El péndulo de Kapitza

El péndulo de Kapitza es un péndulo rígido cuyo punto de pivote vibra verticalmente, hacia arriba y hacia abajo. Recibe su nombre del físico ruso y premio Nobel Pyotr Kapitza , quien en 1951 desarrolló una teoría que explica con éxito algunas de sus propiedades inusuales. ^{[ 1 ]} La característica única del péndulo de Kapitza es que la suspensión vibrante puede hacer que se equilibre de forma estable en una posición invertida , con la masa por encima del punto de suspensión. En el péndulo convencional con suspensión fija, la única posición de equilibrio estable es con la masa colgando por debajo del punto de suspensión; la posición invertida es un punto de equilibrio inestable , y la más mínima perturbación desplaza el péndulo fuera del equilibrio. En la teoría de control no lineal, el péndulo de Kapitza se utiliza como ejemplo de oscilador paramétrico que demuestra el concepto de "estabilización dinámica".

El péndulo fue descrito por primera vez por Andrew Stephenson en 1908, quien descubrió que la posición vertical superior del péndulo podía ser estable cuando la frecuencia de excitación era alta. ^{[ 2 ]} Sin embargo, hasta la década de 1950 no existía una explicación para este fenómeno tan inusual y contraintuitivo. Pyotr Kapitza fue el primero en analizarlo en 1951. ^{[ 1 ]} Llevó a cabo varios estudios experimentales y también proporcionó una comprensión analítica de las razones de la estabilidad al dividir el movimiento en variables "rápidas" y "lentas" e introducir un potencial efectivo. Este trabajo innovador creó una nueva disciplina en física: la mecánica vibracional . El método de Kapitza se utiliza para describir procesos periódicos en física atómica , física de plasmas y física cibernética . El potencial efectivo que describe el componente "lento" del movimiento se describe en el volumen "Mecánica" (§30) del Curso de Física Teórica de Landau . ^{[ 3 ]}

Otra característica interesante del sistema de péndulo de Kapitza es que la posición de equilibrio inferior, con el péndulo colgando por debajo del pivote, ya no es estable. Cualquier pequeña desviación de la vertical aumenta su amplitud con el tiempo. ^{[ 4 ]} También puede producirse resonancia paramétrica en esta posición, y pueden darse regímenes caóticos en el sistema cuando hay atractores extraños en la sección de Poincaré . ^{[ 5 ]}

Denotemos el eje vertical como${\displaystyle y}$y el eje horizontal como${\displaystyle x}$de modo que el movimiento del péndulo ocurra en el (${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$) plano. Se utilizará la siguiente notación.

• ${\displaystyle g}$— aceleración de caída libre,
• ${\displaystyle l}$— longitud del péndulo rígido y ligero,
• ${\displaystyle m}$— masa del péndulo (idealizado, matemático),
• ${\displaystyle \nu }$—frecuencia de las oscilaciones verticales de la suspensión,
• ${\displaystyle a}$— amplitud de las oscilaciones de la suspensión,
• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {g/l}}}$— frecuencia propia del péndulo matemático.

Denotando el ángulo entre el péndulo y la dirección hacia abajo como${\displaystyle \varphi }$La dependencia temporal de la posición del péndulo se escribe como

${\displaystyle {\begin{casos}x&=l\sin \varphi \\y&=-l\cos \varphi -a\cos \nu t\end{casos}}}$

La energía potencial del péndulo se debe a la gravedad y se define, en términos de la posición vertical, como

${\displaystyle E_{\mathrm {POT} }=mgy=-mg(l\cos \varphi +a\cos \nu t).\,}$

La energía cinética incluye, además del término estándar${\displaystyle E_{\mathrm {KIN} }=ml^{2}{\dot {\varphi }}^{2}/2}$para la velocidad de un péndulo matemático, una contribución debida a las vibraciones de la suspensión y un término cruzado

${\displaystyle E_{\mathrm {KIN} }={\frac {ml^{2}}{2}}{\dot {\varphi }}^{2}+mal\nu ~\sin(\nu t)\sin(\varphi )~{\dot {\varphi }}+{\frac {ma^{2}\nu ^{2}}{2}}\sin ^{2}(\nu t)\;.}$

La energía total viene dada por la suma de las energías cinética y potencial.${\displaystyle E=E_{\mathrm {KIN} }+E_{\mathrm {POT} }}$y el lagrangiano por su diferencia${\displaystyle L=E_{\mathrm {KIN} }-E_{\mathrm {POT} }}$.

La energía total se conserva en un péndulo matemático, por lo que el tiempo${\displaystyle t}$dependencia del potencial${\displaystyle E_{\mathrm {POT} }}$y cinética${\displaystyle E_{\mathrm {KIN} }}$La energía es simétrica con respecto a la línea horizontal. Según el teorema del virial, las energías cinética y potencial medias en un oscilador armónico son iguales. Esto significa que la línea de simetría corresponde a la mitad de la energía total.

