Efecto Josephson

El efecto Josephson es un fenómeno que ocurre cuando dos superconductores se colocan cerca, con alguna barrera o restricción entre ellos. El efecto recibe su nombre del físico británico Brian Josephson , quien predijo en 1962 las relaciones matemáticas entre la corriente y el voltaje a través del enlace débil. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Es un ejemplo de fenómeno cuántico macroscópico , donde los efectos de la mecánica cuántica son observables a escala ordinaria, en lugar de atómica. El efecto Josephson tiene muchas aplicaciones prácticas porque muestra una relación precisa entre diferentes medidas físicas, como el voltaje y la frecuencia, lo que facilita mediciones de alta precisión.

El efecto Josephson produce una corriente, conocida como supercorriente , que fluye continuamente sin aplicar voltaje alguno a través de un dispositivo denominado unión Josephson (JJ). Esta unión consta de dos o más superconductores acoplados por un enlace débil. El enlace débil puede ser una delgada barrera aislante (conocida como unión superconductor-aislante-superconductor , o SIS), una sección corta de metal no superconductor (SNS) o una constricción física que debilita la superconductividad en el punto de contacto (ScS).

Las uniones Josephson tienen aplicaciones importantes en circuitos cuánticos , como SQUIDs , cúbits superconductores y electrónica digital RSFQ . El estándar NIST para un voltio se logra mediante una matriz de 20 208 uniones Josephson en serie . ^{[ 3 ]}

El efecto Josephson de CC se había observado en experimentos anteriores a 1962, ^{[ 5 ]} pero se había atribuido a "supercortocircuitos" o rupturas en la barrera aislante que conducían a la conducción directa de electrones entre los superconductores.

En 1962, Brian Josephson se interesó por el efecto túnel superconductor. Tenía entonces 23 años y era estudiante de segundo año de posgrado con Brian Pippard en el Laboratorio Mond de la Universidad de Cambridge . Ese año, Josephson cursó una asignatura de teoría de muchos cuerpos con Philip W. Anderson , un empleado de Bell Labs que disfrutaba de un año sabático durante el curso académico 1961-1962. El curso le introdujo en la idea de la ruptura de simetría en los superconductores, y quedó fascinado por ella, preguntándose si sería posible observarla experimentalmente. Josephson estudió los experimentos de Ivar Giaever y Hans Meissner, así como el trabajo teórico de Robert Parmenter. Pippard creía inicialmente que el efecto túnel era posible, pero que sería demasiado pequeño para ser perceptible; sin embargo, Josephson no estuvo de acuerdo, especialmente después de que Anderson le presentara una versión preliminar de "Superconductive Tunneling" de Marvin L. Cohen , Leopoldo Máximo Falicov y James Charles Phillips sobre el sistema superconductor-barrera-metal normal. ^{[ 6 ] [ 7 ] : 223–224}

Josephson y sus colegas inicialmente dudaron de la validez de los cálculos de Josephson. Anderson recordó más tarde:

Todos nosotros —Josephson, Pippard y yo, así como otras personas que también solían sentarse a tomar el té en Mond y participaban en las discusiones de las semanas siguientes— estábamos muy desconcertados por el significado del hecho de que la corriente dependiera de la fase.

Después de una revisión más exhaustiva, concluyeron que los resultados de Josephson eran válidos. Josephson luego envió "Posibles nuevos efectos en el efecto túnel superconductor" a Physics Letters en junio de 1962 ^{[ 1 ]} . Se eligió la revista más reciente Physics Letters en lugar de la más consolidada Physical Review Letters debido a la incertidumbre de esta última sobre los resultados. John Bardeen , para entonces ya ganador del Premio Nobel, se mostró inicialmente escéptico públicamente de la teoría de Josephson en 1962, pero terminó aceptándola después de nuevos experimentos y aclaraciones teóricas. ^{[ 7 ] : 222–227} Véase también: John Bardeen §  Controversia del efecto Josephson .

En enero de 1963, Anderson y su colega de Bell Labs, John Rowell, presentaron el primer artículo a Physical Review Letters para reivindicar la observación experimental del efecto Josephson: "Observación probable del efecto túnel superconductor de Josephson". ^{[ 8 ]} A estos autores se les concedieron patentes ^{[ 9 ]} sobre los efectos, las cuales nunca se hicieron efectivas, pero tampoco se cuestionaron.

