Métrica de Kerr-Newman

La métrica de Kerr-Newman describe la geometría del espaciotiempo alrededor de una masa cargada eléctricamente y en rotación. Es una solución de vacío que generaliza la métrica de Kerr (que describe una masa sin carga en rotación) al considerar adicionalmente la energía de un campo electromagnético , lo que la convierte en la solución asintóticamente plana y estacionaria más general de las ecuaciones de Einstein-Maxwell en la relatividad general . Como solución de electrovacío , solo incluye las cargas asociadas al campo magnético; no incluye ninguna carga eléctrica libre.

La métrica de Kerr-Newman es principalmente de interés teórico. Los objetos astronómicos poseen ejes de rotación y de campos magnéticos, pero la métrica solo es válida para ejes alineados. El modelo carece de una descripción de la materia bariónica en caída , la materia ligera ( polvo nulo ) o la materia oscura , y por lo tanto proporciona una descripción incompleta de los agujeros negros de masa estelar y los núcleos galácticos activos . Sin embargo, la solución es de interés matemático y constituye una base relativamente sencilla para futuras investigaciones.

En diciembre de 1963, Roy Kerr y Alfred Schild encontraron las métricas de Kerr-Schild que proporcionaban todos los espacios de Einstein que son perturbaciones lineales exactas del espacio de Minkowski . A principios de 1964, Kerr buscó todos los espacios de Einstein-Maxwell con esta misma propiedad. Para febrero de 1964, se conocía el caso especial en el que los espacios de Kerr-Schild estaban cargados (incluida la solución de Kerr-Newman), pero el caso general en el que las direcciones especiales no eran geodésicas del espacio de Minkowski subyacente resultó muy difícil. El problema se le encomendó a George Debney para que intentara resolverlo, pero lo abandonó en marzo de 1964. Por esta época, Ezra T. Newman encontró la solución para Kerr cargado por intuición. En 1965, Ezra "Ted" Newman encontró la solución axisimétrica de la ecuación de campo de Einstein para un agujero negro que es a la vez rotatorio y eléctricamente cargado. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Esta fórmula para el tensor métrico se llama métrica de Kerr-Newman. Es una generalización de la métrica de Kerr para una masa puntual giratoria sin carga, que había sido descubierta por Roy Kerr dos años antes. ^{[ 3 ]}

El resultado de Newman representa la solución estacionaria , axisimétrica y asintóticamente plana más simple de las ecuaciones de Einstein en presencia de un campo electromagnético en cuatro dimensiones. A veces se la denomina solución de "electrovacuum" de las ecuaciones de Einstein.

La solución contiene una singularidad en forma de anillo. La estructura multipolar de la solución sugiere que esta representa el campo de un anillo de carga que gira alrededor de su eje de simetría. De manera similar, la solución de Kerr representa el campo de un anillo de masa. Sin embargo, para que esta visión simple sea matemáticamente correcta, la carga (o la masa en el caso de Kerr) debe distribuirse alrededor del anillo singular de la solución para romper el comportamiento multivaluado. ^{[ 1 ]}

Cualquier fuente de Kerr-Newman tiene su eje de rotación alineado con su eje magnético. ^{[ 4 ]} Por lo tanto, una fuente de Kerr-Newman es diferente de los cuerpos astronómicos comúnmente observados, para los cuales existe un ángulo sustancial entre el eje de rotación y el momento magnético . ^{[ 5 ]} Específicamente, ni el Sol ni ninguno de los planetas del Sistema Solar tienen su dipolo de campo magnético alineado con su eje de giro. Así, mientras que la solución de Kerr describe el campo gravitatorio del Sol y los planetas, los campos magnéticos surgen necesariamente por un proceso diferente.

Se puede observar que la métrica de Kerr-Newman se reduce a otras soluciones exactas en la relatividad general en casos límite. Se reduce a ^{[ 6 ] : 61}

• la métrica de Kerr cuando la carga Q tiende a cero;
• la métrica de Reissner-Nordström cuando el momento angular J (o a = J / M ) tiende a cero;
• la métrica de Schwarzschild cuando tanto la carga Q como el momento angular J (o a ) se toman a cero; y
• Espacio de Minkowski si la masa M , la carga Q y el parámetro de rotación a son todos cero.

Las cuatro soluciones relacionadas se pueden resumir en la siguiente tabla:

donde Q es la carga eléctrica del cuerpo y J es su momento angular de giro .

