Métrica de Kobayashi

En matemáticas , y especialmente en geometría compleja , la métrica de Kobayashi es una pseudométrica intrínsecamente asociada a cualquier variedad compleja . Fue introducida por Shoshichi Kobayashi en 1967. Las variedades hiperbólicas de Kobayashi constituyen una clase importante de variedades complejas, definidas por la propiedad de que la pseudométrica de Kobayashi es una métrica. La hiperbolicidad de Kobayashi de una variedad compleja X implica que toda aplicación holomorfa de la recta compleja C a X es constante.

El origen del concepto reside en el lema de Schwarz en análisis complejo . Es decir, si f es una función holomorfa en el disco unitario abierto D en los números complejos C tal que f (0) = 0 y | f ( z )| < 1 para todo z en D , entonces la derivada f '(0) tiene un valor absoluto como máximo 1. De forma más general, para cualquier aplicación holomorfa f de D en sí mismo (no necesariamente enviando 0 a 0), existe una cota superior más compleja para la derivada de f en cualquier punto de D . Sin embargo, la cota tiene una formulación simple en términos de la métrica de Poincaré , que es una métrica riemanniana completa en D con curvatura −1 (isométrica al plano hiperbólico ). Es decir: toda aplicación holomorfa de D en sí mismo es decreciente con la distancia respecto a la métrica de Poincaré en D .

Este es el comienzo de una fuerte conexión entre el análisis complejo y la geometría de la curvatura negativa. Para cualquier espacio complejo X (por ejemplo, una variedad compleja), la pseudométrica de Kobayashi d _X se define como la mayor pseudométrica en X tal que

${\displaystyle d_{X}(f(x),f(y))\leq \rho (x,y)}$,

para todas las aplicaciones holomorfas f del disco unitario D a X , donde${\displaystyle \rho (x,y)}$denota la distancia en la métrica de Poincaré en ^{D. [ 1 ]} En ^{cierto sentido} , esta fórmula generaliza el lema de Schwarz a todos los espacios complejos; pero puede ser vacía en el sentido de que la pseudométrica de Kobayashi d _X puede ser idénticamente cero. Por ejemplo, es idénticamente cero cuando X es la recta compleja C. (Esto ocurre porque C contiene discos arbitrariamente grandes, las imágenes de las aplicaciones holomorfas f _a : D → C dadas por f ( z ) = az para números positivos arbitrariamente grandes a .)

Se dice que un espacio complejo X es hiperbólico de Kobayashi si la pseudométrica de Kobayashi d _X es una métrica, lo que significa que d _X ( x , y ) > 0 para todo x ≠ y en X. De manera informal, esto significa que existe una cota genuina para el tamaño de los discos que se transforman holomorfamente en X. En estos términos, el lema de Schwarz afirma que el disco unitario D es hiperbólico de Kobayashi, y más precisamente que la métrica de Kobayashi en D es exactamente la métrica de Poincaré. La teoría se vuelve más interesante a medida que se encuentran más ejemplos de variedades hiperbólicas de Kobayashi. (Para una variedad hiperbólica de Kobayashi X , la métrica de Kobayashi es una métrica intrínsecamente determinada por la estructura compleja de X ; no está nada claro que esto deba ocurrir alguna vez. Una variedad real de dimensión positiva nunca tiene una métrica intrínseca en este sentido, porque su grupo de difeomorfismos es demasiado grande para permitirlo).

1. Cada aplicación holomorfa f : X → Y de espacios complejos es decreciente con respecto a las pseudométricas de Kobayashi de X e Y. De ello se deduce que si dos puntos p y q en un espacio complejo Y pueden conectarse mediante una cadena de aplicaciones holomorfas C → Y , entonces d _Y ( p , q ) = 0, utilizando que d _C es idénticamente cero. Esto da muchos ejemplos de variedades complejas para las cuales la pseudométrica de Kobayashi es idénticamente cero: la línea proyectiva compleja CP ¹ o, más generalmente , el espacio proyectivo complejo CP ⁿ , C −{0} (utilizando la función exponencial C → C −{0}), una curva elíptica o, más generalmente, un toro complejo compacto .
2. La hiperbolicidad de Kobayashi se conserva al pasar a subconjuntos abiertos o a subespacios complejos cerrados . De ello se deduce, por ejemplo, que cualquier dominio acotado en C ⁿ es hiperbólico.
3. Un espacio complejo es hiperbólico de Kobayashi si y solo si su espacio de recubrimiento universal es hiperbólico de Kobayashi. ^{[ 2 ]} Esto da muchos ejemplos de curvas complejas hiperbólicas, ya que el teorema de uniformización muestra que la mayoría de las curvas complejas (también llamadas superficies de Riemann ) tienen un recubrimiento universal isomorfo al disco D . En particular, toda curva compleja compacta de género al menos 2 es hiperbólica, al igual que el complemento de 2 o más puntos en C .