Antes de la predicción de Josephson, solo se sabía que los electrones individuales (es decir, no apareados) podían fluir a través de una barrera aislante mediante el efecto túnel cuántico . Josephson fue el primero en predecir el efecto túnel de los pares de Cooper superconductores . Por este trabajo, Josephson recibió el Premio Nobel de Física en 1973. ^{[ 10 ]} Bardeen fue uno de los nominadores. ^{[ 7 ] : 230}

El físico británico John Clarke , también alumno de Pippard, afirma que su trabajo estuvo fuertemente inspirado por Brian Josephson. ^{[ 11 ]} En 1985, el equipo de John Clarke , que incluía a Michel Devoret y John M. Martinis, enfrió una unión Josephson por debajo de 50 mK y demostró su comportamiento cuántico macroscópico descrito por una sola fase. ^{[ 12 ]} Utilizando pulsos de microondas, demostraron que, con polarización cero, la energía estaba cuantizada . ^{[ 12 ]} Este descubrimiento se utilizó posteriormente para desarrollar cúbits superconductores . Clarke, Devoret y Martinis recibieron el Premio Nobel de Física en 2025 por este descubrimiento. ^{[ 12 ]}

Los tipos de unión Josephson incluyen la unión Josephson φ (de la cual la unión Josephson π es un ejemplo especial), la unión Josephson larga y la unión túnel superconductora . Otros usos incluyen:

• Un "puente Dayem" es una unión Josephson de película delgada donde el enlace débil comprende un cable superconductor que mide unos pocos micrómetros o menos. ^{[ 13 ] [ 14 ]}
• El número de uniones Josephson es una variable indirecta de la complejidad de un circuito electrónico superconductor.
• Los SQUID , o dispositivos de interferencia cuántica superconductores, son magnetómetros muy sensibles que funcionan mediante el efecto Josephson.
• Los dispositivos de interferencia cuántica de helio superfluido ( SHeQUIDs ) son el análogo de helio superfluido de un dc-SQUID ^{[ 15 ].}
• En metrología de precisión , el efecto Josephson es una conversión reproducible entre frecuencia y voltaje . El patrón de voltaje Josephson toma la definición estándar de frecuencia del cesio y proporciona la representación estándar de un voltio.
• Los transistores de un solo electrón a menudo se fabrican con materiales superconductores y se denominan "transistores superconductores de un solo electrón". ^{[ 16 ]}
• La carga elemental se mide con mayor precisión en términos de la constante de Josephson y la constante de von Klitzing, que está relacionada con el efecto Hall cuántico.
• La electrónica digital RSFQ se basa en uniones Josephson en derivación. La conmutación de la unión emite un cuanto de flujo magnético.${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2e}}h}$Su presencia y ausencia representan los valores binarios 1 y 0.
• La computación cuántica superconductora utiliza uniones Josephson como elementos inductivos no lineales en cúbits , como en un cúbit transmon o de flujo , u otros esquemas donde la fase y la carga son variables conjugadas . ^{[ 17 ]}
• Los detectores de unión túnel superconductores se utilizan en cámaras superconductoras.

Una unión Josephson consiste en un material de barrera intercalado entre dos electrodos superconductores , donde la barrera actúa como un enlace débil entre los superconductores. Dependiendo de su naturaleza, este enlace débil puede ser una capa aislante, un metal normal o una constricción estrecha, dando lugar a diferentes clases de uniones Josephson (SIS, SNS o uniones de constricción). ^{[ 18 ]} A lo largo de los años, se ha explorado una amplia variedad de materiales tanto para los electrodos como para la barrera con el fin de optimizar el rendimiento de la unión para aplicaciones específicas. La selección de materiales en las uniones Josephson está regida por varios factores, incluyendo la pérdida dieléctrica , la estabilidad estructural y química , el comportamiento de envejecimiento, la temperatura de transición superconductora, la facilidad de fabricación, la uniformidad y rugosidad de la interfaz y la presencia de sistemas de dos niveles [TLS] . Entre los muchos sistemas de materiales investigados, las uniones Al|AlOx|Al basadas en aluminio se han consolidado como el estado del arte para muchas arquitecturas de cúbits superconductores debido a su reproducibilidad y baja pérdida de microondas. ^{[ 19 ]}

