Modelo de Beltrami-Klein

En geometría, el modelo de Beltrami-Klein , también llamado modelo proyectivo , modelo de disco de Klein y modelo de Cayley-Klein , es un modelo de geometría hiperbólica en el que los puntos están representados por los puntos en el interior del disco unitario (o bola unitaria n- dimensional ) y las líneas están representadas por las cuerdas , segmentos de línea recta con puntos finales ideales en la esfera límite .

Es análogo a la proyección gnomónica de la geometría esférica , en el sentido de que las geodésicas ( círculos máximos en la geometría esférica) se transforman en líneas rectas.

Este modelo no es conforme : los ángulos no se representan fielmente y los círculos se convierten en elipses , cada vez más aplanadas cerca del borde. Esto contrasta con el modelo del disco de Poincaré , que sí es conforme. Sin embargo, en el modelo de Poincaré, las líneas no se representan mediante segmentos rectos, sino mediante arcos que intersectan el borde ortogonalmente .

El modelo Beltrami-Klein recibe su nombre del geómetra italiano Eugenio Beltrami y del alemán Felix Klein , mientras que "Cayley" en el modelo Cayley-Klein hace referencia al geómetra inglés Arthur Cayley .

Este modelo apareció por primera vez en geometría hiperbólica en dos memorias de Eugenio Beltrami publicadas en 1868, primero para dimensión n = 2 y luego para n general , y estos ensayos demostraron la equiconsistencia de la geometría hiperbólica con la geometría euclidiana ordinaria . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Los trabajos de Beltrami pasaron prácticamente desapercibidos hasta hace poco, y el modelo recibió el nombre de Klein ("El modelo de disco de Klein"). En 1859, Arthur Cayley utilizó la definición de ángulo mediante la razón antagónica, debida a Laguerre, para demostrar cómo se podía definir la geometría euclidiana utilizando la geometría proyectiva . ^{[ 4 ]} Su definición de distancia se conoció posteriormente como la métrica de Cayley .

En 1869, el joven (veinteañero) Felix Klein conoció la obra de Cayley. Recordó que en 1870 dio una charla sobre la obra de Cayley en el seminario de Weierstrass y escribió:

"Terminé con una pregunta sobre si podría existir una conexión entre las ideas de Cayley y Lobachevsky . Me respondieron que estos dos sistemas estaban conceptualmente muy separados." ^{[ 5 ]}

Más tarde, Felix Klein se dio cuenta de que las ideas de Cayley dan lugar a un modelo proyectivo del plano no euclidiano. ^{[ 6 ]}

Como lo expresa Klein, «Me dejé convencer por estas objeciones y dejé de lado esta idea ya madura». Sin embargo, en 1871, retomó esta idea, la formuló matemáticamente y la publicó. ^{[ 7 ]}

La función de distancia para el modelo de Beltrami-Klein es una métrica de Cayley-Klein . Dados dos puntos distintos p y q en la bola unitaria abierta, la única línea recta que los conecta interseca el límite en dos puntos ideales , a y b , etiquetémoslos de manera que los puntos sean, en orden, a , p , q , b , de modo que | aq | > | ap | y | pb | > | qb | .

La distancia hiperbólica entre p y q es entonces:${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}}$

Las barras verticales indican las distancias euclidianas entre los puntos del modelo, donde ln es el logaritmo natural y se necesita un factor de un medio para darle al modelo la curvatura estándar de − 1.

Cuando uno de los puntos es el origen y la distancia euclidiana entre los puntos es r, entonces la distancia hiperbólica es:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r,}$

donde artanh es la función hiperbólica inversa de la tangente hiperbólica .

En dos dimensiones, el modelo de Beltrami-Klein se denomina modelo de disco de Klein . Se trata de un disco cuyo interior representa el plano hiperbólico completo . Las líneas en este modelo están representadas por cuerdas del círculo límite (también llamado círculo absoluto ). Los puntos sobre el círculo límite se denominan puntos ideales ; aunque están bien definidos , no pertenecen al plano hiperbólico. Los puntos fuera del disco tampoco pertenecen al plano hiperbólico y, a veces, se denominan puntos ultraideales .

El modelo no es conforme , lo que significa que los ángulos se distorsionan y, en general, los círculos en el plano hiperbólico no son circulares. Solo los círculos cuyo centro coincide con el centro del círculo límite no se distorsionan. Todos los demás círculos se distorsionan, al igual que los horociclos e hiperciclos .

Círculos, hiperciclos y horociclos

Si bien las líneas en el plano hiperbólico se proyectan fácilmente en el modelo de disco de Klein, los círculos, los hiperciclos y los horociclos no lo son.

En el modelo, los círculos que no son concéntricos se convierten en elipses, aumentando su excentricidad cerca del borde. Los ángulos, hiperciclos y horociclos del modelo de disco de Klein también se deforman.

Para construcciones en el plano hiperbólico que contienen círculos, hiperciclos, horociclos o ángulos no rectos, quizás sea más conveniente utilizar el modelo del disco de Poincaré o el modelo del semiplano de Poincaré .

Relación con el modelo del disco de Poincaré

Tanto el modelo del disco de Poincaré como el de Klein son modelos del plano hiperbólico. Una ventaja del modelo del disco de Poincaré es que es conforme (los círculos y los ángulos no se distorsionan); una desventaja es que las líneas rectas se proyectan en arcos circulares ortogonales al círculo límite del disco.

Los dos modelos están relacionados mediante una proyección sobre o desde el modelo del hemisferio . El modelo de Klein es una proyección ortográfica al modelo del hemisferio, mientras que el modelo del disco de Poincaré es una proyección estereográfica .