Si se considera que la constante gravitacional G es cero en la solución de Kerr-Newman, se obtiene un campo electromagnético proveniente de un disco cargado en rotación con un límite en un espacio de Minkowski . ^{[ 7 ] [ 8 ]} La solución de Kerr-Newman es un caso especial de soluciones exactas más generales de las ecuaciones de Einstein-Maxwell. Estas soluciones más generales incluyen una constante cosmológica , un parámetro de Newman, Unti y Tamburino (NUT) y una carga magnética . ^{[ 9 ] : 324}

La métrica de Kerr-Newman describe la geometría del espaciotiempo para un agujero negro cargado en rotación con masa M , carga Q y momento angular J. La fórmula de esta métrica depende de las coordenadas o condiciones de coordenadas seleccionadas. A continuación se presentan dos formas: coordenadas de Boyer-Lindquist y coordenadas de Kerr-Schild. La métrica gravitacional por sí sola no es suficiente para determinar una solución a las ecuaciones de campo de Einstein; también se debe proporcionar el tensor de tensión electromagnética. Ambos se incluyen en cada sección.

Una forma de expresar esta métrica es escribiendo su elemento de línea en un conjunto particular de coordenadas esféricas , ^{[ 10 ]} también llamadas coordenadas de Boyer-Lindquist :

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=-\left({\frac {dr^{2}}{\Delta }}+d\theta ^{2}\right)\rho ^{2}+\left(c\,dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}-\left(\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi -ac\,dt\right)^{2}{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}},}$

donde ( r , θ , ϕ ) son coordenadas esféricas estándar y las escalas de longitud:

${\displaystyle a={\frac {J}{Mc}}\,,}$

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \,,}$

${\displaystyle \Delta =r^{2}-r_{\text{s}}r+a^{2}+r_{Q}^{2}\,,}$

Se han introducido por brevedad. Aquí r _s es el radio de Schwarzschild del cuerpo masivo, que está relacionado con su masa total equivalente M mediante

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

donde G es la constante gravitacional y r _Q es una escala de longitud correspondiente a la carga eléctrica Q de la masa.

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \epsilon _{0}c^{4}}},}$

donde ε ₀ es la permitividad del vacío .

La métrica de Kerr-Newman puede expresarse en la forma de Kerr-Schild , utilizando un conjunto particular de coordenadas cartesianas , propuesto por Kerr y Schild en 1965. La métrica es la siguiente. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\!}$

${\displaystyle f={\frac {Gr^{2}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {ry-ax}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {z}{r}}\right)}$

${\displaystyle k_{0}=1.\!}$

Aquí, k es un vector unitario . Aquí M es la masa constante del objeto giratorio, Q es la carga constante del objeto giratorio, η es la métrica de Minkowski y a  = J / M es un parámetro de rotación constante del objeto giratorio. Se entiende que el vector ${\displaystyle {\vec {a}}}$está dirigida a lo largo del eje z positivo, es decir${\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {z}}}$La cantidad r no es el radio, sino que está implícitamente definida por la relación

${\displaystyle 1={\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}.}$

La cantidad r se convierte en el radio habitual R.

${\displaystyle r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

cuando el parámetro de rotación a se aproxima a cero. En esta forma de solución, las unidades se seleccionan de modo que la velocidad de la luz sea unitaria ( c = 1 ). Para proporcionar una solución completa de las ecuaciones de Einstein-Maxwell , la solución de Kerr-Newman no solo incluye una fórmula para el tensor métrico, sino también una fórmula para el potencial electromagnético: ^{[ 13 ] [ 16 ]}

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Qr^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}k_{\mu }}$

A grandes distancias de la fuente ( R ≫ a ), estas ecuaciones se reducen a la métrica de Reissner-Nordström con:

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Q}{R}}k_{\mu }}$

En la forma de Kerr-Schild de la métrica de Kerr-Newman, el determinante del tensor métrico es igual a menos uno en todas partes, incluso cerca de la fuente. ^{[ 9 ]}

La masa total equivalente M , que contiene la energía del campo eléctrico y la energía rotacional , y la masa irreducible M _irr están relacionadas por ^{[ 19 ] [ 20 ].}

${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2M^{2}-r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-(r_{Q}^{2}+a^{2})c^{4}/G^{2}}}}}}$

que se puede resolver para obtener

${\displaystyle M={\frac {4M_{\rm {irr}}^{2}+r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}}{2{\sqrt {4M_{\rm {irr}}^{2}-a^{2}c^{4}/G^{2}}}}}}$

Para cargar eléctricamente y/o hacer girar un cuerpo neutro y estático, se debe aplicar energía al sistema. Debido a la equivalencia masa-energía , esta energía también tiene un equivalente de masa; por lo tanto, M siempre es mayor que M _irr . Si, por ejemplo, la energía rotacional de un agujero negro se extrae mediante los procesos de Penrose , ^{[ 21 ] [ 22 ]} la masa-energía restante siempre permanecerá mayor o igual que M _irr .