Materiales de barrera

Los materiales de barrera en las uniones Josephson se seleccionan principalmente para minimizar las pérdidas dieléctricas y, al mismo tiempo, proporcionar una interfaz de tunelización reproducible y bien controlada. Dado que estas capas suelen tener solo unos pocos nanómetros de espesor, su desorden estructural y densidad de defectos pueden influir notablemente en el rendimiento de la unión, predominando a menudo los sistemas de dos niveles (TLS) en los mecanismos de pérdida. El espesor de la barrera es particularmente crítico, ya que la corriente de tunelización depende exponencialmente de dicho espesor. ^{[ 25 ]}

El óxido de aluminio (AlOx) es la barrera de túnel más utilizada en los cúbits superconductores de última generación, formando la base de las uniones Josephson Al|AlOx|Al. El AlOx crece naturalmente como un óxido amorfo que contiene vacantes de oxígeno, las cuales contribuyen a la pérdida dieléctrica relacionada con TLS y la decoherencia del cúbit . ^{[ 25 ]} A pesar de esta limitación, el AlOx sigue siendo dominante debido a su crecimiento autolimitado sobre aluminio, lo que permite un control confiable del espesor de la barrera en el rango de 1 a 2 nm y un ajuste reproducible de la resistencia de la unión. Los intentos de incorporar AlOx en uniones basadas en Nb se han visto limitados por la difusión de oxígeno en Nb, lo que lleva a la formación de NbOx defectuoso en la interfaz y un aumento de la pérdida.

El óxido de tantalio (TaOx) ha atraído interés como material de barrera alternativo debido a su estabilidad química y compatibilidad con electrodos de tantalio y niobio. El TaOx puede crecer in situ sin romper el vacío y generalmente exhibe una menor densidad de defectos que el NbOx, lo que contribuye a reducir las pérdidas TLS. ^{[ 26 ] [ 22 ]} Estructuralmente, el TaOx consiste en fases amorfas o nanocristalinas derivadas del pentóxido de tantalio (Ta ₂ O ₅ ), que exhibe múltiples polimorfos cristalinos construidos a partir de poliedros TaO ₆ y TaO ₇ distorsionados . En dispositivos prácticos, las barreras de TaOx son típicamente amorfas con entornos de coordinación que varían localmente , y su resistividad relativamente alta limita las densidades de corriente alcanzables.

El óxido de niobio (NbOx) generalmente presenta un rendimiento deficiente como barrera de túnel en uniones Josephson debido a su química compleja y no estequiométrica, así como a su inhomogeneidad estructural. El óxido nativo sobre Nb es una mezcla de NbO, NbO₂ _{y Nb₂O₅} , _que corresponden a fases metálica , semiconductora y aislante , respectivamente. Esta coexistencia da lugar a propiedades de barrera no uniformes, incluyendo trayectorias de conducción filamentosas, poros y una baja reproducibilidad de la unión. A diferencia del AlOx, el NbOx no presenta un crecimiento autolimitado, y su espesor depende en gran medida de las condiciones ambientales y superficiales. Por lo tanto, las superficies de Nb oxidadas forman una pila de óxido heterogénea con una capa interfacial de NbO inevitable, lo que contribuye a un aumento de las pérdidas y una reducción de la coherencia en los dispositivos de cúbits superconductores. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

El óxido de circonio (ZrOx) ha surgido como un material de barrera prometedor debido a su alta afinidad por el oxígeno y su mayor estabilidad química en comparación con el AlOx. La fase termodinámicamente estable del _ZrO₂ a temperatura ambiente es monoclínica , aunque estudios recientes han demostrado que el ZrOx tetragonal cristalino puede estabilizarse en películas delgadas cultivadas mediante pulverización catódica a temperatura ambiente. Estas propiedades hacen del ZrOx un candidato atractivo para barreras de túnel diseñadas con una uniformidad estructural mejorada. ^{[ 29 ]}

Las barreras metálicas se utilizan en uniones Josephson superconductor-metal normal-superconductor (SNS), donde una fina capa de metal normal proporciona el enlace débil entre los superconductores. En dichas uniones, las correlaciones superconductoras se median a través del efecto de proximidad, y las reflexiones de Andreev desempeñan un papel fundamental en el transporte. Si bien se han explorado metales como el aluminio como barreras en uniones SNS basadas en Nb, la estabilidad de la interfaz y el control del espesor presentan desafíos importantes, lo que limita su uso en aplicaciones de cúbits de baja pérdida. ^{[ 22 ]}