Las líneas rectas siempre intersecan el límite circular de los dos modelos en el mismo punto, independientemente del modelo que se utilice. Además, el polo de la cuerda es el centro del círculo que contiene el arco .

Si P es un punto a una distancia${\displaystyle s}$Desde el centro del círculo unitario en el modelo de Beltrami-Klein, entonces el punto correspondiente en el modelo del disco de Poincaré está a una distancia u en el mismo radio:

${\displaystyle u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s^{2}}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s^{2}}}\right)}{s}}.}$

Por el contrario, si P es un punto a una distancia${\displaystyle u}$Desde el centro del círculo unitario en el modelo del disco de Poincaré, el punto correspondiente del modelo de Beltrami-Klein se encuentra a una distancia s sobre el mismo radio:

${\displaystyle s={\frac {2u}{1+u^{2}}}.}$

Dados dos puntos distintos U y V en la bola unitaria abierta del modelo en el espacio euclidiano , la única línea recta que los conecta interseca la esfera unitaria en dos puntos ideales A y B , etiquetados de manera que los puntos son, en orden a lo largo de la línea, A , U , V , B. Tomando el centro de la bola unitaria del modelo como origen, y asignando vectores de posición u , v , a , b respectivamente a los puntos U , V , A , B , tenemos que ‖a − v‖ > ‖a − u‖ y ‖u − b‖ > ‖v − b‖ , donde ‖ · ‖ denota la norma euclidiana . Entonces , la distancia entre U y V en el espacio hiperbólico modelado se expresa como

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\left\|\mathbf {v} -\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} -\mathbf {u} \right\|}{\left\|\mathbf {u} -\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} -\mathbf {v} \right\|}},}$

donde se necesita el factor de un medio para hacer la curvatura − 1. 

El tensor métrico asociado viene dado por ^{[ 12 ] [ 13 ]}

${\displaystyle ds^{2}=g(\mathbf {x} ,d\mathbf {x} )={\frac {\left\|d\mathbf {x} \right\|^{2}}{1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2}}}+{\frac {(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2}}{{\bigl (}1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2}{\bigr )}^{2}}}={\frac {(1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2})\left\|d\mathbf {x} \right\|^{2}+(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2}}{{\bigl (}1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2}{\bigr )}^{2}}}}$

El modelo hiperboloide es un modelo de geometría hiperbólica dentro del espacio de Minkowski de ( n + 1) dimensiones . El producto interno de Minkowski viene dado por

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\cdots -x_{n}y_{n}\,}$

y la norma por${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}}$El plano hiperbólico se incrusta en este espacio como los vectores x con ‖ x ‖ = 1 y x ₀ (el "componente temporal") positivo. La distancia intrínseca (en la incrustación) entre los puntos u y v viene dada por

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ).}$

Esto también puede escribirse en forma homogénea.

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} \left({\frac {\mathbf {u} }{\left\|\mathbf {u} \right\|}}\cdot {\frac {\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {v} \right\|}}\right),}$

lo que permite reescalar los vectores para mayor comodidad.

El modelo de Beltrami-Klein se obtiene a partir del modelo hiperboloide reescalando todos los vectores de modo que la componente temporal sea 1, es decir, proyectando la incrustación hiperboloide que pasa por el origen sobre el plano x ₀ = 1. La función de distancia, en su forma homogénea, permanece inalterada. Dado que las líneas intrínsecas (geodésicas) del modelo hiperboloide son la intersección de la incrustación con planos que pasan por el origen de Minkowski, las líneas intrínsecas del modelo de Beltrami-Klein son las cuerdas de la esfera.

Tanto el modelo de la bola de Poincaré como el modelo de Beltrami-Klein son modelos del espacio hiperbólico n -dimensional en la bola unitaria n- dimensional en R ⁿ . Si${\displaystyle u}$es un vector de norma menor que uno que representa un punto del modelo del disco de Poincaré, entonces el punto correspondiente del modelo de Beltrami-Klein viene dado por

${\displaystyle s={\frac {2u}{1+u\cdot u}}.}$

Por el contrario, a partir de un vector${\displaystyle s}$de norma menor que uno que representa un punto del modelo de Beltrami-Klein, el punto correspondiente del modelo del disco de Poincaré viene dado por

${\displaystyle u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s\cdot s}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s\cdot s}}\right)s}{s\cdot s}}.}$

Dados dos puntos en el borde del disco unitario, denominados puntos ideales , la línea recta que los conecta en el modelo de Beltrami-Klein es la cuerda entre ellos, mientras que en el modelo de Poincaré, la línea es un arco circular en el subespacio bidimensional generado por los vectores de los dos puntos del borde, que intersecta el borde de la esfera en ángulo recto. Ambos modelos están relacionados mediante una proyección desde el centro del disco; un rayo que parte del centro y pasa por un punto de la línea de un modelo pasa por el punto correspondiente de la línea en el otro modelo.

• Modelo de semiplano de Poincaré
• modelo de disco de Poincaré
• Métrica de Poincaré
• Geometría inversa

• Luis Santaló (1961), Geometrias no Euclidianas , EUDEBA.
• Stahl, Saul (2007), Una puerta de entrada a la geometría moderna: El semiplano de Poincaré (2.ª  ed.), Jones & Bartlett Learning, ISBN 978-0-7637-5381-8
• Nielsen, Frank; Nock, Richard (2009), "Diagramas de Voronoi hiperbólicos simplificados", Conferencia Internacional de 2010 sobre Ciencia Computacional y sus Aplicaciones , págs. 74–80 , arXiv : 0903.3287 , doi : 10.1109/ICCSA.2010.37 , ISBN  978-1-4244-6461-6, S2CID 14129082