Álgebra de Jordan cuadrática

En matemáticas , las álgebras de Jordan cuadráticas son una generalización de las álgebras de Jordan introducidas por Kevin McCrimmon ( 1966 ) . Las identidades fundamentales de la representación cuadrática de un álgebra de Jordan lineal se utilizan como axiomas para definir un álgebra de Jordan cuadrática sobre un cuerpo de característica arbitraria. Existe una descripción uniforme de las álgebras de Jordan cuadráticas simples de dimensión finita, independientemente de la característica. Si 2 es invertible en el cuerpo de coeficientes, la teoría de las álgebras de Jordan cuadráticas se reduce a la de las álgebras de Jordan lineales.

Definición

Un álgebra de Jordan cuadrática consiste en un espacio vectorial A sobre un cuerpo K con un elemento distinguido 1 y una aplicación cuadrática de A en los K -endomorfismos de A , a ↦ Q ( a ), que satisfacen las condiciones:

$Q (1) = id$ ;
$Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a)$ ("identidad fundamental");
$Q (a) R (b, a) = R (a, b) Q (a)$ ("identidad de conmutación"), donde $R (a, b) c = (Q (a + c) - Q (a) - Q (c)) b .$

Además, estas propiedades deben cumplirse bajo cualquier extensión de escalares . ^{[ 1 ]}

Elementos

Un elemento a es invertible si $Q (a)$ es invertible y existe $b$ tal que $Q (b)$ es el inverso de $Q (a)$ y $Q (a) b = a$ : dicho b es único y decimos que b es el inverso de a . Un álgebra de división de Jordan es aquella en la que todo elemento distinto de cero es invertible. ^{[ 2 ]}

Estructura

Sea B un subespacio de A. Definimos B como un ideal cuadrático ^{[ 3 ]} o un ideal interno si la imagen de Q ( b ) está contenida en B para todo b en B ; definimos B como un ideal externo si B es mapeado en sí mismo por cada Q ( a ) para todo a en A. Un ideal de A es un subespacio que es a la vez un ideal interno y un ideal externo. ^{[ 1 ]} Un álgebra de Jordan cuadrática es simple si no contiene ideales no triviales. ^{[ 2 ]}

Para un b dado , la imagen de Q ( b ) es un ideal interno: lo llamamos el ideal interno principal en b . ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]}

El centroide Γ de A es el subconjunto de End _K ( A ) que consta de endomorfismos T que "conmutan" con Q en el sentido de que para todo a

T Q ( a ) = Q ( a ) T ;
Q ( Ta ) = Q ( a ) T ² .

El centroide de un álgebra simple es un cuerpo: A es central si su centroide es ^simplemente K. ^[⁵ ]

Ejemplos

Álgebra de Jordan cuadrática a partir de un álgebra asociativa

Si A es un álgebra asociativa unitaria sobre K con multiplicación ×, entonces se puede definir una aplicación cuadrática Q de A a End _K ( A ) mediante Q ( a ) : b ↦ a × b × a . Esto define una estructura de álgebra de Jordan cuadrática en A. Un álgebra de Jordan cuadrática es especial si es isomorfa a una subálgebra de dicha álgebra; de lo contrario, es excepcional . ^{[ 2 ]}

Álgebra de Jordan cuadrática a partir de una forma cuadrática

Sea A un espacio vectorial sobre K con una forma cuadrática q y una forma bilineal simétrica asociada q ( x , y ) = q ( x + y ) - q ( x ) - q ( y ). Sea e un "punto base" de A , es decir, un elemento con q ( e ) = 1. Definimos un funcional lineal T ( y ) = q ( y , e ) y una "reflexión" y ^∗ = T ( y ) e - y . Para cada x definimos Q ( x ) mediante

Q ( x ) : y ↦ q ( x , y ^∗ ) x − q ( x ) y ^∗ .

Entonces Q define un álgebra de Jordan cuadrática en A. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

Álgebra de Jordan cuadrática a partir de un álgebra de Jordan lineal

Sea A un álgebra de Jordan unitaria sobre un cuerpo K de característica distinta de 2. Para a en A , sea L el mapa de multiplicación izquierda en el álgebra envolvente asociativa.

L(a):x\mapsto ax\

y definimos un K -endomorfismo de A , llamado representación cuadrática , mediante

\displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}

Entonces Q define un álgebra de Jordan cuadrática.

