oscilador paramétrico

Comenzamos realizando un cambio de variable.

${\displaystyle q(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{D(t)}x(t)}$

dónde${\displaystyle D(t)}$es la integral temporal del coeficiente de amortiguación

${\displaystyle D(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\beta (\tau )\,d\tau }$.

Este cambio de variable elimina el término de amortiguación en la ecuación diferencial, reduciéndolo a

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\Omega ^{2}(t)q=0}$

donde la frecuencia transformada se define como

${\displaystyle \Omega ^{2}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \omega ^{2}(t)-{\frac {1}{2}}{\frac {d\beta }{dt}}-{\frac {1}{4}}\beta ^{2}(t)}$.

En general, las variaciones en la amortiguación y la frecuencia son perturbaciones relativamente pequeñas.

${\displaystyle \beta (t)=\omega _{0}{\big [}b+g(t){\big ]}}$

${\displaystyle \omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}{\big [}1+h(t){\big ]}}$

dónde${\displaystyle \omega _{0}}$y${\displaystyle b}$son constantes, a saber, la frecuencia del oscilador promediada en el tiempo y la amortiguación, respectivamente. La frecuencia transformada se puede escribir entonces de forma similar a como

${\displaystyle \Omega ^{2}(t)=\omega _{n}^{2}{\big [}1+f(t){\big ]}}$,

dónde${\displaystyle \omega _{n}}$es la frecuencia natural del oscilador armónico amortiguado

${\displaystyle \omega _{n}^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \omega _{0}^{2}\left(1-{\frac {b^{2}}{4}}\right)}$

y

${\displaystyle f(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega _{n}^{2}}}\left[h(t)-{\frac {1}{2\omega _{0}}}{\frac {dg}{dt}}-{\frac {b}{2}}g(t)-{\frac {1}{4}}g^{2}(t)\right]}$.

Por lo tanto, nuestra ecuación transformada se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\omega _{n}^{2}{\big [}1+f(t){\big ]}q=0}$.

Las variaciones independientes${\displaystyle g(t)}$y${\displaystyle h(t)}$en la amortiguación del oscilador y la frecuencia de resonancia, respectivamente, se pueden combinar en una única función de bombeo.${\displaystyle f(t)}$La conclusión opuesta es que cualquier forma de excitación paramétrica se puede lograr variando la frecuencia de resonancia o la amortiguación, o ambas.

Supongamos que${\displaystyle \ f(t)\ }$es sinusoidal con una frecuencia aproximadamente el doble de la frecuencia natural del oscilador:

${\displaystyle f(t)=f_{0}\sin(2\omega _{p}t)}$

donde la frecuencia de bombeo${\displaystyle \ \omega _{p}\approx \omega _{n}\ }$pero no necesariamente igual${\displaystyle \ \omega _ {n}\}$Exactamente. Utilizando el método de variación de parámetros , la solución${\displaystyle \ q(t)\ }$Nuestra ecuación transformada puede escribirse como

${\displaystyle \ q(t)\ =\ A(t)\ \cos(\omega _{p}t)\ +\ B(t)\ \sin(\omega _{p}t)\ }$

donde los componentes varían rápidamente,${\displaystyle \ \cos(\omega _{p}t)\ }$y${\displaystyle \ \sin(\omega _{p}t)\ ,}$se han tenido en cuenta para aislar las amplitudes que varían lentamente.${\displaystyle \ A(t)\ }$y${\displaystyle \ B(t)~.}$

Procedemos sustituyendo esta solución en la ecuación diferencial y considerando que ambos coeficientes delante de${\displaystyle \ \cos(\omega _{p}t)\ }$y${\displaystyle \ \sin(\omega _{p}t)\ }$debe ser cero para satisfacer idénticamente la ecuación diferencial. También omitimos las segundas derivadas de${\displaystyle \ A(t)\ }$y${\displaystyle \ B(t)\ }$sobre la base de que${\displaystyle \ A(t)\ }$y${\displaystyle \ B(t)\ }$varían lentamente, además de omitir términos sinusoidales que no están cerca de la frecuencia natural,${\displaystyle \ \omega _ {n}\ ,}$ya que no contribuyen significativamente a la resonancia. El resultado es el siguiente par de ecuaciones diferenciales acopladas:

${\displaystyle 2\omega _{p}{\frac {\ \operatorname {d} A\ }{\operatorname {d} t}}={\frac {1}{2}}f_{0}\ \omega _{n}^{2}\ A-\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)\ B\ ,}$

${\displaystyle 2\omega _{p}{\frac {\ \operatorname {d} B\ }{\operatorname {d} t}}=\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)\ A-{\frac {1}{2}}f_{0}\ \omega _{n}^{2}\ B~.}$

Este sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes puede desacoplarse y resolverse mediante métodos de valores propios / vectores propios . Esto produce la solución.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A(t)\\B(t)\end{bmatrix}}=c_{1}\ {\vec {V_{1}}}\ e^{\lambda _{1}t}+c_{2}\ {\vec {V_{2}}}\ e^{\lambda _{2}t}}$

dónde${\displaystyle \ \lambda _{1}\ }$y${\displaystyle \ \lambda _{2}\ }$son los valores propios de la matriz