Para un espacio hiperbólico de Kobayashi X , toda aplicación holomorfa C → X es constante, debido a la propiedad de disminución de la distancia de la pseudométrica de Kobayashi. Esta suele ser la consecuencia más importante de la hiperbolicidad. Por ejemplo, el hecho de que C menos 2 puntos sea hiperbólico implica el teorema de Picard , según el cual la imagen de cualquier función entera no constante C → C omite como máximo un punto de C. La teoría de Nevanlinna es una derivación más cuantitativa del teorema de Picard .

El teorema de Brody afirma que un espacio complejo compacto X es hiperbólico de Kobayashi si y solo si toda aplicación holomorfa C → X es constante. ^{[ 3 ]} Una aplicación es que la hiperbolicidad es una condición abierta (en la topología euclidiana) para familias de espacios complejos compactos. ^{[ 4 ]} Mark Green utilizó el argumento de Brody para caracterizar la hiperbolicidad de subespacios complejos cerrados X de un toro complejo compacto: X es hiperbólico si y solo si no contiene ninguna traslación de un subtoro de dimensión positiva. ^{[ 5 ]}

Si una variedad compleja X tiene una métrica hermitiana con curvatura seccional holomorfa acotada superiormente por una constante negativa, entonces X es hiperbólica de Kobayashi. ^{[ 6 ]} En dimensión 1, esto se conoce como el lema de Ahlfors -Schwarz.

Los resultados anteriores ofrecen una descripción completa de qué variedades complejas son hiperbólicas de Kobayashi en dimensión compleja 1. La situación es menos clara en dimensiones superiores. Un problema abierto central es la conjetura de Green– Griffiths – Lang : si X es una variedad proyectiva compleja de tipo general , entonces debe existir un subconjunto algebraico cerrado Y distinto de X tal que toda aplicación holomorfa no constante C → X se ^mapea en Y. ^{[ 7} ]

Clemens y Voisin demostraron que para n al menos 2, una hipersuperficie muy general X en CP ^{n +1} de grado d al menos 2 n +1 tiene la propiedad de que toda subvariedad cerrada de X es de tipo general. ^{[ 8 ]} ("Muy general" significa que la propiedad se cumple para todas las hipersuperficies de grado d fuera de una unión numerable de subconjuntos algebraicos de menor dimensión del espacio proyectivo de todas esas hipersuperficies). Como resultado, la conjetura de Green-Griffiths-Lang implicaría que una hipersuperficie muy general de grado al menos 2 n +1 es hiperbólica de Kobayashi. Nótese que no se puede esperar que todas las hipersuperficies suaves de un grado dado sean hiperbólicas, por ejemplo porque algunas hipersuperficies contienen líneas (isomorfas a CP ¹ ). Tales ejemplos muestran la necesidad del subconjunto Y en la conjetura de Green-Griffiths-Lang.

La conjetura sobre la hiperbolicidad es conocida para hipersuperficies de grado suficientemente alto, gracias a una serie de avances de Siu , Demailly y otros, utilizando la técnica de diferenciales de jet . Por ejemplo, Diverio, Merker y Rousseau demostraron que una hipersuperficie general en CP ^{n +1} de grado al menos 2 ^{n 5} satisface la conjetura de Green-Griffiths-Lang. ^{[ 9 ]} ("General" significa que esto se cumple para todas las hipersuperficies de grado dado fuera de una unión finita de subconjuntos algebraicos de menor dimensión del espacio proyectivo de todas esas hipersuperficies.) En 2016, Brotbek ^{[ 10 ]} dio una demostración de la conjetura de Kobayashi para la hiperbolicidad de hipersuperficies generales de alto grado, basada en un uso de ecuaciones diferenciales de Wronski; Ya Deng y Demailly obtuvieron entonces límites de grado explícitos en dimensión arbitraria, por ejemplo [ (en) ²ⁿ⁺² /3 ] por este último. ^{[ 11 ]} Se conocen mejores límites para el grado en dimensiones bajas.