Álgebra de Jordan cuadrática definida por un álgebra de Jordan lineal

Las identidades cuadráticas pueden demostrarse en un álgebra de Jordan de dimensión finita sobre R o C siguiendo a Max Koecher , quien utilizó un elemento invertible. También son fáciles de demostrar en un álgebra de Jordan definida por un álgebra asociativa unitaria (un álgebra de Jordan "especial") ya que en ese caso Q ( a ) b = aba . ^{[ 8 ]} Son válidas en cualquier álgebra de Jordan sobre un cuerpo de característica distinta de 2. Esto fue conjeturado por Jacobson y demostrado en Macdonald (1960) : Macdonald demostró que si una identidad polinómica en tres variables, lineal en la tercera, es válida en cualquier álgebra de Jordan especial, entonces se cumple en todas las álgebras de Jordan. ^{[ 9 ]} En Jacobson (1969 , pp. 19-21) se da una demostración elemental , debida a McCrimmon y Meyberg, para álgebras de Jordan sobre un cuerpo de característica distinta de 2.

La prueba de Koecher

Los argumentos de Koecher se aplican a las álgebras de Jordan de dimensión finita sobre los números reales o complejos. ^{[ 10 ]}

Identidad fundamental I

Un elemento a en A se denomina invertible si es invertible en R [ a ] o C [ a ]. Si b denota el inverso, entonces la asociatividad de potencias de a muestra que L ( a ) y L ( b ) conmutan.

De hecho, a es invertible si y solo si Q ( a ) es invertible. En ese caso

$\displaystyle {Q(a)^{-1}a=a^{-1},\,\,\,Q(a^{-1})=Q(a)^{-1}.}$

En efecto, si Q ( a ) es invertible, lleva R [ a ] sobre sí mismo. Por otro lado, ^Q( a ) 1 = a2 , por lo que

\displaystyle {(Q(a)^{-1}a)a=aQ(a)^{-1}a=L(a)Q(a)^{-1}a=Q(a)^{-1}a^{2}=1.}

La identidad de Jordania

\displaystyle {[L(a),L(a^{2})](b)=0}

puede polarizarse reemplazando a por a + tc y tomando el coeficiente de t . Reescribiendo esto como un operador aplicado a c se obtiene

\displaystyle {2L(ab)L(a)+L(a^{2})L(b)=2L(a)L(b)L(a)+L(a^{2}b).}

Tomando b = a ⁻¹ en esta identidad de Jordan polarizada se obtiene

\displaystyle {Q(a)L(a^{-1})=L(a).}

Sustituyendo a por su inversa, la relación se cumple si L ( a ) y L ( a ⁻¹ ) son invertibles. Si no lo son, se cumple para a + ε1 con ε arbitrariamente pequeño y, por lo tanto, también en el límite.

Si a y b son invertibles, entonces Q ( a ) b también lo es y satisface la identidad inversa:
$\displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q(a^{-1})b^{-1}.}$
La representación cuadrática satisface la siguiente identidad fundamental:
$\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a).}$

Para c en A y F ( a ) una función en A con valores en End A , sea D _c F ( a ) la derivada en t = 0 de F ( a + tc ). Entonces

\displaystyle {c=D_{c}(Q(a)a^{-1})=2Q(a,c)a^{-1}+Q(a)D_{c}(a^{-1}),}

donde Q ( a , b ) si la polarización de Q

\displaystyle {Q(a,c)={1 \over 2}(Q(a+c)-Q(a)-Q(c))=L(a)L(c)+L(c)L(a)-L(ac).}

Dado que L ( a ) conmuta con L ( a ⁻¹ )

\displaystyle {Q(a,c)a^{-1}=(L(a)L(c)+L(c)L(a)-L(ac))a^{-1}=c.}

Por eso

\displaystyle {c=2c+Q(a)D_{c}(a^{-1}),}

de modo que

$\displaystyle {D_{c}(a^{-1})=-Q(a)^{-1}c.}$

Aplicando D _c a L ( a ⁻¹ ) Q ( a ) = L ( a ) y actuando sobre b = c ⁻¹ se obtiene

\displaystyle {(Q(a)b)(Q(a^{-1})b^{-1})=1.}

Por otro lado, L ( Q ( a ) b ) es invertible en un conjunto abierto y denso donde Q ( a ) b también debe ser invertible con

\displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q(a^{-1})b^{-1}.}

Al derivar D _c con respecto a la variable b en la expresión anterior se obtiene

\displaystyle {-Q(Q(a)b)^{-1}Q(a)c=-Q(a)^{-1}Q(b)^{-1}c.}

Esto proporciona la identidad fundamental para un conjunto denso de elementos invertibles, por lo que se deduce en general por continuidad. La identidad fundamental implica que c = Q ( a ) b es invertible si a y b son invertibles, y proporciona una fórmula para la inversa de Q ( c ). Al aplicarla a c, se obtiene la identidad inversa con total generalidad.

