Teorema de densidad de Kaplansky

En la teoría de las álgebras de von Neumann , el teorema de densidad de Kaplansky , debido a Irving Kaplansky , es un teorema de aproximación fundamental. La importancia y ubicuidad de esta herramienta técnica llevó a Gert Pedersen a comentar en uno de sus libros ^{[ 1 ]} que,

El teorema de la densidad es el gran regalo de Kaplansky a la humanidad. Se puede usar todos los días, y dos veces los domingos.

Sea K ⁻ la clausura de operadores fuertes de un conjunto K en B(H) , el conjunto de operadores acotados en el espacio de Hilbert H , y sea ( K ) ₁ la intersección de K con la bola unitaria de B(H) .

Teorema de densidad de Kaplansky . ^{[ 2 ]} Si${\displaystyle A}$es un álgebra autoadjunta de operadores en${\displaystyle B(H)}$, luego cada elemento${\displaystyle a}$en la bola unitaria del cierre del operador fuerte de${\displaystyle A}$está en el cierre del operador fuerte de la bola de la unidad de${\displaystyle A}$. En otras palabras,${\displaystyle (A)_{1}^{-}=(A^{-})_{1}}$. Si${\displaystyle h}$es un operador autoadjunto en${\displaystyle (A^{-})_{1}}$, entonces${\displaystyle h}$está en el cierre de operadores fuertes del conjunto de operadores autoadjuntos en${\displaystyle (A)_{1}}$.

El teorema de densidad de Kaplansky se puede utilizar para formular algunas aproximaciones con respecto a la topología del operador fuerte .

1) Si h es un operador positivo en ( A ⁻ ) ₁ , entonces h está en el cierre de operadores fuertes del conjunto de operadores autoadjuntos en ( A ⁺ ) ₁ , donde A ⁺ denota el conjunto de operadores positivos en A .

2) Si A es un álgebra C* que actúa sobre el espacio de Hilbert H y u es un operador unitario en A ⁻ , entonces u está en la clausura de operadores fuertes del conjunto de operadores unitarios en A .

En el teorema de densidad y en el punto 1) anterior, los resultados también se mantienen si se considera una bola de radio r > 0 , en lugar de la bola unitaria.

La demostración estándar utiliza el hecho de que una función continua acotada de valores reales f es continua bajo operadores fuertes. En otras palabras, para una red { a _α } de operadores autoadjuntos en A , el cálculo funcional continuo a → f ( a ) satisface,

${\displaystyle \lim f(a_{\alpha })=f(\lim a_{\alpha })}$

en la topología de operador fuerte . Esto muestra que la parte autoadjunta de la bola unitaria en A ⁻ puede aproximarse fuertemente mediante elementos autoadjuntos en A. Un cálculo matricial en M ₂ ( A ) considerando el operador autoadjunto con entradas 0 en la diagonal y a y a ^* en las demás posiciones, elimina la restricción de autoadjuntividad y demuestra el teorema.

• Teorema de densidad de Jacobson
• Teorema bicommutante de von Neumann

• Kadison, Richard , Fundamentos de la teoría de las álgebras de operadores , Vol. I  : Teoría elemental , American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191.
• Álgebras de von Neumann de VFRJones ; apuntes incompletos de un curso.
• M. Takesaki Teoría de las álgebras de operadores I ISBN 3-540-42248-X