McQuillan demostró la conjetura de Green-Griffiths-Lang para toda superficie proyectiva compleja de tipo general cuyos números de Chern satisfacen c ₁ ² > c ₂ . ^{[ 12 ]} Para una variedad arbitraria X de tipo general, Demailly demostró que toda aplicación holomorfa C → X satisface algunas (de hecho, muchas) ecuaciones diferenciales algebraicas . ^{[ 13 ]}

En sentido contrario, Kobayashi conjeturó que la pseudométrica de Kobayashi es idénticamente cero para las variedades de Calabi-Yau . Esto es cierto en el caso de las superficies K3 , utilizando que toda superficie K3 proyectiva está cubierta por una familia de curvas elípticas. ^{[ 14 ]} De manera más general, Campana formuló una conjetura precisa sobre qué variedades proyectivas complejas X tienen una pseudométrica de Kobayashi igual a cero. Es decir, esto debería ser equivalente a que X sea especial en el sentido de que X no tiene fibración racional sobre un orbifold de dimensión positiva de tipo general. ^{[ 15 ]}

Para una variedad proyectiva X , el estudio de las aplicaciones holomorfas C → X tiene cierta analogía con el estudio de los puntos racionales de X , un tema central de la teoría de números . Hay varias conjeturas sobre la relación entre estos dos temas. En particular, sea X una variedad proyectiva sobre un cuerpo numérico k . Fijemos una inmersión de k en C. Entonces Lang conjeturó que la variedad compleja X ( C ) es hiperbólica de Kobayashi si y solo si X tiene solo un número finito de puntos F -racionales para cada cuerpo de extensión finito F de k . Esto es consistente con los resultados conocidos sobre puntos racionales, en particular el teorema de Faltings sobre subvariedades de variedades abelianas .

Más precisamente, sea X una variedad proyectiva de tipo general sobre un cuerpo numérico k . Sea Y el conjunto excepcional la clausura de Zariski de la unión de las imágenes de todas las aplicaciones holomorfas no constantes C → X. Según la conjetura de Green-Griffiths-Lang, Y debería ser un subconjunto cerrado propio de X (y, en particular, no ser igual a X ). La fuerte conjetura de Lang predice que Y está definido sobre k y que X − Y tiene solo un número finito de puntos F -racionales para cada cuerpo de extensión finito F de k . ^{[ 16 ]}

En el mismo sentido, para una variedad proyectiva X sobre un cuerpo numérico k (o, más generalmente, un cuerpo finitamente generado k de característica cero), Campana conjeturó que la pseudométrica de Kobayashi de X ( C ) es idénticamente cero si y solo si X tiene puntos racionales potencialmente densos , lo que significa que hay un cuerpo de extensión finito F de k tal que el conjunto X ( F ) de puntos F -racionales es denso en el sentido de Zariski en X . ^{[ 17 ]}

La métrica de Carathéodory es otra pseudométrica intrínseca en variedades complejas, basada en aplicaciones holomorfas al disco unitario en lugar de desde el disco unitario. La pseudométrica infinitesimal de Kobayashi es una pseudométrica de Finsler cuya función de distancia asociada es la pseudométrica de Kobayashi definida anteriormente. ^{[ 18 ]} La forma de pseudovolumen de Kobayashi-Eisenman es una medida intrínseca en una n- variedad compleja , basada en aplicaciones holomorfas del polidisco n -dimensional a X. Se comprende mejor que la pseudométrica de Kobayashi. En particular, toda variedad proyectiva de tipo general es hiperbólica en medida , lo que significa que la forma de pseudovolumen de Kobayashi-Eisenman es positiva fuera de un subconjunto algebraico de menor dimensión. ^{[ 19 ]}

Se han considerado pseudométricas análogas para estructuras afines y proyectivas planas, así como para conexiones proyectivas y conformes más generales . ^{[ 20 ]}

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