Conjunto de kakeya

En matemáticas , un conjunto de Kakeya , o conjunto de Besicovitch , es un conjunto de puntos en el espacio euclidiano que contiene un segmento de línea unitario en cada dirección. Por ejemplo, un disco de radio 1/2 en el plano euclidiano , o una bola de radio 1/2 en el espacio tridimensional, forman un conjunto de Kakeya. Gran parte de la investigación en esta área ha estudiado el problema de cuán pequeños pueden ser estos conjuntos. Besicovitch demostró que existen conjuntos de Besicovitch de medida cero .

Un conjunto de agujas de Kakeya (a veces también conocido como conjunto de Kakeya) es un conjunto (de Besicovitch) en el plano con una propiedad más fuerte, que es que un segmento de línea unitario puede rotarse continuamente 180 grados dentro de él, volviendo a su posición original con orientación invertida. Nuevamente, el disco de radio 1/2 es un ejemplo de un conjunto de agujas de Kakeya.

El problema de la aguja de Kakeya plantea la cuestión de si existe un área mínima de una región del plano en la que una aguja de longitud unitaria pueda girar 360°. Esta cuestión fue planteada por primera vez, para regiones convexas , por Sōichi Kakeya  (1917). El área mínima para conjuntos convexos se logra mediante un triángulo equilátero de altura 1 y área 1/ √ 3 , como demostró Pál . ^[1]${\estilo de visualización D}$

Kakeya parece haber sugerido que el conjunto de Kakeya de área mínima, sin la restricción de convexidad, tendría forma de deltoide de tres puntas . Sin embargo, esto es falso; existen conjuntos de Kakeya no convexos más pequeños. ${\estilo de visualización D}$

Besicovitch fue capaz de demostrar que no existe un límite inferior > 0 para el área de una región de este tipo en la que se puede girar una aguja de longitud unitaria. Es decir, para cada , existe una región de área dentro de la cual la aguja puede moverse a través de un movimiento continuo que la hace girar 360 grados completos. ^[3] Esto se basó en un trabajo anterior suyo, sobre conjuntos planos que contienen un segmento unitario en cada orientación. Un conjunto de este tipo ahora se llama conjunto de Besicovitch . El trabajo de Besicovitch que mostraba que un conjunto de este tipo podía tener una medida arbitrariamente pequeña fue de 1919. Es posible que los analistas hayan considerado el problema antes de eso. ${\estilo de visualización D}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\estilo de visualización \varepsilon}$

Un método para construir un conjunto de Besicovitch (ver la figura para las ilustraciones correspondientes) se conoce como "árbol de Perron" en honor a Oskar Perron , quien fue capaz de simplificar la construcción original de Besicovitch. ^[4] La construcción precisa y los límites numéricos se dan en la divulgación de Besicovitch. ^[2]

La primera observación que hay que hacer es que la aguja puede moverse en línea recta tanto como quiera sin barrer ninguna zona. Esto se debe a que la aguja es un segmento de línea de ancho cero. El segundo truco de Pál , conocido como Pál joins ^[5] describe cómo mover la aguja entre dos ubicaciones cualesquiera que sean paralelas mientras barre un área despreciable. La aguja seguirá la forma de una "N". Se mueve desde la primera ubicación a cierta distancia hacia la izquierda de la "N", barre el ángulo hasta la diagonal media, se mueve hacia abajo por la diagonal, barre el segundo ángulo y luego se mueve hacia arriba por el lado derecho paralelo de la "N" hasta que llega a la segunda ubicación requerida. Las únicas regiones de área no cero barridas son los dos triángulos de altura uno y el ángulo en la parte superior de la "N". El área barrida es proporcional a este ángulo que es proporcional a . ${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización 1/r}$

La construcción comienza con un triángulo cualquiera con una altura de 1 y un ángulo considerable en la parte superior por el que la aguja pueda barrer fácilmente. El objetivo es realizar muchas operaciones en este triángulo para reducir su área, manteniendo las mismas direcciones por las que la aguja puede barrer. Primero, considere dividir el triángulo en dos y trasladar las piezas una sobre la otra de modo que sus bases se superpongan de manera que se minimice el área total. La aguja puede barrer en las mismas direcciones barriendo las direcciones dadas por el primer triángulo, saltando al segundo y luego barriendo las direcciones dadas por el segundo. La aguja puede saltar triángulos utilizando la técnica de la "N" porque las dos líneas en las que se cortó el triángulo original son paralelas.

