Entonces, G / H es un espacio simétrico . Recíprocamente, el espacio tangente de cualquier punto en cualquier espacio simétrico es naturalmente un sistema triple de Lie.

También podemos obtener sistemas triples de Lie a partir de álgebras asociativas. Dado un álgebra asociativa A y definiendo el conmutador por${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$, cualquier subespacio de A cerrado bajo la operación

${\displaystyle [a,b,c]=[[a,b],c]}$

Con esta operación, se convierte en un sistema triple de Lie.

Se dice que un sistema triple V es un sistema triple de Jordan si el mapa trilineal, denotado${\displaystyle \{\cdot ,\cdot ,\cdot \}}$, satisface las siguientes identidades:

${\displaystyle \{u,v,w\}=\{u,w,v\}}$

${\displaystyle \{u,v,\{w,x,y\}\}=\{w,x,\{u,v,y\}\}+\{w,\{u,v,x\},y\}-\{\{v,u,w\},x,y\}.}$

La segunda identidad significa que si L _{u , v} : V → V está definida por L _{u , v} ( y ) = { u , v , y } entonces

${\displaystyle [L_{u,v},L_{w,x}]:=L_{u,v}\circ L_{w,x}-L_{w,x}\circ L_{u,v}=L_{w,\{u,v,x\}}-L_{\{v,u,w\},x}}$

de modo que el espacio de aplicaciones lineales genera {L _{u , v} : u , v ∈ V } es cerrado bajo el corchete conmutador y, por lo tanto, es un álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$.

Se dice que un sistema triple de Jordan es definido positivo (respectivamente, no degenerado ) si la forma bilineal en V definida por la traza de L _{u , v} es definida positiva (respectivamente, no degenerada). En ambos casos, existe una identificación de V con su espacio dual y una involución correspondiente en${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$Inducen una involución de

${\displaystyle V\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus V^{*}}$

que en el caso definido positivo es una involución de Cartan. El espacio simétrico correspondiente es un R-espacio simétrico . Tiene un dual no compacto dado al reemplazar la involución de Cartan por su compuesto con la involución igual a +1 en${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$y − 1 en V y V ^* . Un caso especial de esta construcción surge cuando${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$preserva una estructura compleja en V. En este caso obtenemos espacios simétricos hermíticos duales de tipo compacto y no compacto (estos últimos son dominios simétricos acotados ).

Cualquier sistema triple de Jordan es un sistema triple de Lie con respecto a la operación.

${\displaystyle [u,v,w]=\{u,v,w\}-\{v,u,w\}.}$

Un par de Jordan es una generalización de un sistema triple de Jordan que involucra dos espacios vectoriales V ₊ y V ₋ . El mapa trilineal se reemplaza entonces por un par de mapas trilineales.

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot ,\cdot \}_{+}\colon V_{-}\times S^{2}V_{+}\to V_{+}}$

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot ,\cdot \}_{-}\colon V_{+}\times S^{2}V_{-}\to V_{-}}$.

El otro axioma de Jordan (aparte de la simetría) también se reemplaza por dos axiomas, uno de los cuales es

${\displaystyle \{u,v,\{w,x,y\}_{+}\}_{+}=\{w,x,\{u,v,y\}_{+}\}_{+}+\{w,\{u,v,x\}_{+},y\}_{+}-\{\{v,u,w\}_{-},x,y\}_{+}}$

y la otra es la análoga con los subíndices + y − intercambiados. Los mapas trilineales a menudo se consideran mapas cuadráticos.

${\displaystyle Q_{+}\colon V_{+}\to {\text{Hom}}(V_{-},V_{+})}$

${\displaystyle Q_{-}\colon V_{-}\to {\text{Hom}}(V_{+},V_{-}).}$

Como en el caso de los sistemas triples de Jordan, se puede definir, para u en V ₋ y v en V ₊ , una aplicación lineal.

${\displaystyle L_{u,v}^{+}:V_{+}\to V_{+}\quad {\text{by}}\quad L_{u,v}^{+}(y)=\{u,v,y\}_{+}}$

y de forma similar L ⁻ . Los axiomas de Jordan (aparte de la simetría) pueden escribirse entonces

${\displaystyle [L_{u,v}^{\pm },L_{w,x}^{\pm }]=L_{w,\{u,v,x\}_{\pm }}^{\pm }-L_{\{v,u,w\}_{\mp },x}^{\pm }}$

lo que implica que las imágenes de L ⁺ y L ⁻ están cerradas bajo los corchetes conmutadores en End( V ₊ ) y End( V ₋ ). Juntas determinan una aplicación lineal.

${\displaystyle V_{+}\otimes V_{-}\to {\mathfrak {gl}}(V_{+})\oplus {\mathfrak {gl}}(V_{-})}$

cuya imagen es una subálgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$y las identidades de Jordan se convierten en identidades de Jacobi para un grupo de Lie calificado en

${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=V_{+}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus V_{-},}$

convertir este espacio en un${\displaystyle \mathbb {Z} }$- Álgebra de Lie graduada${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$con solo los grados 1, 0 y -1 siendo no triviales, a menudo llamado álgebra de Lie de 3 grados . Por el contrario, dado cualquier álgebra de Lie de 3 grados

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{+1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{-1},}$

entonces la pareja${\displaystyle ({\mathfrak {g}}_{+1},{\mathfrak {g}}_{-1})}$es un par de Jordan, con corchetes

${\displaystyle \{X_{\mp },Y_{\pm },Z_{\pm }\}_{\pm }:=[[X_{\mp },Y_{\pm }],Z_{\pm }].}$

Los sistemas triples de Jordan son pares de Jordan con V ₊ = V ₋ y mapas trilineales iguales. Otro caso importante ocurre cuando V ₊ y V ₋ son duales entre sí, con mapas trilineales duales determinados por un elemento de

${\displaystyle \mathrm {End} (S^{2}V_{+})\cong S^{2}V_{+}^{*}\otimes S^{2}V_{-}^{*}\cong \mathrm {End} (S^{2}V_{-}).}$

Estos surgen en particular cuando${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$arriba es semisimple, cuando la forma de Matar proporciona una dualidad entre${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{+1}}$y${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}}$.

Para un ejemplo sencillo de un par de Jordan, veamos:${\displaystyle V_{+}}$sea ​​un espacio vectorial de dimensión finita y${\displaystyle V_{-}}$el dual de ese espacio vectorial, con las aplicaciones cuadráticas

${\displaystyle Q_{+}\colon V_{+}\to {\text{Hom}}(V_{-},V_{+})}$

${\displaystyle Q_{-}\colon V_{-}\to {\text{Hom}}(V_{+},V_{-})}$

dado por

${\displaystyle Q_{+}(v)(f)=f(v)\,v}$

${\displaystyle Q_{-}(f)(v)=f(v)\,f}$

dónde${\displaystyle v\in V_{+},f\in V_{-}}$.

• Asociado
• E ₇ (matemáticas)
• Álgebra de Jordan cuadrática

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