${\displaystyle {\frac {1}{\ 2\omega _{p}\ }}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}f_{0}\ \omega _{n}^{2}&-\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)\\+\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)&-{\frac {1}{2}}f_{0}\ \omega _{n}^{2}\end{bmatrix}}\ ,}$

${\displaystyle \ {\vec {V_{1}}}\ }$y${\displaystyle \ {\vec {V_{2}}}\ }$son los autovectores correspondientes y${\displaystyle \ c_{1}\ }$y${\displaystyle \ c_{2}\ }$son constantes arbitrarias.

Los valores propios vienen dados por

${\displaystyle \lambda _{1,2}=\pm {\frac {1}{\ 2\omega _{p}\ }}{\sqrt {{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}f_{0}\ \omega _{n}^{2}{\Bigr )}^{2}-{\Bigl (}\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}{\Bigr )}^{2}\;}}~.}$

Si escribimos la diferencia entre${\displaystyle \ \omega _{p}\ }$y${\displaystyle \ \omega _{n}\ }$como${\displaystyle \ \Delta \omega =\omega _{p}-\omega _{n}\ ,}$y reemplazar${\displaystyle \ \omega _{p}\ }$con${\displaystyle \omega _{n}}$En todos los lugares donde la diferencia no es importante, obtenemos

${\displaystyle \lambda _{1,2}=\pm {\sqrt {{\Bigl (}{\tfrac {1}{4}}f_{0}\ \omega _{n}{\Bigr )}^{2}-{\Bigl (}\Delta \omega {\Bigr )}^{2}\;}}}$.

Si${\displaystyle \ {\bigl |}\Delta \omega {\bigr |}<{\tfrac {1}{4}}f_{0}\ \omega _{n}\ ,}$entonces los valores propios son reales y exactamente uno es positivo, lo que conduce a un crecimiento exponencial para${\displaystyle \ A(t)\ }$y${\displaystyle \ B(t)~.}$Esta es la condición para la resonancia paramétrica, con la tasa de crecimiento para${\displaystyle \ q(t)\ }$dado por el valor propio positivo${\displaystyle \ \lambda _{1}=+{\sqrt {{\Bigl (}{\tfrac {1}{4}}f_{0}\ \omega _{n}{\Bigr )}^{2}-{\Bigl (}\Delta \omega {\Bigr )}^{2}\;}}~.}$

Sin embargo, tenga en cuenta que esta tasa de crecimiento corresponde a la amplitud de la variable transformada.${\displaystyle \ q(t)\ ,}$mientras que la amplitud de la variable original, sin transformar${\displaystyle \ x(t)=q(t)\ e^{-D(t)}\ }$puede crecer o descomponerse dependiendo de si${\displaystyle \ \lambda _{1}t-D(\ t\ )\ }$es una función creciente o decreciente del tiempo,${\displaystyle \ t~.}$

La derivación anterior puede parecer un truco matemático, por lo que puede ser útil dar una derivación intuitiva.${\displaystyle q}$La ecuación puede escribirse en la forma

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\omega _{n}^{2}q=-\omega _{n}^{2}f(t)q}$

que representa un oscilador armónico simple (o, alternativamente, un filtro de paso de banda ) siendo accionado por una señal${\displaystyle -\omega _{n}^{2}f(t)q}$que es proporcional a su respuesta${\displaystyle q(t)}$.

Supongamos que${\displaystyle q(t)=A\cos(\omega _{p}t)}$ya tiene una oscilación a frecuencia${\displaystyle \omega _{p}}$y que el bombeo${\displaystyle f(t)=f_{0}\sin(2\omega _{p}t)}$tiene el doble de frecuencia y una amplitud pequeña.${\displaystyle f_{0}\ll 1}$Aplicando una identidad trigonométrica para productos de sinusoides, su producto${\displaystyle q(t)f(t)}$produce dos señales de control, una a frecuencia${\displaystyle \omega _{p}}$y el otro a frecuencia${\displaystyle 3\omega _{p}}$.

${\displaystyle f(t)q(t)={\frac {f_{0}}{2}}A{\big [}\sin(\omega _{p}t)+\sin(3\omega _{p}t){\big ]}}$

Al estar fuera de resonancia, el${\displaystyle 3\omega _{p}}$La señal se atenúa y puede despreciarse inicialmente. Por el contrario, la${\displaystyle \omega _{p}}$La señal está en resonancia, sirve para amplificarla.${\displaystyle q(t)}$y es proporcional a la amplitud${\displaystyle A}$. Por lo tanto, la amplitud de${\displaystyle q(t)}$crece exponencialmente a menos que inicialmente sea cero.

