Relación de la madeja

Las relaciones de nudos son una herramienta matemática utilizada para estudiar nudos . Una cuestión central en la teoría matemática de nudos es si dos diagramas de nudos representan el mismo nudo. Una forma de responder a esta pregunta es mediante polinomios de nudos , que son invariantes del nudo . Si dos diagramas tienen polinomios diferentes , representan nudos diferentes. Sin embargo, lo contrario no es cierto.

Las relaciones de skein se utilizan a menudo para dar una definición sencilla de los polinomios de nudos. Una relación de skein establece una relación lineal entre los valores de un polinomio de nudos en un conjunto de tres enlaces que difieren entre sí solo en una pequeña región. Para algunos polinomios de nudos, como los de Conway , Alexander y Jones , las relaciones de skein pertinentes son suficientes para calcular el polinomio de forma recursiva .

Una relación de madeja requiere tres diagramas de enlace idénticos, excepto en un punto de intersección. Estos tres diagramas deben representar las tres posibilidades que podrían darse para los dos segmentos de línea en dicho punto: una de las líneas podría pasar por debajo, la otra por encima o ninguna podría cruzarse. Es fundamental considerar los diagramas de enlace, ya que un solo cambio en la madeja puede transformar un diagrama, pasando de representar un nudo a representar un enlace, y viceversa. Dependiendo del polinomio de nudos en cuestión, los enlaces (o enredos) que aparecen en una relación de madeja pueden estar orientados o no.

Los tres diagramas están etiquetados de la siguiente manera. Gire el diagrama de tres enlaces de modo que las direcciones en el cruce en cuestión apunten aproximadamente hacia el norte. Un diagrama tendrá noroeste sobre noreste, y está etiquetado como L ₋ . Otro tendrá noreste sobre noroeste, y es L ₊ . El diagrama restante no tiene ese cruce y está etiquetado como L ₀ .

(El etiquetado es independiente de la dirección, ya que permanece igual si se invierten todas las direcciones. Por lo tanto, los polinomios en nudos no dirigidos se definen de forma inequívoca mediante este método. Sin embargo, las direcciones en los enlaces son un detalle vital que debe conservarse al realizar un cálculo polinómico recursivo).

También es sensato pensar de forma generativa, tomando un diagrama de enlaces existente y "parcheándolo" para crear los otros dos , siempre y cuando los parches se apliquen en direcciones compatibles.

Para definir recursivamente un polinomio de nudo (enlace), se fija una función F y para cualquier triplete de diagramas y sus polinomios etiquetados como arriba,

${\displaystyle F{\Big (}L_{-},L_{0},L_{+}{\Big )}=0}$

o de forma más pedante

${\displaystyle F{\Big (}L_{-}(x),L_{0}(x),L_{+}(x),x{\Big )}=0}$a pesar de${\displaystyle x}$

(Encontrar una función F que produzca polinomios independientes de las secuencias de cruces utilizadas en una recursión no es una tarea trivial).

De forma más formal, una relación de trenza puede entenderse como la definición del núcleo de un mapa cociente del álgebra planar de enredos . Dicho mapa corresponde a un polinomio de nudos si todos los diagramas cerrados se transforman en algún múltiplo (polinomial) de la imagen del diagrama vacío.

A principios de la década de 1960, Conway demostró cómo calcular el polinomio de Alexander utilizando relaciones de nudos. Al ser recursivo , no es tan directo como el método matricial original de Alexander ; sin embargo, parte del trabajo realizado para un nudo se aplica a otros. En particular, la red de diagramas es la misma para todos los polinomios relacionados por nudos.

Sea la función P de los diagramas de enlace a la serie de Laurent en${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ser tal que${\displaystyle P({\rm {nudo sin deshacer}})=1}$y una tripleta de diagramas de relación de madejas${\displaystyle (L_{-},L_{0},L_{+})}$satisface la ecuación

${\displaystyle P(L_{-})=(x^{-1/2}-x^{1/2})P(L_{0})+P(L_{+})}$

Entonces P asigna a cada nudo uno de sus polinomios de Alexander.

En este ejemplo, calculamos el polinomio de Alexander del nudo cinquefoil ( ), el nudo alternante con cinco cruces en su diagrama mínimo. En cada etapa mostramos una relación que involucra un enlace más complejo y dos diagramas más simples. Nótese que el enlace más complejo está a la derecha en cada paso a continuación, excepto en el último. Para mayor comodidad, sea A = x ^−1/2 −x ^1/2 .

Para empezar, creamos dos nuevos diagramas uniendo uno de los cruces del cinquefoil (resaltado en amarillo) de la siguiente manera:

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

El segundo diagrama es en realidad un trébol; el primer diagrama son dos nudos sueltos con cuatro cruces. Remendar el último

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

da, de nuevo, un trébol y dos nudos sueltos con dos cruces (el enlace de Hopf)). Reparando el trébol

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

da el nudo deshecho y, de nuevo, el enlace de Hopf. Reparando el enlace de Hopf

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

da un enlace con 0 cruces (desenlace) y un nudo deshace. El desenlace requiere un poco de astucia:

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

En la teoría de nudos, el término madeja parece haber sido acuñado por John Conway alrededor de 1979, y se refiere a la unidad de medida del hilo en la industria textil.

• Sociedad Matemática Estadounidense, Nudos y sus polinomios , Columna de interés.
• Weisstein, Eric W. "Relación de madeja" . MundoMatemático .
• Morton, Hugh R.; Lukac, Sascha G. (2003), "Polinomio HOMFLY de enlace de Hopf decorado", Journal of Knot Theory and Its Ramifications , 12 : 395–416 , arXiv : math.GT/0108011 , doi : 10.1142/s0218216503002536.