Torsión (geometría diferencial)

En geometría diferencial , la torsión de una cinta es su velocidad de rotación axial . Sea una cinta${\displaystyle (X,U)}$estar compuesto de una curva espacial ,${\displaystyle X=X(s)}$, dónde${\displaystyle s}$es la longitud del arco de${\displaystyle X}$, y${\displaystyle U=U(s)}$un vector normal unitario , perpendicular en cada punto a${\displaystyle {\partial X(s) \over \partial s}(s)}$. Desde la cinta${\displaystyle (X,U)}$tiene bordes${\displaystyle X}$y${\displaystyle X'=X+\varepsilon U}$, el giro (o número total de giros )${\displaystyle Tw}$mide el enrollamiento promedio de la curva del borde${\displaystyle X'}$alrededor y a lo largo de la curva axial${\displaystyle X}$Según Love (1944), el giro argumental se define por:

${\displaystyle Tw={\dfrac {1}{2\pi }}\int \left(U\times {\dfrac {dU}{ds}}\right)\cdot {\dfrac {dX}{ds}}ds\;,}$

dónde${\displaystyle dX/ds}$es el vector tangente unitario a${\displaystyle X}$. El número total de giros${\displaystyle Tw}$puede descomponerse (Moffatt y Ricca 1992) en torsión total normalizada${\displaystyle T\in [0,1)}$y giro intrínseco${\displaystyle N\in \mathbb {Z} }$como

${\displaystyle Tw={\dfrac {1}{2\pi }}\int \tau \;ds+{\dfrac {\left[\Theta \right]_{X}}{2\pi }}=T+N\;,}$

dónde${\displaystyle \tau =\tau (s)}$es la torsión de la curva espacial${\displaystyle X}$, y${\displaystyle \left[\Theta \right]_{X}}$denota el ángulo de rotación total de${\displaystyle U}$a lo largo de${\displaystyle X}$. Ni${\displaystyle N}$ni${\displaystyle Tw}$son independientes del campo de cinta${\displaystyle U}$. En cambio, solo la torsión normalizada${\displaystyle T}$es un invariante de la curva${\displaystyle X}$(Banchoff y White, 1975).

Cuando la cinta se deforma de manera que pasa por un estado de inflexión (es decir,${\displaystyle X}$ tiene un punto de inflexión ), la torsión${\displaystyle \tau }$se vuelve singular. La torsión total${\displaystyle T}$saltos por${\displaystyle \pm 1}$y el ángulo total${\displaystyle N}$simultáneamente realiza un salto igual y opuesto de${\displaystyle \mp 1}$(Moffatt y Ricca 1992) y${\displaystyle Tw}$permanece continuo. Este comportamiento tiene muchas consecuencias importantes para las consideraciones energéticas en muchos campos de la ciencia (Ricca 1997, 2005; Goriely 2006).

Junto con el retorcimiento${\displaystyle Wr}$de${\displaystyle X}$La torsión es una magnitud geométrica que desempeña un papel importante en la aplicación de la fórmula de Călugăreanu–White–Fuller.${\displaystyle Lk=Wr+Tw}$en dinámica de fluidos topológica (por su estrecha relación con la helicidad cinética y magnética de un campo vectorial), teoría física de nudos y análisis de complejidad estructural .

• Banchoff, TF y White, JH (1975) El comportamiento de la torsión total y el número de autoenlace de una curva espacial cerrada bajo inversiones. Math. Scand. 36 , 254–262.
• Goriely, A. (2006) Anillos elásticos retorcidos y el redescubrimiento de la inestabilidad de Michell. J Elasticity 84 , 281-299.
• Love, AEH (1944) Tratado sobre la teoría matemática de la elasticidad . Dover, 4.ª ed., Nueva York.
• Moffatt, HK y Ricca, RL (1992) Helicidad y el invariante de Calugareanu. Proc. R. Soc. London A 439 , 411-429. También en: (1995) Nudos y aplicaciones (ed. LH Kauffman), pp. 251-269. World Scientific.
• Ricca, RL (1997) Evolución e inestabilidad inflexional de tubos de flujo magnético retorcidos. Solar Physics 172 , 241-248.
• Ricca, RL (2005) Desequilibrio inflexional de tubos de flujo magnético. Fluid Dynamics Research 36 , 319-332.