Ahora, supongamos que dividimos nuestro triángulo en 2 ⁿ subtriángulos. La figura muestra ocho. Para cada par consecutivo de triángulos, realiza la misma operación de superposición que describimos antes para obtener la mitad de las nuevas formas, cada una compuesta por dos triángulos superpuestos. A continuación, superpón pares consecutivos de estas nuevas formas desplazándolas de modo que sus bases se superpongan de manera que se minimice el área total. Repite esto n veces hasta que solo haya una forma. Nuevamente, la aguja puede barrer las mismas direcciones barriendo las de cada uno de los 2 ⁿ subtriángulos en orden de su dirección. La aguja puede saltar triángulos consecutivos utilizando la técnica "N" porque las dos líneas en las que se cortaron estos triángulos son paralelas.

Lo que queda es calcular el área de la forma final. La prueba es demasiado difícil de presentar aquí. En su lugar, simplemente argumentaremos cómo podrían ir los números. Mirando la figura, uno ve que los 2 ⁿ subtriángulos se superponen mucho. Todos ellos se superponen en la parte inferior, la mitad de ellos en la parte inferior de la rama izquierda, una cuarta parte de ellos en la parte inferior de la rama izquierda, y así sucesivamente. Supongamos que el área de cada forma creada con i operaciones de fusión de 2 ⁱ subtriángulos está limitada por A _i . Antes de fusionar dos de estas formas, tienen un área limitada por 2 A _i . Luego movemos las dos formas juntas de la manera que se superpongan tanto como sea posible. En el peor de los casos, estas dos regiones son dos rectángulos de 1 por ε perpendiculares entre sí de modo que se superponen en un área de solo ε ² . Pero las dos formas que hemos construido, si son largas y delgadas, apuntan en gran parte en la misma dirección porque están hechas de grupos consecutivos de subtriángulos. El ejercicio manual indica que se superponen al menos en un 1% de su área. Entonces, el área fusionada estaría limitada por A _i+1 = 1,99 A _i . El área del triángulo original está limitada por 1. Por lo tanto, el área de cada subtriángulo está limitada por A ₀ = 2 ^-n y la forma final tiene un área limitada por A _n = 1,99 ⁿ × 2 ^-n . En realidad, una suma cuidadosa de todas las áreas que no se superponen da como resultado que el área de la región final es mucho mayor, es decir, 1/n . A medida que n crece, esta área se reduce a cero. Se puede crear un conjunto de Besicovitch combinando seis rotaciones de un árbol de Perron creado a partir de un triángulo equilátero. Se puede hacer una construcción similar con paralelogramos.

Existen otros métodos para construir conjuntos de Besicovitch de medida cero además del método de "brotación". Por ejemplo, Kahane utiliza conjuntos de Cantor para construir un conjunto de Besicovitch de medida cero en el plano bidimensional. ^[6]

En 1941, HJ Van Alphen ^[7] demostró que hay conjuntos de agujas de Kakeya arbitrarios pequeños dentro de un círculo con radio 2 + ε (ε arbitrario > 0). En 1965 se encontraron conjuntos de agujas de Kakeya simplemente conexos con un área menor que el deltoides. Melvin Bloom e IJ Schoenberg presentaron de forma independiente conjuntos de agujas de Kakeya con áreas que se aproximaban a , el número de Bloom-Schoenberg . Schoenberg conjeturó que este número es el límite inferior para el área de conjuntos de agujas de Kakeya simplemente conexos. Sin embargo, en 1971, F. Cunningham ^[8] demostró que, dado ε > 0, hay un conjunto de agujas de Kakeya simplemente conexo de área menor que ε contenido en un círculo de radio 1. ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{24}}(5-2{\sqrt {2}})}$

Si bien existen conjuntos de agujas de Kakeya de medida positiva arbitrariamente pequeña y conjuntos de Besicovich de medida 0, no existen conjuntos de agujas de Kakeya de medida 0.

La misma pregunta de cuán pequeños podrían ser estos conjuntos de Besicovitch se planteó entonces en dimensiones superiores, dando lugar a una serie de conjeturas conocidas colectivamente como las conjeturas de Kakeya , y han ayudado a iniciar el campo de las matemáticas conocido como teoría de la medida geométrica . En particular, si existen conjuntos de Besicovitch de medida cero, ¿podrían tener también una medida de Hausdorff de dimensión s cero para alguna dimensión s menor que la dimensión del espacio en el que se encuentran? Esta pregunta da lugar a la siguiente conjetura:

Conjetura de conjuntos de Kakeya : defina un conjunto de Besicovitch en R ⁿ como un conjunto que contiene un segmento de recta unitario en cada dirección. ¿Es cierto que dichos conjuntos necesariamente tienen dimensión de Hausdorff y dimensión de Minkowski iguales a n ?