Identidad de conmutación I

Como se muestra arriba, si a es invertible,

\displaystyle {Q(a,b)a^{-1}=b.}

Tomando D _c con a como variable se obtiene

\displaystyle {0=Q(c,b)a^{-1}+Q(a,b)D_{c}(a^{-1})=Q(c,b)a^{-1}-Q(a,b)Q(a)^{-1}c.}

Sustituyendo a por a ⁻¹ se obtiene, aplicando Q ( a ) y utilizando la identidad fundamental se obtiene

\displaystyle {Q(a)Q(b,c)a=Q(a)Q(a^{-1},b)Q(a)c={\frac {1}{2}}Q(a)[Q(a^{-1}+b)-Q(a^{-1})-Q(b)]Q(a)c=Q(Q(a)b,a)c.}

Por eso

\displaystyle {Q(a)Q(b,c)a=Q(Q(a)b,a)c.}

Intercambiar b y c da como resultado

\displaystyle {Q(a)Q(b,c)a=Q(a,Q(a)c)b.}

Por otro lado, $R (x, y)$ se define por $R (x, y) z = 2 Q (x, z) y$ , por lo que esto implica

\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=R(a,b)Q(a)c,}

de modo que para un invertible y por lo tanto por continuidad para todo un

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a).}$

Prueba de McCrimmon-Meyberg

Identidad de conmutación II

La identidad de Jordan $a (a 2 b) = a 2 (ab)$ puede polarizarse reemplazando a por a + tc y tomando el coeficiente de t . Esto da ^{[ 11 ]}

\displaystyle {c(a^{2}b)+2a(ac)b)=a^{2}(cb)+2(ac)(ab).}

En notación de operadores esto implica

$\displaystyle {[L(a^{2}),L(c)]+2[L(ac),L(a)]=0.}$

Polarizar de nuevo da

\displaystyle {c((ad)b)+d((ac)b)+a((dc)b)=(cd)(ab)+(da)(cb)+(ac)(db).}

Escrito como operadores que actúan sobre d , esto da como resultado

\displaystyle {L(c)L(b)L(a)+L((ac)b)+L(a)L(b)L(c)=L(ab)L(c)+L(cb)L(a)+L(ac)L(b).}

Sustituyendo c por b y b por a se obtiene

$\displaystyle {L(b)L(a)^{2}+L(a(ab))+L(a)^{2}L(b)=L(a^{2})L(b)+2L(ab)L(a).}$

Además, como el lado derecho es simétrico en b y ' c , intercambiando b y c en el lado izquierdo y restando, se deduce que los conmutadores [ L ( b ),L( c )] son derivaciones del álgebra de Jordan.

Dejar

\displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}

Entonces Q ( a ) conmuta con L ( a ) por la identidad de Jordan.

De las definiciones, si $Q (a, b) = ½ (Q (a = b) - Q (a) - Q (b))$ es la aplicación bilineal simétrica asociada, entonces $Q (a, a) = Q (a)$ y

\displaystyle {Q(a,b)=L(a)L(b)+L(b)L(a)-L(ab).}

Además

$\displaystyle {2Q(ab,a)=L(b)Q(a)+Q(a)L(b).}$

En efecto

2 Q (ab, a) - L (b) Q (a) - Q (a) L (b) = 2 L (ab) L (a) + 2 L (a) L (ab) - 2 L (a (ab)) - 2 L (a) 2 L (b) - 2 L (b) L (a) 2 + L (a 2) L (b) + L (b) L (a 2).

Por las segunda y primera identidades polarizadas de Jordan esto implica

2 Q (ab, a) - L (b) Q (a) - Q (a) L (b) = 2[L (a), L (ab)] + [L (b), L (a 2)] = 0.

La versión polarizada de $[Q (a), L (a)] = 0$ es

$\displaystyle {2[Q(a,b),L(a)]=2[L(b),Q(a)].}$

Ahora, con $R (a, b) = 2[L (a), L (b)] + 2 L (ab)$ , se deduce que

\displaystyle {Q(a)R(b,a)=2[Q(a)L(b),L(a)]+2Q(a)L(ab)=2[Q(ab,a),L(a)]+2[L(a),L(b)]Q(a)+2Q(a)L(ab).}