El efecto Josephson se puede calcular utilizando las leyes de la mecánica cuántica. A la derecha se muestra un diagrama de una unión Josephson simple. Supongamos que el superconductor A tiene un parámetro de orden de Ginzburg-Landau.${\displaystyle \psi _{A}={\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}}}$y el superconductor B${\displaystyle \psi _{B}={\sqrt {n_{B}}}e^{i\phi _{B}}}$, que pueden interpretarse como las funciones de onda de los pares de Cooper en los dos superconductores. Si la diferencia de potencial eléctrico a través de la unión es${\displaystyle V}$, entonces la diferencia de energía entre los dos superconductores es${\displaystyle 2eV}$, ya que cada par de Cooper tiene el doble de carga que un electrón. Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger para este sistema cuántico de dos estados es: ^{[ 30 ]}

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}}\\{\sqrt {n_{B}}}e^{i\phi _{B}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}eV&K\\K&-eV\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}}\\{\sqrt {n_{B}}}e^{i\phi _{B}}\end{pmatrix}},}$$

donde la constante${\displaystyle K}$es una característica de la unión. Para resolver la ecuación anterior, primero calcule la derivada temporal del parámetro de orden en el superconductor A:

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}({\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}})={\dot {\sqrt {n_{A}}}}e^{i\phi _{A}}+{\sqrt {n_{A}}}(i{\dot {\phi }}_{A}e^{i\phi _{A}})=({\dot {\sqrt {n_{A}}}}+i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A})e^{i\phi _{A}},}$$

y por lo tanto la ecuación de Schrödinger da:

$${\displaystyle ({\dot {\sqrt {n_{A}}}}+i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A})e^{i\phi _{A}}={\frac {1}{i\hbar }}(eV{\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}}+K{\sqrt {n_{B}}}e^{i\phi _{B}}).}$$

La diferencia de fase de los parámetros de orden de Ginzburg-Landau a través de la unión se denomina fase de Josephson :

$${\displaystyle \varphi =\phi _{B}-\phi _{A}.}$$Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger se puede reescribir como:

$${\displaystyle {\dot {\sqrt {n_{A}}}}+i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A}={\frac {1}{i\hbar }}(eV{\sqrt {n_{A}}}+K{\sqrt {n_{B}}}e^{i\varphi }),}$$

y su ecuación conjugada compleja es:

$${\displaystyle {\dot {\sqrt {n_{A}}}}-i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A}={\frac {1}{-i\hbar }}(eV{\sqrt {n_{A}}}+K{\sqrt {n_{B}}}e^{-i\varphi }).}$$

Suma las dos ecuaciones conjugadas para eliminar${\displaystyle {\dot {\phi }}_{A}}$:

$${\displaystyle 2{\dot {\sqrt {n_{A}}}}={\frac {1}{i\hbar }}(K{\sqrt {n_{B}}}e^{i\varphi }-K{\sqrt {n_{B}}}e^{-i\varphi })={\frac {K{\sqrt {n_{B}}}}{\hbar }}\cdot 2\sin\varphi .}$$

Desde${\displaystyle {\dot {\sqrt {n_{A}}}}={\frac {{\dot {n}}_{A}}{2{\sqrt {n_{A}}}}}}$, tenemos:

$${\displaystyle {\dot {n}}_{A}={\frac {2K{\sqrt {n_{A}n_{B}}}}{\hbar }}\sin \varphi .}$$

Ahora, resta las dos ecuaciones conjugadas para eliminar${\displaystyle {\dot {\sqrt {n_{A}}}}}$:

$${\displaystyle 2i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A}={\frac {1}{i\hbar }}(2eV{\sqrt {n_{A}}}+K{\sqrt {n_{B}}}e^{i\varphi }+K{\sqrt {n_{B}}}e^{-i\varphi }),}$$

lo que da como resultado:

$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{A}=-{\frac {1}{\hbar }}(eV+K{\sqrt {\frac {n_{B}}{n_{A}}}}\cos \varphi ).}$$

De manera similar, para el superconductor B podemos deducir que:

$${\displaystyle {\dot {n}}_{B}=-{\frac {2K{\sqrt {n_{A}n_{B}}}}{\hbar }}\sin \varphi ,\,{\dot {\phi }}_{B}={\frac {1}{\hbar }}(eV-K{\sqrt {\frac {n_{A}}{n_{B}}}}\cos \varphi ).}$$

