Karplus – Síntesis de cuerdas fuertes

La síntesis de cuerdas de Karplus-Strong es un método de síntesis de modelado físico que hace pasar una forma de onda corta a través de una línea de retardo filtrada para simular el sonido de una cuerda pulsada o martillada, o algunos tipos de percusión .

A primera vista, esta técnica puede considerarse una síntesis sustractiva basada en un bucle de retroalimentación similar al de un filtro de peine para el análisis de la transformada Z. Sin embargo, también puede verse como la clase más simple de algoritmos de modificación de tabla de ondas , ahora conocidos como síntesis de guía de ondas digital , ya que la línea de retardo almacena un período de la señal.

Alexander Strong inventó el algoritmo y Kevin Karplus realizó el primer análisis de su funcionamiento. Juntos desarrollaron implementaciones de software y hardware del algoritmo, incluyendo un chip VLSI personalizado . Bautizaron el algoritmo como síntesis "Digitar", una combinación de las palabras "guitarra digital".

1. Se genera una forma de onda de excitación corta (de longitud L muestras). En el algoritmo original, se trataba de una ráfaga de ruido blanco , pero también puede incluir cualquier señal de banda ancha , como un chirrido de onda sinusoidal rápido o un barrido de frecuencia, o un solo ciclo de una onda de diente de sierra o una onda cuadrada .
2. Esta excitación se emite y se realimenta simultáneamente a una línea de retardo de L muestras de longitud.
3. La salida de la línea de retardo se alimenta a través de un filtro . La ganancia del filtro debe ser menor que 1 en todas las frecuencias para mantener un bucle de retroalimentación positiva estable . El filtro puede ser un filtro paso bajo de primer orden (como se muestra en la imagen). En el algoritmo original, el filtro consistía en promediar dos muestras adyacentes, un filtro particularmente simple que se puede implementar sin un multiplicador, requiriendo solo operaciones de desplazamiento y suma. Las características del filtro son cruciales para determinar la estructura armónica del tono decreciente.
4. La señal filtrada se mezcla simultáneamente con la señal de salida y se realimenta a la línea de retardo.

La frecuencia fundamental (específicamente, la frecuencia de resonancia no nula más baja) de la señal resultante es la frecuencia más baja en la que la respuesta de fase desenrollada del retardo y el filtro en cascada es${\displaystyle -2\pi }$. Por lo tanto, el retardo de fase requerido D para una frecuencia fundamental F ₀ dada se calcula según D = F _s / F ₀ donde F _s es la frecuencia de muestreo.

La longitud de cualquier línea de retardo digital es un múltiplo entero del período de muestreo. Para obtener un retardo fraccional, a menudo necesario para el ajuste fino de la cadena por debajo de la diferencia apenas perceptible (JND ), se utilizan filtros de interpolación con parámetros seleccionados para obtener un retardo de fase adecuado en la frecuencia fundamental. Se pueden usar filtros IIR o FIR , pero los FIR tienen la ventaja de que los transitorios se suprimen si el retardo fraccional cambia con el tiempo. El retardo fraccional más elemental es la interpolación lineal entre dos muestras (por ejemplo, s (4.2) = 0.8 s (4) + 0.2 s (5)). Si el retardo de fase varía con la frecuencia, los armónicos pueden acentuarse o aplanarse en relación con la frecuencia fundamental. El algoritmo original utilizaba ponderación igual en dos muestras adyacentes, ya que esto se puede lograr sin hardware de multiplicación, lo que permite implementaciones extremadamente económicas.

El análisis de la transformada Z se puede utilizar para obtener con mayor precisión los tonos y los tiempos de decaimiento de los armónicos, como se explica en el artículo de 1983 que introdujo el algoritmo.

En el siguiente archivo Vorbis se puede escuchar una demostración del algoritmo Karplus-Strong . El algoritmo utilizó una ganancia de bucle de 0,98 con filtros paso bajo de primer orden de atenuación progresiva. La nota tenía una frecuencia de La2, o 220  Hz.

Mantener constante el período (= longitud de la línea de retardo) produce vibraciones similares a las de una cuerda o una campana. Aumentar bruscamente el período después de la entrada transitoria produce sonidos parecidos a los de un tambor.