Se sabe que esto es cierto para n = 1, 2, pero solo se conocen resultados parciales en dimensiones superiores.

Una forma moderna de abordar este problema es considerar un tipo particular de función máxima , que construimos de la siguiente manera: Denotamos S ^{n −1} ⊂ R ⁿ como la esfera unitaria en el espacio n -dimensional. Definimos como el cilindro de longitud 1, radio δ > 0, centrado en el punto a ∈ R ⁿ , y cuyo lado largo es paralelo a la dirección del vector unitario e ∈ S ^{n −1} . Luego, para una función localmente integrable f , definimos la función máxima de Kakeya de f como ${\displaystyle T_{e}^{\delta }(a)}$

${\displaystyle f_{*}^{\delta }(e)=\sup _{a\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{m(T_{e}^{\delta }(a))}}\int _{T_{e}^{\delta }(a)}|f(y)|dm(y)}$

donde m denota la medida de Lebesgue n -dimensional . Nótese que se define para los vectores e en la esfera S ^{n −1} . ${\displaystyle f_{*}^{\delta }}$

Luego existe una conjetura para estas funciones que, de ser verdadera, implicará la conjetura del conjunto de Kakeya para dimensiones superiores:

Conjetura de la función máxima de Kakeya : Para todo ε > 0, existe una constante C _ε > 0 tal que para cualquier función f y todo δ > 0, (ver espacio lp para la notación)

${\displaystyle \left\|f_{*}^{\delta }\right\|_{L^{n}(\mathbf {S} ^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon }\delta ^{-\epsilon }\|f\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

Algunos resultados que apuntan a probar la conjetura de Kakeya son los siguientes:

• La conjetura de Kakeya es verdadera para n = 1 (trivialmente) y n = 2 (Davies ^[9] ).
• En cualquier espacio n -dimensional, Wolff ^[10] demostró que la dimensión de un conjunto de Kakeya debe ser al menos ( n +2)/2.
• En 2002, Katz y Tao ^[11] mejoraron el límite de Wolff a , que es mejor para n > 4.${\displaystyle (2-{\sqrt {2}})(n-4)+3}$
• En 2000, Katz , Łaba y Tao ^[12] demostraron que la dimensión de Minkowski de los conjuntos de Kakeya en 3 dimensiones es estrictamente mayor que 5/2.
• En 2000, Jean Bourgain conectó el problema de Kakeya con la combinatoria aritmética ^{[13] [14]} que involucra el análisis armónico y la teoría de números aditivos .
• En 2017, Katz y Zahl ^[15] mejoraron el límite inferior de la dimensión de Hausdorff de los conjuntos de Besicovitch en 3 dimensiones para una constante absoluta .${\displaystyle 5/2+\epsilon }$${\displaystyle \epsilon >0}$

De manera un tanto sorprendente, se ha demostrado que estas conjeturas están conectadas con una serie de cuestiones en otros campos, en particular en el análisis armónico . Por ejemplo, en 1971, Charles Fefferman pudo utilizar la construcción de conjuntos de Besicovitch para demostrar que en dimensiones mayores que 1, las integrales de Fourier truncadas tomadas sobre bolas centradas en el origen con radios que tienden al infinito no necesitan converger en la norma L ^p cuando p ≠ 2 (esto es en contraste con el caso unidimensional donde dichas integrales truncadas convergen). ^[16]

Los análogos del problema de Kakeya incluyen considerar conjuntos que contienen formas más generales que líneas, como los círculos.

• En 1997 ^[17] y 1999, ^[18] Wolff demostró que los conjuntos que contienen una esfera de cualquier radio deben tener dimensión completa, es decir, la dimensión es igual a la dimensión del espacio en el que se encuentra, y lo demostró probando límites en una función máxima circular análoga a la función máxima de Kakeya.

• Se ha conjeturado que existen conjuntos que contienen una esfera alrededor de cada punto de medida cero. Los resultados de Elias Stein ^[19] demostraron que todos esos conjuntos deben tener medida positiva cuando n ≥ 3, y Marstrand ^[20] demostró lo mismo para el caso n=2 .

Una generalización de la conjetura de Kakeya es considerar conjuntos que contienen, en lugar de segmentos de líneas en cada dirección, pero, digamos, porciones de subespacios k -dimensionales. Definamos un conjunto ( n , k )-Besicovitch K como un conjunto compacto en R ⁿ que contiene una traslación de cada disco unitario k -dimensional que tiene medida de Lebesgue cero. Es decir, si B denota la bola unitaria centrada en cero, para cada subespacio k -dimensional P , existe x ∈ R ⁿ tal que ( P ∩ B ) + x ⊆ K . Por lo tanto, un conjunto ( n , 1)-Besicovitch es el conjunto estándar de Besicovitch descrito anteriormente.

