Polinomio de nudos

En el campo matemático de la teoría de nudos , un polinomio de nudos es un invariante de nudos en forma de polinomio cuyos coeficientes codifican algunas de las propiedades de un nudo dado .

El primer polinomio de nudos, el polinomio de Alexander , fue introducido por James Waddell Alexander II en 1923. Otros polinomios de nudos no se descubrieron hasta casi 60 años después.

En la década de 1960, John Conway propuso una relación de nudos para una versión del polinomio de Alexander, generalmente conocida como el polinomio de Alexander-Conway . La importancia de esta relación no se comprendió hasta principios de la década de 1980, cuando Vaughan Jones descubrió el polinomio de Jones . Esto condujo al descubrimiento de más polinomios de nudos, como el llamado polinomio HOMFLY .

Poco después del descubrimiento de Jones, Louis Kauffman observó que el polinomio de Jones podía calcularse mediante una función de partición (modelo de suma de estados), que involucraba el polinomio de corchetes , un invariante de nudos enmarcados . Esto abrió nuevas vías de investigación que vinculaban la teoría de nudos con la mecánica estadística .

A finales de la década de 1980, se produjeron dos avances relacionados. Edward Witten demostró que el polinomio de Jones, y otros invariantes similares de tipo Jones, tenían una interpretación en la teoría de Chern-Simons . Viktor Vasilyev y Mikhail Goussarov iniciaron la teoría de los invariantes de tipo finito de nudos. Se sabe que los coeficientes de los polinomios mencionados anteriormente son de tipo finito (quizás tras un "cambio de variables" adecuado).

En los últimos años, se ha demostrado que el polinomio de Alexander está relacionado con la homología de Floer . La característica de Euler graduada de la homología de nudos de Floer de Peter Ozsváth y Zoltan Szabó es el polinomio de Alexander.

La notación de Alexander-Briggs organiza los nudos según su número de cruce.

Los polinomios de Alexander y los polinomios de Conway no pueden reconocer la diferencia entre el nudo de trébol izquierdo y el nudo de trébol derecho, mientras que el polinomio de Jones sí puede.

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  El nudo de trébol izquierdo.
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  El nudo de trébol derecho.

Así que tenemos la misma situación que el nudo de la abuela y el nudo cuadrado, ya que la adición de nudos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$es el producto de nudos en polinomios de nudos .

• Adams, Colin. El libro de los nudos . Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8050-7380-9.
• Lickorish, WBR (1997). Introducción a la teoría de nudos . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  175. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98254-X.