Por lo tanto, según la última identidad con ab en lugar de b, esto implica la identidad de conmutación:

\displaystyle {Q(a)R(b,a)=2[L(a),L(b)]Q(a)+2L(ab)Q(a)=R(a,b)Q(a).}

La identidad Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) puede reforzarse para

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a).}$

En efecto, aplicado a c , los dos primeros términos dan

\displaystyle {2Q(a)Q(b,c)a=2Q(Q(a)c,a)b.}

Intercambiando b y c se obtiene entonces

\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=2Q(Q(a)b,a)c.}

Identidad fundamental II

La identidad $Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a)$ se demuestra utilizando las relaciones de corchetes de Lie ^{[ 12 ].}

$\displaystyle {[R(a,b),R(c,d)]=R(R(a,b)c,d)-R(c,R(b,a)d).}$

De hecho, la polarización en c de la identidad $Q (c) L (x) + L (x) Q (c) = 2 Q (cx, c)$ da

\displaystyle {Q(c,y)L(x)+L(x)Q(c,y)=Q(yx,c)+Q(cx,y).}

Aplicando ambos lados a d , esto demuestra que

\displaystyle {[L(x),R(c,d)]=R(xc,d)-R(c,xd).}

En particular, estas ecuaciones se cumplen para x = ab . Por otro lado, si T = [ L ( a ), L ( b )] entonces D ( z ) = Tz es una derivación del álgebra de Jordan, de modo que

\displaystyle {[T,R(c,d)]=R(Dc,d)+R(c,Dd).}

Las relaciones de corchetes de Lie se derivan porque R ( a , b ) = T + L ( ab ).

Dado que el corchete de Lie del lado izquierdo es antisimétrico,

$\displaystyle {R(R(a,b)c,d)-R(c,R(b,a)d)=-R(R(c,d)a,b)+R(a,R(d,c)b).}$

Como consecuencia

$\displaystyle {R(y,Q(x)y)=R(y,x)^{2}-2Q(y)Q(x).}$

En efecto, establecemos a = y , b = x , c = z , d = x y hacemos que ambos lados actúen sobre y .

Por otro lado

$\displaystyle {2Q(Q(a)b)=2R(a,b)Q(Q(a)b,a)-Q(a)R(b,Q(a)b).}$

De hecho, esto se deduce al establecer x = Q ( a ) b en

\displaystyle {[R(a,b),R(x,y)]a=-R(R(x,y)a,b)a+R(a,R(y,x)b)a.}

Por lo tanto, combinando estas ecuaciones con la identidad de conmutación reforzada,

\displaystyle {2Q(Q(a)b)=2R(a,b)Q(Q(a)b,a)-R(b,a)Q(a)R(a,b)+2Q(a)Q(b)Q(a)=2Q(a)Q(b)Q(a).}

Álgebra de Jordan lineal definida por un álgebra de Jordan cuadrática

Sea A un álgebra de Jordan cuadrática sobre R o C. Siguiendo a Jacobson (1969) , se puede asociar una estructura de álgebra de Jordan lineal con A tal que, si L ( a ) es una multiplicación de Jordan, entonces la estructura cuadrática viene dada por Q ( a ) = 2 L ( a ) ² − L ( a ² ).

En primer lugar, el axioma Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) puede reforzarse a

\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a).}

En efecto, aplicado a c , los dos primeros términos dan

\displaystyle {2Q(a)Q(b,c)a=2Q(Q(a)c,a)b.}

Intercambiando b y c se obtiene entonces

\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=2Q(Q(a)b,a)c.}

Ahora dejemos

\displaystyle {L(a)={\frac {1}{2}}R(a,1).}

Sustituyendo b por a y a por 1 en la identidad anterior se obtiene

\displaystyle {R(a,1)=R(1,a)=2Q(a,1).}

En particular

\displaystyle {L(a)=Q(a,1),\,\,\,L(1)=Q(1,1)=I.}

Si además a es invertible entonces

\displaystyle {R(a,b)=2Q(Q(a)b,a)Q(a)^{-1}=2Q(a)Q(b,a^{-1}).}

De manera similar, si ' b' es invertible

\displaystyle {R(a,b)=2Q(a,b^{-1})Q(b).}

El producto Jordan se entrega por

\displaystyle {a\circ b=L(a)b={\frac {1}{2}}R(a,1)b=Q(a,b)1,}

de modo que

\displaystyle {a\circ b=b\circ a.}

La fórmula anterior muestra que 1 es una identidad. Definiendo a ² por a ∘ a = Q ( a )1, la única condición restante por verificar es la identidad de Jordan.