La conjetura de ( n , k )-Besicovitch: No hay conjuntos de ( n , k )-Besicovitch para k > 1.

En 1979, Marstrand ^[21] demostró que no existían conjuntos (3, 2)-Besicovitch. Sin embargo, casi al mismo tiempo, Falconer ^[22] demostró que no existían conjuntos ( n , k )-Besicovitch para 2 k > n . La mejor cota hasta la fecha es la de Bourgain, ^[23] que demostró que no existen tales conjuntos cuando 2 ^{k −1} + k > n .

En 1999, Wolff planteó el campo finito análogo al problema de Kakeya, con la esperanza de que las técnicas para resolver esta conjetura pudieran trasladarse al caso euclidiano.

Conjetura de Kakeya de cuerpo finito : Sea F un cuerpo finito, sea K ⊆ F ⁿ un conjunto de Kakeya, es decir, para cada vector y ∈ F ⁿ existe x ∈ F ⁿ tal que K contiene una recta { x + ty  : t ∈ F }. Entonces el conjunto K tiene un tamaño al menos c _n | F | ⁿ donde c _n >0 es una constante que solo depende de n .

Zeev Dvir demostró esta conjetura en 2008, mostrando que la afirmación es válida para c _n = 1/ n !. ^{[24] [25]} En su demostración, observó que cualquier polinomio en n variables de grado menor que | F | que se anule en un conjunto de Kakeya debe ser idénticamente cero. Por otra parte, los polinomios en n variables de grado menor que | F | forman un espacio vectorial de dimensión

${\displaystyle {|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geq {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}.}$

Por lo tanto, existe al menos un polinomio no trivial de grado menor que | F | que se anula en cualquier conjunto dado con menos de este número de puntos. La combinación de estas dos observaciones muestra que los conjuntos de Kakeya deben tener al menos | F | ⁿ / n ! puntos.

No está claro si las técnicas se extenderán a la prueba de la conjetura original de Kakeya, pero esta prueba le da credibilidad a la conjetura original al hacer que los contraejemplos esencialmente algebraicos sean improbables. Dvir ha escrito un artículo de revisión sobre el progreso en el problema de Kakeya del cuerpo finito y su relación con los extractores de aleatoriedad . ^[26]

• Conjunto de Nikodym

• Besicovitch, Abram (1963). "El problema de Kakeya". American Mathematical Monthly . 70 (7): 697–706. doi :10.2307/2312249. JSTOR  2312249. MR  0157266.
• Dvir, Zeev (2009). "Sobre el tamaño de los conjuntos de Kakeya en cuerpos finitos". Journal of the American Mathematical Society . 22 (4): 1093–1097. arXiv : 0803.2336 . Bibcode :2009JAMS...22.1093D. doi :10.1090/S0894-0347-08-00607-3. MR  2525780. S2CID  3358826.
• Falconer, Kenneth J. (1985). La geometría de los conjuntos fractales . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 85. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1.Sr. 0867284  .
• Kakeya, Soichi (1917). "Algunos problemas sobre máximos y mínimos en relación con los óvalos". Tohoku Science Reports . 6 : 71–88.
• Katz, Nets Hawk ; Łaba, Izabella ; Tao, Terence (2000). "Un límite mejorado en la dimensión de Minkowski de los conjuntos de Besicovitch en R 3 {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}} " (PDF) . Anales de Matemáticas . 152 (2): 383–446. doi :10.2307/2661389. JSTOR  2661389. MR  1804528. S2CID  17007027.

• Wolff, Thomas (1999). "Trabajos recientes relacionados con el problema de Kakeya". En Rossi, Hugo (ed.). Perspectivas en matemáticas: charlas invitadas con motivo del 250 aniversario de la Universidad de Princeton . Providence, RI: American Mathematical Society. págs. 129–162. ISBN 978-0-8218-0975-4.Sr. 1660476  .
• Wolff, Thomas (2003). Łaba, Izabella ; Shubin, Carol (eds.). Lectures on Harmonic Analysis . University Lecture Series. Vol. 29. Con prólogo de Charles Fefferman y prefacio de Izabella Łaba. Providence, RI: American Mathematical Society. doi :10.1090/ulect/029. ISBN 0-8218-3449-5. Sr.  2003254.

• Kakeya en la Universidad de Columbia Británica
• Besicovitch en la UCLA
• Problema de la aguja de Kakeya en MathWorld
• Prueba de Dvir de la conjetura de Kakeya sobre el campo finito en el blog de Terence Tao
• Introducción a los conjuntos Besicovitch-Kakeya