Expresada en el espacio de Fourier, la multiplicación${\displaystyle f(t)q(t)}$es una convolución de sus transformadas de Fourier${\displaystyle {\tilde {F}}(\omega )}$y${\displaystyle {\tilde {Q}}(\omega )}$La retroalimentación positiva surge porque${\displaystyle +2\omega _{p}}$componente de${\displaystyle f(t)}$convierte el${\displaystyle -\omega _{p}}$componente de${\displaystyle q(t)}$en una señal de conducción en${\displaystyle +\omega _{p}}$y viceversa (invertir los signos). Esto explica por qué la frecuencia de bombeo debe ser cercana${\displaystyle 2\omega _{n}}$, el doble de la frecuencia natural del oscilador. Bombear a una frecuencia muy diferente no se acoplaría (es decir, no proporcionaría retroalimentación positiva mutua) entre el${\displaystyle -\omega _{p}}$y${\displaystyle +\omega _{p}}$componentes de${\displaystyle q(t)}$.

Un amplificador paramétrico se implementa como un mezclador . La ganancia del mezclador se refleja en la salida como ganancia del amplificador. La señal de entrada débil se mezcla con una señal de oscilador local fuerte , y la salida fuerte resultante se utiliza en las etapas posteriores del receptor.

Los amplificadores paramétricos también funcionan cambiando un parámetro del amplificador. Intuitivamente, esto se puede entender de la siguiente manera, para un amplificador basado en un condensador variable. Carga${\displaystyle Q}$En un condensador se cumple:${\displaystyle Q=C\times V}$, por lo tanto, el voltaje a través de es${\displaystyle V={\frac {Q}{C}}}$.

Teniendo en cuenta lo anterior, si se carga un condensador hasta que su voltaje sea igual al voltaje muestreado de una señal débil entrante, y si luego se reduce la capacitancia del condensador (por ejemplo, separando manualmente las placas), entonces el voltaje a través del condensador aumentará. De esta manera, se amplifica el voltaje de la señal débil.

Si el condensador es un diodo varicap , entonces el "movimiento de las placas" se puede lograr simplemente aplicando un voltaje de CC variable en el tiempo al diodo varicap. Este voltaje de excitación generalmente proviene de otro oscilador, a veces llamado "bomba".

La señal de salida resultante contiene frecuencias que son la suma y la diferencia de la señal de entrada (f1) y la señal de bombeo (f2): (f1 + f2) y (f1 − f2).

Un oscilador paramétrico práctico requiere las siguientes conexiones: una para la tierra , una para alimentar la bomba, una para recuperar la salida y, posiblemente, una cuarta para la polarización. Un amplificador paramétrico necesita un quinto puerto para la entrada de la señal que se amplifica. Dado que un diodo varactor solo tiene dos conexiones, solo puede formar parte de una red LC con cuatro vectores propios y nodos en dichas conexiones. Esto puede implementarse como un amplificador de transimpedancia , un amplificador de onda viajera o mediante un circulador .

La ecuación del oscilador paramétrico puede extenderse añadiendo una fuerza impulsora externa.${\displaystyle E(t)}$:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta (t){\frac {dx}{dt}}+\omega ^{2}(t)x=E(t)}$.

Suponemos que la amortiguación${\displaystyle D}$es suficientemente fuerte como para que, en ausencia de la fuerza impulsora${\displaystyle E}$, la amplitud de las oscilaciones paramétricas no diverge, es decir, que${\displaystyle \alpha t<D}$En esta situación, el bombeo paramétrico actúa para reducir la amortiguación efectiva en el sistema. A modo de ejemplo, supongamos que la amortiguación es constante.${\displaystyle \beta (t)=\omega _{0}b}$y supongamos que la fuerza impulsora externa está en la frecuencia de resonancia media.${\displaystyle \omega _{0}}$, es decir,${\displaystyle E(t)=E_{0}\sin \omega _{0}t}$La ecuación se convierte en

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b\omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}\left[1+h_{0}\sin 2\omega _{0}t\right]x=E_{0}\sin \omega _{0}t}$

cuya solución es aproximadamente

${\displaystyle x(t)={\frac {2E_{0}}{\omega _{0}^{2}\left(2b-h_{0}\right)}}\cos \omega _{0}t}$.

Como${\displaystyle h_{0}}$se acerca al umbral${\displaystyle 2b}$, la amplitud diverge. Cuando${\displaystyle h_{0}\geq 2b}$El sistema entra en resonancia paramétrica y la amplitud comienza a crecer exponencialmente, incluso en ausencia de una fuerza impulsora.${\displaystyle E(t)}$.

1. Es altamente sensible
2. Amplificador de bajo nivel de ruido para señales de radio de ultra alta frecuencia y microondas.

Si los parámetros de cualquier ecuación diferencial lineal de segundo orden varían periódicamente, el análisis de Floquet muestra que las soluciones deben variar de forma sinusoidal o exponencial.

El${\displaystyle q}$ecuación anterior con variación periódica${\displaystyle f(t)}$es un ejemplo de una ecuación de Hill . Si${\displaystyle f(t)}$es una sinusoide simple, la ecuación se llama ecuación de Mathieu .