\displaystyle {[L(a),L(a^{2})]=0.}

En la identidad fundamental

\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a),}

Reemplaza a por a + t , establece b = 1 y compara los coeficientes de t ² en ambos lados:

\displaystyle {Q(a)=2Q(a,1)^{2}-Q(a^{2},1)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}

Si se establece b = 1 en el segundo axioma, se obtiene:

\displaystyle {Q(a)L(a)=L(a)Q(a),}

y por lo tanto L ( a ) debe conmutar con L ( a ² ).

identidad de cambio

En un álgebra de Jordan lineal unitaria, la identidad de desplazamiento afirma que

$\displaystyle {R(Q(a)b,b)=R(a,Q(b)a).}$

Siguiendo a Meyberg (1972) , se puede establecer como una consecuencia directa de las formas polarizadas de la identidad fundamental y la identidad de conmutación u homotopía. También es una consecuencia del teorema de Macdonald, ya que es una identidad de operador que involucra solo dos variables. ^{[ 13 ]}

Para un álgebra de Jordan lineal unitaria A, la representación cuadrática viene dada por

\displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}),}

por lo que el mapeo bilineal simétrico correspondiente es

\displaystyle {Q(a,b)=L(a)L(b)+L(b)L(a)-L(ab).}

Los demás operadores vienen dados por la fórmula

\displaystyle {{\frac {1}{2}}R(a,b)=L(a)L(b)-L(b)L(a)+L(ab),}

de modo que

\displaystyle {Q(a,b)=2L(a)L(b)-{\frac {1}{2}}R(a,b).}

La identidad de conmutación u homotopía

\displaystyle {R(a,b)Q(a)=Q(a)R(b,a)=2Q(Q(a)b,a),}

puede estar polarizado en a . Reemplazando a por a + t 1 y tomando el coeficiente de t se obtiene

$\displaystyle {L(b)Q(a)+R(a,b)L(a)=Q(a)L(b)+L(a)R(b,a)=L(Q(a)b)+2Q(ab,a).}$

La identidad fundamental

\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a)}

puede estar polarizado en a . Reemplazando a por a + t 1 y tomando los coeficientes de t se obtiene (intercambiando a y b )

$\displaystyle {2Q(ab,a)=Q(a)L(b)+L(b)Q(a).}$

La combinación de las dos identidades mostradas anteriormente produce

$\displaystyle {L(Q(a)b)+L(b)Q(a)=L(a)R(b,a),\,\,\,\,L(Q(b)a)+Q(b)L(a)=R(b,a)L(b).}$

Sustituyendo a por a + t 1 en la identidad fundamental y tomando el coeficiente de t ² se obtiene

\displaystyle {2Q(Q(a)b,b)-L(a)Q(b)L(a)=Q(a)Q(b)+Q(b)Q(a)-Q(ab).}

Dado que el lado derecho es simétrico, esto implica

$\displaystyle {2Q(Q(a)b,b)-2Q(Q(b)a,a)=L(a)Q(b)L(a)-L(b)Q(a)L(b).}$

Estas identidades pueden utilizarse para demostrar la identidad del cambio:

\displaystyle {R(Q(a)b,b)=R(a,Q(b)a).}

Es equivalente a la identidad

\displaystyle {2L(Q(a)b)L(b)-Q(Q(a)b,b)=2L(a)L(Q(b)a)-Q(a,Q(b)a).}

Según la identidad mostrada anteriormente, esto es equivalente a

\displaystyle {[L(Q(a)b)+L(b)Q(a)]L(b)=L(a)[L(Q(b)a)+Q(b)L(a)].}

Por otro lado, los términos entre corchetes se pueden simplificar mediante la tercera identidad mostrada. Esto implica que ambos lados son iguales a $½ L (a) R (b, a) L (b)$ .

Para álgebras de Jordan unitarias de dimensión finita, la identidad de desplazamiento se puede ver más directamente usando mutaciones . ^{[ 14 ]} Sean a y b invertibles, y sea $L b (a)= R (a, b)$ la multiplicación de Jordan en A ^b . Entonces $Q (b) L b (a) = L a (b) Q (b)$ . Además, $Q (b) Q b (a) = Q (b) Q (a) Q (b) = Q a (b) Q (b)$ . Por otro lado, $Q b (a)=2 L b (a) 2 - L b (a 2, b)$ y de manera similar con a y b intercambiados. Por lo tanto

\displaystyle {L_{a}(b^{2,a})Q(b)=Q(b)L_{b}(a^{2,b}).}

De este modo

\displaystyle {R(Q(b)a,a)Q(b)=Q(b)R(Q(a)b,b)=R(b,Q(a)b)Q(b),}

Por lo tanto, la identidad de desplazamiento se obtiene cancelando Q ( b ). Un argumento de densidad permite prescindir de la suposición de invertibilidad.