Configuración${\displaystyle 1/g_{rr}}$a 0 y resolviendo para${\displaystyle r}$proporciona el horizonte de eventos interno y externo , que se encuentra en la coordenada de Boyer-Lindquist.

${\displaystyle r_{\text{H}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}-r_{Q}^{2}}}.}$

Repitiendo este paso con${\displaystyle g_{tt}}$proporciona la ergosuperficie interna y externa

${\displaystyle r_{\text{E}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}\cos ^{2}\theta -r_{Q}^{2}}}.}$

La región comprendida entre el horizonte de sucesos y la ergosfera se denomina ergosfera . Dentro de la ergosfera, todos los conos de luz locales están inclinados en la dirección de rotación. ^{[ 8 ] : 18}

Para mayor brevedad, utilizamos además cantidades adimensionales normalizadas con respecto a ${\displaystyle G}$,${\displaystyle M}$,${\displaystyle c}$y${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$, dónde${\displaystyle a}$se reduce a${\displaystyle Jc/G/M^{2}}$y${\displaystyle Q}$a${\textstyle Q/(M{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}})}$y las ecuaciones de movimiento para una partícula de prueba de carga${\displaystyle q}$convertirse ^{[ 23 ] [ 24 ]}

${\displaystyle {\dot {t}}\Delta \rho ^{2}=\csc ^{2}\theta \ ({L_{z}}(a\ \Delta \sin ^{2}\theta -a\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta +E((a^{2}+r^{2})^{2}\sin ^{2}\theta -a^{2}\Delta \sin ^{4}\theta ))}$

${\displaystyle {\dot {r}}\rho ^{2}=\pm \left(((r^{2}+a^{2})\ E-a\ L_{z}-q\ Q\ r)^{2}-\Delta \ (C+r^{2})\right)^{1/2}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}\rho ^{2}=\pm \left(C-(a\cos \theta )^{2}-(a\ \sin ^{2}\theta \ E-L_{z})^{2}/\sin ^{2}\theta \right)^{1/2}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}\rho ^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta =E\ (a\ \sin ^{2}\theta \ (r^{2}+a^{2})-a\ \sin ^{2}\theta \ \Delta )+L_{z}\ (\Delta -a^{2}\ \sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ a\ \sin ^{2}\theta }$

con${\displaystyle E}$para la energía total y${\displaystyle L_{z}}$para el momento angular axial.${\displaystyle C}$es la constante de Carter :

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}\delta +L_{z}^{2}\ \tan ^{2}\delta ={\rm {const}},}$

dónde${\displaystyle p_{\theta }={\dot {\theta }}\ \rho ^{2}}$es la componente poloidal del momento angular de la partícula de prueba, y${\displaystyle \delta }$el ángulo de inclinación orbital.

${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }=-g_{\phi \phi }{\dot {\phi }}-g_{t\phi }{\dot {t}}-q\ A_{\phi }={\frac {v^{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}}+{\frac {(1-\mu ^{2}v^{2})\ a\ r\ \mho \ q\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}={\rm {const.}}}$

y

${\displaystyle E=-p_{t}=g_{tt}{\dot {t}}+g_{t\phi }{\dot {\phi }}+q\ A_{t}={\sqrt {\frac {\Delta \ \rho ^{2}}{(1-\mu ^{2}v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}+{\frac {\mho \ q\ r}{\Sigma }}={\rm {const.}}}$

con${\displaystyle \mu ^{2}=0}$y${\displaystyle \mu ^{2}=1}$porque las partículas también son cantidades conservadas.