Debido a su sonido de cuerda pulsada en ciertos modos, Alex Strong y Kevin Karplus conjeturaron que el algoritmo de Karplus-Strong (KS) era en cierto sentido una simulación de cuerda vibrante, y trabajaron para demostrar que resolvía la ecuación de onda para la cuerda vibrante, pero esto no se completó. ^{[ 1 ]} Julius O. Smith IIISe reconoció que la función de transferencia del KS, vista como un filtro digital, coincidía con la de una cuerda vibrante, donde el filtro en el bucle de retroalimentación representaba las pérdidas totales de la cuerda durante un período. ^{[ 2 ]} Posteriormente, derivó el algoritmo KS como un caso especial de síntesis de guía de ondas digital , que se utilizó para modelar ondas acústicas en cuerdas, tubos y membranas. El primer conjunto de extensiones y generalizaciones del algoritmo de Karplus-Strong, conocido como el algoritmo extendido de Karplus-Strong (EKS), se presentó en un artículo en 1982 en la Conferencia Internacional de Música por Computadora en Venecia, Italia, y se publicó con más detalle en 1983 en Computer Music Journal en un artículo titulado "Extensions of the Karplus Strong Plucked String Algorithm", por David A. Jaffe y Julius O. Smith, ^{[ 3 ]} y en la tesis doctoral de Smith. ^{[ 2 ]}

Alex Strong desarrolló un método superior de modificación de tabla de ondas para la síntesis de cuerdas pulsadas, pero solo lo publicó como patente. ^{[ 4 ]}

El primer uso musical del algoritmo se dio en la obra May All Your Children Be Acrobats, escrita en 1981 por David A. Jaffe , con partitura para ocho guitarras, mezzosoprano y cinta estéreo generada por ordenador, con un texto basado en The People, Yes de Carl Sandburg . Jaffe continuó explorando las posibilidades musicales y técnicas del algoritmo en Silicon Valley Breakdown , para cuerdas pulsadas generadas por ordenador (1982), así como en obras posteriores como Telegram to the President, 1984 para cuarteto de cuerdas y cinta, y Grass para coro femenino y cinta (1987).

La patente se licenció primero a Mattel Electronics, empresa que fracasó antes de desarrollar ningún producto que utilizara el algoritmo, y luego a una empresa emergente fundada por algunos de los ejecutivos despedidos de Mattel. Esta empresa nunca obtuvo la financiación suficiente para finalizar el desarrollo y, por lo tanto, tampoco llegó a comercializar ningún producto. Finalmente, Yamaha licenció la patente como parte del paquete de patentes Sondius de Stanford. Se desconoce si se llegó a vender algún hardware que utilizara el algoritmo, aunque se han lanzado numerosas implementaciones de software (que no pagaron ninguna tarifa de licencia a los inventores).

Aunque no se adhieran estrictamente al algoritmo, muchos componentes de hardware para sistemas modulares se han comercializado utilizando los principios básicos de la síntesis de Karplus-Strong: un sistema de control escalado e invertido con valores de tiempo muy pequeños en una línea de retardo filtrada para crear notas reproducibles en el sistema de afinación temperada occidental, controladas mediante seguimiento de voltio por octava o datos MIDI. Si bien no se reconoció específicamente a los inventores, el término "síntesis de Karplus-Strong" aparece en algunos manuales.

Entre los componentes de hardware capaces de realizar síntesis al estilo Karplus-Strong se incluyen el Moog Clusterflux 108M, los Mutable Instruments Elements y Rings, el 4ms Company Dual Looping Delay, el 2HP Pluck, el Make Noise Mimeophon, el Arturia MicroFreak , el Non Linear Circuits Is Carp Lust Wrong? y el Strymon Starlab.

• Línea de retardo digital

Citas

Bibliografía

• Karplus, Kevin; Strong, Alex (1983). "Síntesis digital de timbres de cuerdas pulsadas y tambores". Computer Music Journal . 7 (2). MIT Press: 43– 55. doi : 10.2307/3680062 . JSTOR 3680062 . 

• Jaffe, David A.; Smith, Julius O. (1983). "Extensions of the Karplus-Strong Plucked String Algorithm" . Computer Music Journal . 7 (2). MIT Press: 56– 69. doi : 10.2307/3680063 . JSTOR 3680063. Archivado del original (PDF) el 12 de diciembre de 2019. Recuperado el 13 de agosto de 2015 . 

• Smith, Julius O. (1983). Técnicas para el diseño de filtros digitales e identificación de sistemas, con aplicación al violín (PhD/EE). Universidad de Stanford.

• Solicitud estadounidense 4649783 , Alexander R. Strong, Kevin J. Karplus, " Instrumento y método de modificación de tabla de ondas para generar sonido musical ", publicada el 17 de marzo de 1987. 

• Solicitud estadounidense 4622877 , Alexander R. Strong, " Instrumento y método de modificación de tabla de ondas controlados independientemente para generar sonido musical ", publicada el 18 de noviembre de 1986. 

• Moore, F. Richard (1990). Elementos de la música por ordenador . Upper Saddle River: Prentice-Hall. ISBN 0-13-252552-6.

• El algoritmo Karplus-Strong
• Ejemplos de sonido
• Más ejemplos de sonido bajo licencia CC
• Una versión en HTML5 de la aplicación anterior.
• La música de David A. Jaffe, incluyendo ejemplos de sonido.