Observando que la evolución de la fase de Josephson es${\displaystyle {\dot {\varphi }}={\dot {\phi }}_{B}-{\dot {\phi }}_{A}}$y la derivada temporal de la densidad de portadores de carga${\displaystyle {\dot {n}}_{A}}$es proporcional a la corriente${\displaystyle I}$, cuando${\displaystyle n_{A}\approx n_{B}}$, la solución anterior produce las ecuaciones de Josephson : ^{[ 31 ]}

${\displaystyle I(t)=I_{c}\sin(\varphi (t))}$(1)

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {2eV(t)}{\hbar }}}$(2)

dónde${\displaystyle V(t)}$y${\displaystyle I(t)}$son el voltaje a través de y la corriente a través de la unión Josephson, y${\displaystyle I_{c}}$es un parámetro de la unión denominado corriente crítica . La ecuación (1) se denomina primera relación de Josephson o relación corriente-fase de enlace débil , y la ecuación (2) se denomina segunda relación de Josephson o ecuación de evolución de fase superconductora . La corriente crítica de la unión de Josephson depende de las propiedades de los superconductores y también puede verse afectada por factores ambientales como la temperatura y el campo magnético aplicado externamente.

La constante de Josephson se define como:

$${\displaystyle K_{J}={\frac {2e}{h}}\,,}$$

y su inverso es el cuanto de flujo magnético :

$${\displaystyle \Phi _{0}={\frac {h}{2e}}=2\pi {\frac {\hbar }{2e}}\,.}$$

La ecuación de evolución de la fase superconductora se puede reescribir como:

$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=2\pi [K_{J}V(t)]={\frac {2\pi }{\Phi _{0}}}V(t)\,.}$$

Si definimos:

$${\displaystyle \Phi =\Phi _{0}{\frac {\varphi }{2\pi }}\,,}$$

Entonces, el voltaje a través de la unión es:

$${\displaystyle V={\frac {\Phi _{0}}{2\pi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {d\Phi }{dt}}\,,}$$

Esto es muy similar a la ley de inducción de Faraday . Sin embargo, cabe destacar que este voltaje no proviene de la energía magnética, ya que no existe un campo magnético en los superconductores ; en cambio, proviene de la energía cinética de los portadores (es decir, los pares de Cooper). Este fenómeno también se conoce como inductancia cinética .

Existen tres efectos principales predichos por Josephson que se derivan directamente de sus ecuaciones:

Cuando la corriente y la fase de Josephson varían con el tiempo, la caída de tensión en la unión también variará en consecuencia. Como se muestra en la derivación a continuación, las relaciones de Josephson determinan que este comportamiento puede modelarse mediante una inductancia cinética denominada inductancia de Josephson. ^{[ 34 ]}

Reescribe las relaciones de Josephson como:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial I}{\partial \varphi }}&=I_{c}\cos \varphi ,\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}&={\frac {2\pi }{\Phi _{0}}}V.\end{aligned}}}$

Ahora, aplica la regla de la cadena para calcular la derivada temporal de la corriente:

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}={\frac {\partial I}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=I_{c}\cos \varphi \cdot {\frac {2\pi }{\Phi _{0}}}V,}$

Reorganice el resultado anterior en forma de la característica corriente-tensión de un inductor:

${\displaystyle V={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{c}\cos \varphi }}{\frac {\partial I}{\partial t}}=L(\varphi ){\frac {\partial I}{\partial t}}.}$

Esto da como resultado la expresión de la inductancia cinética en función de la fase de Josephson:

${\displaystyle L(\varphi )={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{c}\cos \varphi }}={\frac {L_{J}}{\cos \varphi }}.}$

Aquí,${\displaystyle L_{J}=L(0)={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{c}}}}$es un parámetro característico de la unión Josephson, denominado inductancia de Josephson.

Cabe destacar que, si bien el comportamiento cinético de la unión Josephson es similar al de un inductor, no existe un campo magnético asociado. Este comportamiento se deriva de la energía cinética de los portadores de carga, en lugar de la energía de un campo magnético.

