Helicidad hidrodinámica

En dinámica de fluidos , la helicidad es, bajo condiciones apropiadas, un invariante de las ecuaciones de Euler para el flujo de fluidos, con una interpretación topológica como medida de la vinculación y/o el anudamiento de las líneas de vórtice en el flujo. Esto fue demostrado por primera vez por Jean-Jacques Moreau en 1961 ^{[ 1 ]} y Moffatt lo derivó en 1969 sin conocer el trabajo de Moreau . Este invariante de helicidad es una extensión del teorema de Woltjer para la helicidad magnética .

Dejar${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$sea ​​el campo de velocidad y${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {u} }$el campo de vorticidad correspondiente . Bajo las siguientes tres condiciones, las líneas de vórtice se transportan con (o se "congelan") el flujo: (i) el fluido es no viscoso ; (ii) o bien el flujo es incompresible (${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$), o es compresible con una relación barotrópica${\displaystyle p=p(\rho )}$entre la presión p y la densidad ρ ; y (iii) cualquier fuerza de cuerpo que actúe sobre el fluido es conservativa . Bajo estas condiciones, cualquier superficie cerrada S cuyos vectores normales sean ortogonales a la vorticidad (es decir,${\displaystyle \mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\omega }}=0}$) es, al igual que la vorticidad, transportada con el flujo.

Sea V el volumen dentro de dicha superficie. Entonces, la helicidad en V , denotada por H , se define mediante la integral de volumen.

$${\displaystyle H=\int _{V}\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dV.}$$

Para una distribución de vorticidad localizada en un fluido ilimitado, V puede considerarse como todo el espacio, y H es entonces la helicidad total del flujo. H es invariante precisamente porque las líneas de vórtice están congeladas en el flujo y su conexión y/o nudo se conserva, como reconoció Lord Kelvin (1868). La helicidad es una magnitud pseudoescalar: cambia de signo al cambiar de un sistema de referencia diestro a uno zurdo; puede considerarse como una medida de la quiralidad del flujo. La helicidad es uno de los cuatro invariantes integrales conocidos de las ecuaciones de Euler; los otros tres son la energía , el momento y el momento angular .

Para dos tubos de vórtice unidos sin nudos que tienen circulaciones${\displaystyle \kappa _{1}}$y${\displaystyle \kappa _{2}}$y sin torsión interna, la helicidad viene dada por${\displaystyle H=\pm 2n\kappa _{1}\kappa _{2}}$donde n es el número de enlace de Gauss de los dos tubos, y el signo más o menos se elige según si el enlace es dextrógiro o levógiro. Para un solo tubo de vórtice anudado con circulación${\displaystyle \kappa }$, entonces, como lo demuestran Moffatt y Ricca (1992), la helicidad viene dada por${\displaystyle H=\kappa ^{2}(Wr+Tw)}$, dónde${\displaystyle Wr}$y${\displaystyle Tw}$son el retorcimiento y la torsión del tubo; la suma${\displaystyle Wr+Tw}$Se sabe que permanece invariable bajo deformación continua del tubo.

La invariancia de la helicidad constituye una piedra angular esencial de la dinámica de fluidos topológica y la magnetohidrodinámica , disciplinas que se ocupan de las propiedades globales de los flujos y sus características topológicas.

En meteorología , ^{[ 2 ]} la helicidad corresponde a la transferencia de vorticidad del entorno a una parcela de aire en movimiento convectivo . Aquí, la definición de helicidad se simplifica para usar solo la componente horizontal del viento y la vorticidad , e integrar solo en la dirección vertical, reemplazando la integral de volumen con una integral definida unidimensional o integral de línea :

$${\displaystyle H=\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}\mathbf {V} _{h}\cdot {\boldsymbol {\zeta }}_{h}\,dZ=\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}\mathbf {V} _{h}\cdot \left(\nabla \times \mathbf {V} _{h}\right)dZ,}$$

dónde

• ⁠${\displaystyle Z}$es la altitud,
• ⁠${\displaystyle \mathbf {V} _{h}}$es la velocidad horizontal,
• ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}_{h}}$es la vorticidad horizontal.

Según esta fórmula, si el viento horizontal no cambia de dirección con la altitud , H será cero como${\displaystyle V_{h}}$y${\displaystyle \nabla \times V_{h}}$son perpendiculares , lo que hace que su producto escalar sea nulo. H es entonces positivo si el viento cambia de dirección (gira en el sentido de las agujas del reloj ) con la altitud y negativo si cambia de dirección (gira en sentido contrario a las agujas del reloj ). Esta helicidad utilizada en meteorología tiene unidades de energía por unidad de masa [m² ^/ s² ^] y, por lo tanto, se interpreta como una medida de la transferencia de energía por la cizalladura del viento con la altitud, incluyendo la direccional.

Esta noción se utiliza para predecir la posibilidad de desarrollo de tornados en una nube de tormenta . En este caso, la integración vertical se limitará por debajo de las cimas de las nubes (generalmente 3  km o 10 000 pies) y el viento horizontal se calculará como viento relativo a la tormenta restando su movimiento:

$${\displaystyle \mathrm {SRH} =\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}\left(\mathbf {V} _{h}-\mathbf {C} \right)\cdot \left(\nabla \times \mathbf {V} _{h}\right)\,dZ}$$ donde​${\displaystyle \mathbf {C} }$es el movimiento de la nube en relación con el suelo.

Los valores críticos de SRH ( Helicidad Relativa a la Tormenta ) para el desarrollo de tornados, según la investigación realizada en América del Norte , ^{[ 3 ]} son:

• SRH = 150-299 ... supercélulas posibles con tornados débiles según la escala Fujita
• SRH = 300-499 ... muy favorable para el desarrollo de supercélulas y tornados fuertes
• SRH > 450 ... tornados violentos
• Cuando se calcula solo por debajo de 1  km (4000 pies), el valor límite es 100.

La helicidad en sí misma no es el único componente de las tormentas severas , y estos valores deben tomarse con precaución. ^{[ 4 ]} Por eso se creó el Índice de Helicidad Energética ( EHI ). Es el resultado de multiplicar la SRH por la CAPE ( Energía Potencial Disponible Convectiva ) y luego dividirla por un umbral de CAPE:

$${\displaystyle \mathrm {EHI} ={\frac {\mathrm {CAPE} \times \mathrm {SRH} }{\text{160,000}}}}$$

Esto incorpora no solo la helicidad sino también la energía de la masa de aire y, por lo tanto, intenta eliminar el potencial débil para tormentas eléctricas incluso en regiones con fuerte SRH. Los valores críticos de EHI:

• EHI = 1 ... posibles tornados
• EHI = 1-2 ... tornados de moderados a fuertes
• EHI > 2 ... tornados fuertes