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En geometría diferencial , una variedad G2 o variedad de Joyce es una variedad riemanniana de siete dimensiones con grupo de holonomía contenido en G2 . El grupoGRAMO2{\displaystyle G_{2}}es uno de los cinco grupos de Lie simples excepcionales . Puede describirse como el grupo de automorfismos de los octoniones , o equivalentemente, como un subgrupo propio del grupo ortogonal especial SO(7) que preserva un espinor en la representación espinorial de ocho dimensiones, o finalmente como el subgrupo del grupo lineal general GL(7) que preserva la 3-forma no degenerada.ϕ{\displaystyle \phi }, la forma asociativa. El dual de Hodge ,ψ=∗ϕ{\displaystyle \psi =*\phi }es entonces una 4-forma paralela, la forma coasociativa. Estas formas son calibraciones en el sentido de Reese Harvey y H. Blaine Lawson , [ 1 ] y por lo tanto definen clases especiales de subvariedades de 3 y 4 dimensiones.

Propiedades

TodoGRAMO2{\displaystyle G_{2}}Las variedades -manifold son variedades de espín orientables , Ricci-planas y de 7 dimensiones . Además, cualquier variedad compacta con holonomía igual aGRAMO2{\displaystyle G_{2}}tiene un grupo fundamental finito, una primera clase de Pontryagin no nula y números de Betti tercero y cuarto no nulos .

Historia

El hecho de queGRAMO2{\displaystyle G_{2}}La posibilidad de que el grupo de holonomía de ciertas 7-variedades riemannianas fuera sugerido por primera vez por el teorema de clasificación de Marcel Berger de 1955, y esto se mantuvo consistente con la demostración simplificada que Jim Simons dio posteriormente en 1962. Aunque aún no se había descubierto ningún ejemplo de tal variedad, Edmond Bonan hizo una valiosa contribución al demostrar que, si tal variedad existiera, poseería tanto una 3-forma paralela como una 4-forma paralela, y que necesariamente sería Ricci-plana. [ 2 ]

Los primeros ejemplos locales de 7-variedades con holonomíaGRAMO2{\displaystyle G_{2}}Finalmente fueron construidas alrededor de 1984 por Robert Bryant , y su prueba completa de su existencia apareció en los Annals en 1987. [ 3 ] A continuación, 7-variedades completas (pero aún no compactas) con holonomíaGRAMO2{\displaystyle G_{2}}fueron construidas por Bryant y Simon Salamon en 1989. [ 4 ] Las primeras 7-variedades compactas con holonomíaGRAMO2{\displaystyle G_{2}}Fueron construidos por Dominic Joyce en 1994. CompactosGRAMO2{\displaystyle G_{2}}Por lo tanto, las variedades se conocen a veces como "variedades de Joyce", especialmente en la literatura de física. [ 5 ]

En 2015, una nueva construcción de compactoGRAMO2{\displaystyle G_{2}}Las variedades, gracias a Alessio Corti , Mark Haskins, Johannes Nordstrőm y Tommaso Pacini, combinaron una idea de pegado sugerida por Simon Donaldson con nuevas técnicas algebraico-geométricas y analíticas para construir variedades de Calabi-Yau con extremos cilíndricos, lo que dio como resultado decenas de miles de tipos de difeomorfismos de nuevos ejemplos. [ 6 ]

Conexiones con la física

Estas variedades son importantes en la teoría de cuerdas . Rompen la supersimetría original a 1/8 de la cantidad original. Por ejemplo, la teoría M compactificada en unGRAMO2{\displaystyle G_{2}}La variedad conduce a una teoría realista de cuatro dimensiones (11-7=4) con supersimetría N=1. La supergravedad efectiva de baja energía resultante contiene un único supermultiplete de supergravedad , un número de supermultipletes quirales igual al tercer número de Betti de laGRAMO2{\displaystyle G_{2}}variedad y un número de supermultipletes vectoriales U(1) igual al segundo número de Betti.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Harvey, Reese; Lawson, H. Blaine (1982), "Geometrías calibradas", Acta Mathematica , 148 : 47–157 , doi : 10.1007/BF02392726 , MR 0666108 .
  2. ^ Bonan, Edmond (1966), "Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin(7)", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 262 : 127– 129.
  3. ↑ Bryant, Robert L. (1987), "Métricas con holonomía excepcional", Annals of Mathematics , 126 (2): 525– 576, doi : 10.2307/1971360 , JSTOR 1971360 .
  4. ↑ Bryant, Robert L. ; Salamon, Simon M. (1989), "Sobre la construcción de algunas métricas completas con holonomía excepcional", Duke Mathematical Journal , 58 (3): 829– 850, doi : 10.1215/s0012-7094-89-05839-0 , MR 1016448 .
  5. ↑ Joyce, Dominic D. (2000), Compact Manifolds with Special Holonomy , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press , ISBN 0-19-850601-5.
  6. ↑ Corti, Alessio ; Haskins, Mark; Nordström, Johannes; Pacini, Tommaso (2015), " G 2 -variedades y subvariedades asociativas a través de 3-variedades semi-Fano" (PDF) , Duke Mathematical Journal , 164 (10): 1971–2092 , doi : 10.1215/00127094-3120743 , S2CID 119141666 

Lecturas adicionales

  • Becker, Katrin; Becker, Melanie ; Schwarz, John H. (2007), "Variedades con G 2 y holonomía Spin(7)", Teoría de cuerdas y teoría M  : una introducción moderna , Cambridge University Press, pp. 433–455 , ISBN  978-0-521-86069-7.
  • Fernández, M.; Gray, A. (1982), "Variedades riemannianas con grupo de estructura G 2 ", Ann. Mat. Pura Appl. , 32 : 19– 845, doi : 10.1007/BF01760975 , S2CID 123137620 .
  • Karigiannis, Spiro (2011), "¿Qué es... una variedad G2 ?" (PDF) , AMS Notices , 58 ( 4): 580–581.