Basándose en la similitud de la unión Josephson con un inductor no lineal, se puede calcular la energía almacenada en una unión Josephson cuando una supercorriente fluye a través de ella. ^{[ 35 ]}

La supercorriente que fluye a través de la unión está relacionada con la fase de Josephson mediante la relación corriente-fase (RCF):

${\displaystyle I=I_{c}\sin \varphi .}$

La ecuación de evolución de la fase superconductora es análoga a la ley de Faraday :

${\displaystyle V=\operatorname {d} \!\Phi /\operatorname {d} \!t\,.}$

Supongamos que en el momento${\displaystyle t_{1}}$, la fase de Josephson es${\displaystyle \varphi _{1}}$En un momento posterior${\displaystyle t_{2}}$, la fase de Josephson evolucionó a${\displaystyle \varphi _{2}}$El incremento de energía en la unión es igual al trabajo realizado sobre la misma:

${\displaystyle \Delta E=\int _{1}^{2}IV\operatorname {d} \!{t}=\int _{1}^{2}I\operatorname {d} \!\Phi =\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}I_{c}\sin \varphi \operatorname {d} \!\left(\Phi _{0}{\frac {\varphi }{2\pi }}\right)=-{\frac {\Phi _{0}I_{c}}{2\pi }}\cos \Delta \varphi \,.}$

Esto demuestra que el cambio de energía en la unión Josephson depende únicamente del estado inicial y final de la unión y no de la trayectoria . Por lo tanto, la energía almacenada en una unión Josephson es una función de estado , que se puede definir como:

${\displaystyle E(\varphi )=-{\frac {\Phi _{0}I_{c}}{2\pi }}\cos \varphi =-E_{J}\cos \varphi \,.}$

Aquí${\displaystyle E_{J}=|E(0)|={\frac {\Phi _{0}I_{c}}{2\pi }}}$es un parámetro característico de la unión Josephson, denominado energía Josephson. Está relacionado con la inductancia Josephson mediante${\displaystyle E_{J}=L_{J}I_{c}^{2}}$Una definición alternativa pero equivalente${\displaystyle E(\varphi )=E_{J}(1-\cos \varphi )}$También se utiliza con frecuencia.

Nuevamente, cabe señalar que un inductor de bobina magnética no lineal acumula energía potencial en su campo magnético cuando una corriente pasa a través de él; sin embargo, en el caso de una unión Josephson, no se crea ningún campo magnético por una supercorriente, sino que la energía almacenada proviene de la energía cinética de los portadores de carga.

El modelo de unión en derivación de capacitancia resistiva (RCSJ), ^{[ 36 ] [ 37 ]} o simplemente modelo de unión en derivación, incluye el efecto de la impedancia de CA de una unión Josephson real además de las dos relaciones básicas de Josephson mencionadas anteriormente.

Según el teorema de Thévenin , ^{[ 38 ]} la impedancia de CA de la unión se puede representar mediante un condensador y una resistencia en paralelo, ambos en paralelo ^{[ 39 ]} a la unión Josephson ideal. La expresión completa para la corriente de excitación${\displaystyle I_{\text{ext}}}$se convierte en:

${\displaystyle I_{\text{ext}}=C_{J}{\frac {\operatorname {d} \!V}{\operatorname {d} \!t}}+I_{c}\sin \varphi +{\frac {V}{R}},}$

donde el primer término es la corriente de desplazamiento con${\displaystyle C_{J}}$– capacitancia efectiva, y la tercera es corriente normal con${\displaystyle R}$– resistencia efectiva de la unión.

La profundidad de penetración de Josephson caracteriza la longitud típica en la que un campo magnético aplicado externamente penetra en la unión Josephson larga . Generalmente se denota como${\displaystyle \lambda _{J}}$y viene dada por la siguiente expresión (en SI):

${\displaystyle \lambda _{J}={\sqrt {\frac {\Phi _{0}}{2\pi \mu _{0}d'j_{c}}}},}$

dónde${\displaystyle \Phi _{0}}$es el cuanto de flujo magnético,${\displaystyle j_{c}}$es la densidad de supercorriente crítica (A/m ² ), y${\displaystyle d'}$caracteriza la inductancia de los electrodos superconductores ^{[ 40 ]}

${\displaystyle d'=d_{I}+\lambda _{1}\tanh \left({\frac {d_{1}}{2\lambda _{1}}}\right)+\lambda _{2}\tanh \left({\frac {d_{2}}{2\lambda _{2}}}\right),}$

dónde${\displaystyle d_{I}}$es el espesor de la barrera Josephson (generalmente aislante),${\displaystyle d_{1}}$y${\displaystyle d_{2}}$son los espesores de los electrodos superconductores y${\displaystyle \lambda _{1}}$y${\displaystyle \lambda _{2}}$son sus profundidades de penetración de London . La profundidad de penetración de Josephson suele oscilar entre unos pocos μm y varios mm si la densidad de corriente crítica es muy baja. ^{[ 41 ]}