${\displaystyle \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {a\left(2r-Q^{2}\right)}{\chi }}}$

es la velocidad angular inducida por el arrastre del marco. El término abreviado${\displaystyle \chi }$se define por

${\displaystyle \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta .}$

La relación entre las derivadas de coordenadas${\displaystyle {\dot {r}},\ {\dot {\theta }},\ {\dot {\phi }}}$y la velocidad 3 local${\displaystyle v}$es

${\displaystyle v^{r}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}{\Delta }}}}$

para el radial,

${\displaystyle v^{\theta }={\dot {\theta }}\ {\sqrt {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}}}$

para el poloidal,

${\displaystyle v^{\phi }={\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}\left(L_{z}\ \Sigma -a\ q\ Q\ r\left(1-\mu ^{2}v^{2}\right)\sin ^{2}\theta \right)\cdot ({\bar {R}}\ \Sigma )^{-1}}$

para el axial y

${\displaystyle v={\frac {\sqrt {{\dot {t}}^{2}-\varsigma ^{2}}}{\dot {t}}}={\sqrt {\frac {\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}-\Delta \ \rho ^{2}}{\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}}}}}$

para la velocidad local total, donde

${\displaystyle {\bar {R}}={\sqrt {-g_{\phi \phi }}}={\sqrt {\frac {\chi }{\rho ^{2}}}}\ \sin \theta }$

es el radio de giro axial (circunferencia local dividida por 2π), y

${\displaystyle \varsigma ={\sqrt {g^{tt}}}={\frac {\chi }{\Delta \ \rho ^{2}}}}$

el componente de dilatación del tiempo gravitacional. Por lo tanto, la velocidad de escape radial local para una partícula neutra es

${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }}.}$

Para el conjunto de parámetros${\displaystyle M^{2}-(J/M)^{2}-Q^{2}=0}$La solución se llama "extremal"; en el régimen superextremal,${\displaystyle M^{2}-(J/M)^{2}-Q^{2}<0}$, no hay horizonte de sucesos y la singularidad interior es observable como una singularidad desnuda . Es decir, la métrica de Kerr-Newman define un agujero negro con un horizonte de sucesos solo cuando la carga y el momento angular combinados son suficientemente pequeños en comparación con la masa. ^{[ 8 ]}

El parámetro rotacional a y la escala de longitud de carga r _Q de un electrón superan con creces su radio de Schwarzschild r _s , lo que implica que no hay horizonte de sucesos, por lo que un "electrón de agujero negro" sería necesariamente una singularidad de anillo giratorio desnudo . ^{[ 25 ]} Dicha métrica tiene varias propiedades aparentemente no físicas, como la violación por parte del anillo de la hipótesis de censura cósmica y la aparición de curvas temporales cerradas que violan la causalidad en la proximidad inmediata del anillo. ^{[ 11 ]}

En un análisis de la solución de Kerr-Newman para un cuerpo cargado en rotación, Brandon Carter señaló que las soluciones predicen una relación giromagnética de 2, igual a la predicha por la ecuación de Dirac cuántico-mecánica relativista , y cercana a la observada experimentalmente para el electrón . ^{[ 11 ] : 1562} Esto llevó a la aplicación de la métrica de Kerr-Newman para crear modelos no cuánticos del electrón basados ​​en la relatividad general. El electrón y todas las partículas similares tienen grandes relaciones carga-masa, que tienen parámetros de Kerr-Newman en el régimen donde no hay horizonte de sucesos pero sí una singularidad desnuda. ^{[ 26 ] [ 27 ] : 2442} Por ejemplo, para el electrón la relación carga-masa 2 r _Q / r _s ≈ 10 ²¹ y los efectos de espín son ambos órdenes de magnitud mayores que este límite. ^{[ 28 ]}

Si se considera el potencial de Kerr-Newman como un modelo clásico para un electrón, predice que este posee no solo un momento dipolar magnético, sino también otros momentos multipolares, como un momento cuadrupolar eléctrico. ^{[ 8 ]} Sin embargo, no se han reportado mediciones experimentales de dicho momento cuadrupolar. ^{[ 28 ]}

• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: The University of Chicago Press. pp. 312–324 . ISBN  978-0-226-87032-8.

• Adamo, Tim; Newman, Ezra (2014). "Métrica de Kerr-Newman" . Scholarpedia . 9 (10) 31791. arXiv : 1410.6626 . Bibcode : 2014SchpJ...931791N . doi : 10.4249/scholarpedia.31791 .Coescrito por Ezra T. Newman
• SR Made Easy, capítulo 11: Agujeros negros cargados y en rotación y su termodinámica