Jordan se empareja

Un álgebra de Jordan lineal unitaria da lugar a una aplicación cuadrática Q y una aplicación asociada R que satisfacen la identidad fundamental, la identidad de conmutación de homotopía y la identidad de desplazamiento. Un par de Jordan $(V +, V -)$ consta de dos espacios vectoriales $V \pm$ y dos aplicaciones cuadráticas $Q \pm$ de $V \pm$ a $V \mp$ . Estas determinan aplicaciones bilineales $R \pm$ de $V \pm \times V \mp$ a $V \pm$ mediante la fórmula $R (a, b) c = 2 Q (a, c) b$ donde $2 Q (a, c) = Q (a + c) - Q (a) - Q (c)$ . Omitiendo los subíndices ±, estas deben satisfacer ^{[ 15 ]}

la identidad fundamental

\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a),}

la identidad de conmutación u homotopía

\displaystyle {R(a,b)Q(a)=Q(a)R(b,a)=2Q(Q(a)b,a),}

y la identidad del cambio

\displaystyle {R(Q(a)b,b)=R(a,Q(b)a).}

Un álgebra de Jordan unitaria A define un par de Jordan tomando V _± = A con sus mapas de estructura cuadrática Q y R.

Véase también

Notas

1 2 Racine 1973 , pág. 1
1 2 3 4 Racine 1973 , pág. 2
↑ Jacobson 1968 , pág. 153
↑ Jacobson 1968 , pág. 154
↑ Racine 1973 , pág. 3
↑ Jacobson 1968 , pág. 35
↑ Racine 1973 , págs. 5–6
↑
Ver:
- Koecher 1999 , págs. 72–76
- Faraut y Koranyi 1994 , págs. 32-34
↑
Ver:
- Jacobson 1968 , págs. 40–47, 52
↑
Ver:
- Koecher 1999
- Faraut y Koranyi 1994 , págs. 32-35
↑ Meyberg 1972 , págs. 66–67
↑ Meyberg 1972
↑
Ver:
- Meyberg 1972 , págs. 85–86
- McCrimmon 2004 , págs. 202–203
↑ Koecher 1999
↑ Loos 2006

Referencias

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Racine, Michel L. (1973), La aritmética de las álgebras de Jordan cuadráticas , Memoirs of the American Mathematical Society, vol. 136, American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1836-7, Zbl 0348.17009

Lecturas adicionales

Faulkner, John R. (1970), Octonion Planes Defined by Quadratic Jordan Algebras , Memoirs of the American Mathematical Society, vol. 104, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-5888-2, Zbl 0206.23301

[Rac1-1] 1 2 Racine 1973 , pág. 1

[Rac2-2] 1 2 3 4 Racine 1973 , pág. 2

[Jac153-3] Jacobson 1968 , pág. 153

[Jac154-4] Jacobson 1968 , pág. 154

[Rac3-5] Racine 1973 , pág. 3

[6] Jacobson 1968 , pág. 35

[7] Racine 1973 , págs. 5–6

[8] Ver:
Koecher 1999 , págs. 72–76
Faraut y Koranyi 1994 , págs. 32-34

[mwA-w] Koecher 1999 , págs. 72–76

[mwA_E] Faraut y Koranyi 1994 , págs. 32-34

[9] Ver:
Jacobson 1968 , págs. 40–47, 52

[mwA_s] Jacobson 1968 , págs. 40–47, 52

[10] Ver:
Koecher 1999
Faraut y Koranyi 1994 , págs. 32-35

[mwBAQ] Koecher 1999

[mwBAY] Faraut y Koranyi 1994 , págs. 32-35

[11] Meyberg 1972 , págs. 66–67

[12] Meyberg 1972

[13] Ver:
Meyberg 1972 , págs. 85–86
McCrimmon 2004 , págs. 202–203

[mwBBs] Meyberg 1972 , págs. 85–86

[mwBCA] McCrimmon 2004 , págs. 202–203

[14] Koecher 1999

[15] Loos 2006

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simplemente

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