En el caso de una suspensión vibratoria, el sistema ya no es cerrado y la energía total ya no se conserva. La energía cinética es más sensible a la vibración que la potencial. La energía potencial está limitada tanto por debajo como por encima.${\displaystyle -mg(l+a)\leq E_{\mathrm {POT} }\leq mg(l+a)}$mientras que la energía cinética está limitada solo desde abajo${\displaystyle E_{\mathrm {KIN} }\geq 0}$Para vibraciones de alta frecuencia${\displaystyle \nu }$La energía cinética puede ser grande en comparación con la energía potencial.

El movimiento del péndulo satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange . La dependencia de la fase${\displaystyle \varphi }$del péndulo en su posición satisface la ecuación: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \varphi }},}$

donde el Lagrangiano${\displaystyle L}$lecturas

${\displaystyle L={\frac {ml^{2}}{2}}{\dot {\varphi }}^{2}+ml(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t)\cos \varphi ,}$

hasta términos de derivadas temporales totales irrelevantes . La ecuación diferencial

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}=-(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t){\frac {\sin \varphi }{l}},}$

que describe el movimiento del péndulo es no lineal debido a la${\displaystyle \sin \varphi }$factor.

El modelo de péndulo de Kapitza es más general que el péndulo simple . El modelo de Kapitza se reduce a este último en el límite.${\displaystyle a=0}$En ese límite, la punta del péndulo describe un círculo:${\displaystyle x^{2}+y^{2}=l^{2}={\text{constante}}}$Si la energía en el momento inicial es mayor que el máximo de la energía potencial${\displaystyle E>mgl}$entonces la trayectoria será cerrada y cíclica. Si la energía inicial es menor${\displaystyle E<mgl}$Entonces el péndulo oscilará cerca del único punto estable.${\displaystyle (x,y)=(0,-l)}$.

Cuando la suspensión vibra con una amplitud pequeña${\displaystyle a\ll l}$y con frecuencia${\displaystyle \nu \gg \omega _ {0}}$mucho más alta que la frecuencia adecuada${\displaystyle \omega _{0}}$, el ángulo${\displaystyle \varphi }$puede considerarse como una superposición${\displaystyle \varphi =\varphi _ {0}+\xi}$de un componente "lento"${\displaystyle \varphi _{0}}$y una oscilación rápida${\displaystyle \xi }$con pequeña amplitud debido a las pequeñas pero rápidas vibraciones de la suspensión. Técnicamente, realizamos una expansión perturbativa en las " constantes de acoplamiento ".${\displaystyle (a/l),(\omega _ {0}/\nu )\ll 1}$mientras se trata la proporción${\displaystyle (a/l)(\nu /\omega _ {0})}$como fijo. El tratamiento perturbativo se vuelve exacto en el límite de doble escala.${\displaystyle a\to 0,\nu \to \infty }$. Más precisamente, la rápida oscilación${\displaystyle \xi }$se define como

${\displaystyle \xi ={\frac {a}{l}}\sin \varphi _{0}~\cos \nu t.\,}$

La ecuación de movimiento para el componente "lento".${\displaystyle \varphi _{0}}$se convierte

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\varphi }}_{0}={\ddot {\varphi }}-{\ddot {\xi }}&=-(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t){\frac {\sin \varphi }{l}}\\&{}\quad {}-{\frac {a}{l}}\left({\ddot {\varphi }}_{0}\cos \varphi _{0}~\cos \nu t-{\dot {\varphi }}_{0}^{2}\sin \varphi _{0}~\cos \nu t-2\nu {\dot {\varphi }}_{0}\cos \varphi _{0}~\sin \nu t-\nu ^{2}\sin \varphi _{0}~\cos \nu t\right)\\[8pt]&=-{\frac {g}{l}}\sin \varphi _{0}-(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t){\frac {1}{l}}\left(\xi \cos \varphi _{0}+O(\xi ^{2})\right)\\&{}\quad {}-{\frac {a}{l}}\left({\ddot {\varphi }}_{0}\cos \varphi _{0}~\cos \nu t-{\dot {\varphi }}_{0}^{2}\sin \varphi _{0}~\cos \nu t-2\nu {\dot {\varphi }}_{0}\cos \varphi _{0}~\sin \nu t\right).\end{aligned}}}$

Promedio temporal sobre el rápido${\displaystyle \nu }$-la oscilación cede al orden principal

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}_{0}=-{\frac {g}{l}}\sin \varphi _{0}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {a\nu }{l}}\right)^{2}\sin \varphi _{0}\cos \varphi _{0}.}$

