La conjetura de Kemnitz

En la teoría aditiva de números , la conjetura de Kemnitz afirma que todo conjunto de puntos reticulares enteros en el plano tiene un subconjunto grande cuyo centroide también es un punto reticular. Fue demostrada independientemente en el otoño de 2003 por Christian Reiher , entonces estudiante de pregrado, y Carlos di Fiore, entonces estudiante de bachillerato. ^{[ 1 ]}

La formulación exacta de esta conjetura es la siguiente:

Dejar${\displaystyle n}$ser un número natural y${\displaystyle S}$un conjunto de${\displaystyle 4n-3}$puntos de la red en el plano. Entonces existe un subconjunto${\displaystyle S_{1}\subsetequ S}$con${\displaystyle n}$puntos tales que el centroide de todos los puntos de${\displaystyle S_{1}}$También es un punto de la red.

La conjetura de Kemnitz fue formulada en 1983 por Arnfried Kemnitz ^{[ 2 ]} como una generalización del teorema de Erdős-Ginzburg-Ziv , un resultado análogo unidimensional que establece que todo${\displaystyle 2n-1}$Los enteros tienen un subconjunto de tamaño${\displaystyle n}$cuyo promedio es un número entero. ^{[ 3 ]} En 2000, Lajos Rónyai demostró una forma debilitada de la conjetura de Kemnitz para conjuntos con${\displaystyle 4n-2}$puntos de la red. ^{[ 4 ]} Luego, en 2003, Christian Reiher demostró la conjetura completa utilizando el teorema de Chevalley-Warning . ^{[ 5 ]}

• Gao, WD; Thangadurai, R. (2004). "Una variante de la conjetura de Kemnitz". Revista de teoría combinatoria . Serie A. 107 (1): 69– 86. doi : 10.1016/j.jcta.2004.03.009 .