Lista de teselaciones k-uniformes

Un teselado k -uniforme es un teselado de teselados del plano mediante polígonos regulares convexos , conectados arista con arista, con k tipos de vértices. El teselado 1-uniforme incluye 3 teselados regulares y 8 semirregulares. Un teselado 1-uniforme se puede definir por su configuración de vértices . Los teselados k -uniformes de orden superior se enumeran por su número de vértices, pero generalmente no se identifican de forma unívoca de esta manera.

Se han enumerado las listas completas de teselaciones uniformes de orden k hasta k = 6. Hay 20 teselaciones uniformes de orden 2, 61 de orden 3, 151 de orden 4, 332 de orden 5 y 673 de orden 6. Este artículo presenta todas las soluciones hasta k = 5.

Otros sistemas de teselado de polígonos regulares que no están unidos borde con borde permiten polígonos de diferentes tamaños y posiciones de contacto que cambian continuamente.

Estos recubrimientos periódicos de polígonos convexos pueden clasificarse según el número de órbitas de vértices, aristas y teselas. Si hay k órbitas de vértices, un recubrimiento se conoce como k -uniforme o k - isogonal ; si hay t órbitas de teselas, como t - isoédrico ; si hay e órbitas de aristas, como e - isotoxal .

Los recubrimientos k -uniformes con las mismas figuras de vértices pueden identificarse además por su simetría de grupo de papel tapiz .

Los teselados 1-uniformes incluyen 3 teselados regulares y 8 semirregulares, con 2 o más tipos de caras de polígonos regulares. Hay 20 teselados 2-uniformes, 61 teselados 3-uniformes, 151 teselados 4-uniformes, 332 teselados 5-uniformes y 673 teselados 6-uniformes. Cada uno se puede agrupar por el número m de figuras de vértice distintas, que también se denominan teselados m- arquimedianos . ^{[ 1 ]}

Finalmente, si el número de tipos de vértices es igual a la uniformidad ( m = k a continuación), entonces se dice que el teselado es de Krotenheerdt . En general, la uniformidad es mayor o igual que el número de tipos de vértices ( m ≥ k ), ya que los diferentes tipos de vértices necesariamente tienen órbitas diferentes, pero no al revés. Si establecemos m = n = k , hay 11 teselados de este tipo para n = 1; 20 teselados de este tipo para n = 2; 39 teselados de este tipo para n = 3; 33 teselados de este tipo para n = 4; 15 teselados de este tipo para n = 5; 10 teselados de este tipo para n = 6; y 7 teselados de este tipo para n = 7.

Se dice que un teselado es regular si el grupo de simetría del teselado actúa transitivamente sobre sus banderas , donde una bandera es una terna formada por un vértice incidente , una arista y una tesela del teselado. Esto significa que, para cada par de banderas, existe una operación de simetría que mapea la primera bandera a la segunda. Esto equivale a que el teselado sea un teselado de arista a arista mediante polígonos regulares congruentes . Debe haber seis triángulos equiláteros , cuatro cuadrados o tres hexágonos regulares en un vértice, lo que da como resultado las tres teselaciones regulares.

La transitividad de vértices significa que para cada par de vértices existe una operación de simetría que mapea el primer vértice al segundo. ^{[ 4 ]}

Si se relaja el requisito de transitividad de banderas a transitividad de vértices, manteniendo la condición de que el teselado sea de borde a borde, existen ocho teselados adicionales posibles, conocidos como teselados arquimedianos , uniformes o semirregulares . Cabe destacar que existen dos formas de imagen especular (enantiomórficas o quirales ) del teselado 3 ⁴ .6 (hexagonal truncado), de las cuales solo una se muestra en la siguiente tabla. Todos los demás teselados regulares y semirregulares son aquirales.

Grünbaum y Shephard distinguen entre la descripción de estos recubrimientos como arquimedianos , cuando se refiere únicamente a la propiedad local de que la disposición de las teselas alrededor de cada vértice sea la misma, y ​​la descripción como uniformes , cuando se refiere a la propiedad global de transitividad de vértices. Si bien ambos tipos de recubrimientos dan como resultado el mismo conjunto de recubrimientos en el plano, en otros espacios existen recubrimientos arquimedianos que no son uniformes.

Se han enumerado hasta 6 teselaciones k -uniformes. Hay 673 teselaciones 6-uniformes del plano euclidiano. La búsqueda de Brian Galebach reprodujo la lista de Krotenheerdt de 10 teselaciones 6-uniformes con 6 tipos de vértices distintos, además de encontrar 92 de ellas con 5 tipos de vértices, 187 de ellas con 4 tipos de vértices, 284 de ellas con 3 tipos de vértices y 100 con 2 tipos de vértices.

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Enlaces euclidianos y de teselado general:

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