La ecuación de movimiento "lenta" se convierte en

${\displaystyle ml^{2}{\ddot {\varphi }}_{0}=-{\frac {\partial V_{\mathrm {eff} }}{\partial \varphi _{0}}}\;,}$

al introducir un potencial efectivo

${\displaystyle V_{\mathrm {eff} }=-mgl\cos \varphi _{0}+m\left({\frac {a\nu }{2}}\sin \varphi _{0}\right)^{2}.}$

Resulta que ^{[ 1 ]} el potencial efectivo${\displaystyle V_{\mathrm {eff} }}$tiene dos mínimos si${\displaystyle (a\nu )^{2}>2gl}$, o equivalentemente,${\displaystyle (a/l)(\nu /\omega _{0})>{\sqrt {2}}}$El primer mínimo está en la misma posición.${\displaystyle (x,y)=(0,-l)}$como el péndulo matemático y el otro mínimo está en la posición vertical superior${\displaystyle (x,y)=(0,l)}$Como resultado, la posición vertical superior, que es inestable en un péndulo matemático, puede volverse estable en el péndulo de Kapitza.

Para una frecuencia de forzamiento fija${\displaystyle \nu }$y aumentando la amplitud de la fuerza${\displaystyle a}$, el punto invertido${\displaystyle \varphi =\pi }$se convierte en un equilibrio estable, y luego volvería a ser inestable. El punto experimenta una bifurcación de Hopf : el equilibrio estable se expande en una oscilación estable alrededor de${\displaystyle \varphi =\pi }$, a frecuencia${\displaystyle \nu /2}$y amplitud${\displaystyle \propto {\sqrt {a-a_{c}}}}$dónde${\displaystyle a_{c}}$es la amplitud crítica. ^{[ 5 ]}

Para amplitudes aún mayores, la oscilación estable se vuelve inestable y el péndulo comienza a girar. Con amplitudes aún mayores, el modo de rotación también se destruye y aparece un atractor extraño por cascada de duplicación de período . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Las soluciones rotatorias del péndulo de Kapitza se producen cuando el péndulo gira alrededor del punto de pivote con la misma frecuencia con la que se impulsa dicho punto. Existen dos soluciones rotatorias, una para cada dirección de rotación. Cambiamos al sistema de referencia giratorio utilizando${\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi ^{\prime }\pm \nu t}$y la ecuación para${\displaystyle \varphi }$se convierte en:

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}^{\prime }=-{\frac {1}{l}}\left[{\frac {1}{2}}a\nu ^{2}\sin(\varphi ^{\prime })+g\sin(\varphi ^{\prime }\pm \nu t)+{\frac {1}{2}}a\nu ^{2}\sin(\varphi ^{\prime }\pm 2\nu t)\right]\;.}$

Considerando nuevamente el límite en el que${\displaystyle \nu }$es mucho más alta que la frecuencia adecuada${\displaystyle \omega _{0}}$, encontramos que el rápido-${\displaystyle \nu }$lento-${\displaystyle \varphi _{0}^{\prime }}$El límite conduce a la ecuación:

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}_{0}^{\prime }=-{\frac {1}{2l}}a\nu ^{2}\sin \varphi _{0}^{\prime }\;.}$

El potencial efectivo es simplemente el de una ecuación de péndulo simple. Existe un equilibrio estable en${\displaystyle \varphi _{0}^{\prime }=0}$y un equilibrio inestable en${\displaystyle \varphi _{0}^{\prime }=\pi }$.

Se pueden obtener retratos de fase interesantes en regímenes que no son accesibles dentro de las descripciones analíticas, por ejemplo en el caso de una gran amplitud de la suspensión.${\displaystyle a\approx l}$. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Aumentar la amplitud de las oscilaciones impulsoras a la mitad de la longitud del péndulo${\displaystyle a=l/2}$conduce al retrato de fase que se muestra en la figura.

Aumento adicional de la amplitud a${\displaystyle a\approx l}$conduce al llenado completo de los puntos internos del espacio de fases: si antes algunos puntos del espacio de fases no eran accesibles, ahora el sistema puede alcanzar cualquiera de los puntos internos. Esta situación también se cumple para valores mayores de${\displaystyle a}$.

• Kapitza señaló que un reloj de péndulo con suspensión de péndulo vibratorio siempre va más rápido que un reloj con suspensión fija. ^{[ 11 ]}
• La marcha se define por un movimiento de péndulo invertido en el que el cuerpo se eleva sobre la extremidad o extremidades rígidas con cada paso. Una mayor estabilidad durante la marcha podría estar relacionada con la estabilidad del péndulo de Kapitza. Esto se aplica independientemente del número de extremidades, incluso en artrópodos con seis, ocho o más extremidades. ^{[ 12 ]}

• Vídeo de demostración en el péndulo de Kapitza - YouTube
• Demostración interactiva en el Proyecto de Demostraciones de Wolfram