Supermultiplete

Un supercampo (anti)quiral es un supermultiplete de${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$supersimetría.

En cuatro dimensiones, el mínimo${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$La supersimetría puede escribirse utilizando la noción de superespacio . El superespacio contiene las coordenadas espacio-temporales usuales.${\displaystyle x^{\mu }}$,${\displaystyle \mu =0,\ldots ,3}$y cuatro coordenadas fermiónicas adicionales${\displaystyle \theta _{\alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}}$con${\displaystyle \alpha ,{\dot {\alpha }}=1,2}$, transformándose como un espinor de dos componentes (Weyl) y su conjugado.

En${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$Supersimetría , un supercampo quiral es una función sobre el superespacio quiral . Existe una proyección del superespacio (completo) al superespacio quiral. Por lo tanto, una función sobre el superespacio quiral puede ser proyectada de vuelta al superespacio completo. Tal función${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$satisface la restricción covariante${\displaystyle {\overline {D}}\Phi =0}$, dónde${\displaystyle {\bar {D}}}$es la derivada covariante, dada en notación de índice como

${\displaystyle {\bar {D}}_{\dot {\alpha }}=-{\bar {\partial }}_{\dot {\alpha }}-i\theta ^{\alpha }\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }\partial _{\mu }.}$

Un supercampo quiral${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$luego se puede expandir como

${\displaystyle \Phi (y,\theta )=\phi (y)+{\sqrt {2}}\theta \psi (y)+\theta ^{2}F(y),}$

dónde${\displaystyle y^{\mu }=x^{\mu }+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}}$El supercampo es independiente de las "coordenadas de espín conjugadas".${\displaystyle {\bar {\theta }}}$en el sentido de que depende de${\displaystyle {\bar {\theta }}}$solo a través de${\displaystyle y^{\mu }}$Se puede comprobar que${\displaystyle {\bar {D}}_{\dot {\alpha }}y^{\mu }=0.}$

La expansión tiene la interpretación de que${\displaystyle \phi }$es un campo escalar complejo,${\displaystyle \psi }$es un espinor de Weyl. También existe el campo escalar complejo auxiliar.${\displaystyle F}$, llamado${\displaystyle F}$Por convención: este es el término F , que desempeña un papel importante en algunas teorías.

El campo puede entonces expresarse en términos de las coordenadas originales.${\displaystyle (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$sustituyendo la expresión por${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+{\sqrt {2}}\theta \psi (x)+\theta ^{2}F(x)+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}\partial _{\mu }\phi (x)-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\theta ^{2}\partial _{\mu }\psi (x)\sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}-{\frac {1}{4}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}\square \phi (x).}$

El supercampo vectorial es un supermultiplete de${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$supersimetría.

Un supercampo vectorial (también conocido como supercampo real) es una función${\displaystyle V(x,\theta ,{\bar {\theta }})}$que satisface la condición de realidad${\displaystyle V=V^{\daga }}$Dicho campo admite la expansión

${\displaystyle V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}A_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}+{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right).}$

Los campos constituyentes son

• Dos campos escalares reales${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$
• Un campo escalar complejo${\displaystyle M+iN}$
• Dos campos espinoriales de Weyl${\displaystyle \chi _{\alpha }}$y${\displaystyle \lambda ^{\alpha }}$
• Un campo vectorial real ( campo de gauge )${\displaystyle A_{\mu }}$

Sus propiedades de transformación y sus usos se analizan con más detalle en la teoría de gauge supersimétrica .

Utilizando transformaciones de calibre, los campos${\displaystyle C,\chi }$y${\displaystyle M+iN}$se puede establecer a cero. Esto se conoce como calibre de Wess-Zumino . En este calibre, la expansión adopta una forma mucho más simple.

${\displaystyle V_{\text{WZ}}=\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}A_{\mu }+\theta ^{2}{\bar {\theta }}{\bar {\lambda }}+{\bar {\theta }}^{2}\theta \lambda +{\frac {1}{2}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D.}$

Entonces${\displaystyle \lambda }$es el supersocio de${\displaystyle A_{\mu }}$, mientras${\displaystyle D}$es un campo escalar auxiliar. Convencionalmente se le llama${\displaystyle D}$y se conoce como el término D.

El${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$vector o multiplete quiral${\displaystyle \Psi }$contiene un campo de calibre${\displaystyle A_{\mu }}$, dos fermiones de Weyl${\displaystyle \lambda ,\psi }$y un escalar${\displaystyle \phi }$(que también se transforman en la representación adjunta de un grupo de calibre ). Estos también pueden organizarse en un par de${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$multipletes, un${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$multiplete vectorial${\displaystyle W=(A_{\mu },\lambda )}$y multiplete quiral${\displaystyle \Phi =(\phi ,\psi )}$Dicho multiplete puede utilizarse para definir la teoría de Seiberg-Witten de forma concisa.

El${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$Un hipermultiplete o multiplete escalar consta de dos fermiones de Weyl y dos escalares complejos, o dos${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$multipletes quirales.

El${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$El multiplete vectorial contiene un campo de gauge, cuatro fermiones de Weyl, seis escalares y conjugados CPT . Esto aparece en la teoría supersimétrica de Yang-Mills N = 4 .