Teorema del cuarto de Koebe

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , el teorema de Koebe 1/4 establece lo siguiente:

Teorema del cuarto de Koebe. La imagen de una función analítica inyectiva.${\displaystyle f:\mathbf {D} \to \mathbb {C} }$del disco de la unidad${\displaystyle \mathbf {D} }$sobre un subconjunto del plano complejo contiene el disco cuyo centro es${\displaystyle f(0)}$y cuyo radio es${\displaystyle |f'(0)|/4}$.

El teorema recibe su nombre de Paul Koebe , quien conjeturó el resultado en 1907. El teorema fue demostrado por Ludwig Bieberbach en 1916. El ejemplo de la función de Koebe muestra que la constante${\displaystyle 1/4}$en el teorema no se puede mejorar (aumentar).

Un resultado relacionado es el lema de Schwarz , y una noción relacionada con ambos es el radio conforme .

Supongamos que

${\displaystyle g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

es univalente en${\displaystyle |z|>1}$. Entonces

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n|b_{n}|^{2}\leq 1.}$

De hecho, si${\displaystyle r>1}$, el complemento de la imagen del disco${\displaystyle |z|>r}$es un dominio acotado${\displaystyle X(r)}$Su área viene dada por

${\displaystyle \int _{X(r)}dx\,dy={1 \over 2i}\int _{\partial X(r)}{\overline {z}}\,dz={1 \over 2i}\int _{|z|=r}{\overline {g}}\,dg=\pi r^{2}-\pi \sum _{n=1}^{\infty }n|b_{n}|^{2}r^{-2n}.}$

Dado que el área es positiva, el resultado se obtiene al dejar${\displaystyle r}$disminuir a${\displaystyle 1}$. La prueba anterior muestra que la igualdad se cumple si y solo si el complemento de la imagen de${\displaystyle g}$tiene área cero, es decir, medida de Lebesgue cero.

Este resultado fue demostrado en 1914 por el matemático sueco Thomas Hakon Grönwall .

La función de Koebe se define por

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nz^{n}}$

La aplicación del teorema a esta función muestra que la constante${\displaystyle 1/4}$en el teorema no se puede mejorar, ya que el dominio de la imagen ${\displaystyle f(\mathbf {D} )}$no contiene el punto${\displaystyle z=-1/4}$y por lo tanto no puede contener ningún disco centrado en${\displaystyle 0}$con radio mayor que${\displaystyle 1/4}$.

La función de Koebe rotada es

${\displaystyle f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}}$

con${\displaystyle \alpha }$un número complejo de valor absoluto${\displaystyle 1}$. La función de Koebe y sus rotaciones son schlicht : es decir, univalentes (analíticas y biyectivas ) y satisfacen${\displaystyle f(0)=0}$y${\displaystyle f'(0)=1}$.

Dejar

${\displaystyle g(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots }$

ser univalente en${\displaystyle |z|<1}$. Entonces

${\displaystyle |a_{2}|\leq 2.}$

Esto se deduce aplicando el teorema del área de Gronwall a la función univalente impar.

${\displaystyle g(z^{-2})^{-1/2}=z-{1 \over 2}a_{2}z^{-1}+\cdots .}$

La igualdad se cumple si y solo si${\displaystyle g}$es una función de Koebe rotada.

Este resultado fue demostrado por Ludwig Bieberbach en 1916 y proporcionó la base para su célebre conjetura de que ${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$, demostrado en 1985 por Louis de Branges .

Aplicando un mapeo afín, se puede suponer que

${\displaystyle f(0)=0,\,\,\,f^{\prime }(0)=1,}$

de modo que

${\displaystyle f(z)=z+a_{2}z^{2}+\cdots .}$

En particular, la desigualdad de coeficientes da que${\displaystyle |a_{2}|\leq 2}$. Si${\displaystyle w}$no está en${\displaystyle f(\mathbf {D} )}$, entonces

${\displaystyle h(z)={wf(z) \over w-f(z)}=z+(a_{2}+w^{-1})z^{2}+\cdots }$

es univalente en${\displaystyle |z|<1}$.

Aplicando la desigualdad del coeficiente a${\displaystyle h}$da

${\displaystyle |w|^{-1}=|w^{-1}|=|-a_{2}+a_{2}+w^{-1}|\leq |a_{2}|+|a_{2}+w^{-1}|\leq 4,}$

de modo que

${\displaystyle |w|\geq {1 \over 4}.}$

El teorema de distorsión de Koebe proporciona una serie de cotas para una función univalente y su derivada. Es una consecuencia directa de la desigualdad de Bieberbach para el segundo coeficiente y del teorema del cuarto de Koebe. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle f(z)}$ser una función univalente en${\displaystyle |z|<1}$normalizado de modo que${\displaystyle f(0)=0}$y${\displaystyle f'(0)=1}$y dejar${\displaystyle r=|z|}$. Entonces

${\displaystyle {r \over (1+r)^{2}}\leq |f(z)|\leq {r \over (1-r)^{2}}}$

${\displaystyle {1-r \over (1+r)^{3}}\leq |f^{\prime }(z)|\leq {1+r \over (1-r)^{3}}}$

${\displaystyle {1-r \over 1+r}\leq \left|z{f^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq {1+r \over 1-r}}$

con igualdad si y solo si${\displaystyle f}$es una función de Koebe

${\displaystyle f(z)={z \over (1-e^{i\theta }z)^{2}}.}$

• Bieberbach, Ludwig (1916), "Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln", S.-B. Preuss. Akád. Wiss. : 940– 955
• Carleson, L .; Gamelin, TDW (1993), Dinámica compleja , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, págs. 1–2 , ISBN  0-387-97942-5
• Conway, John B. (1995), Funciones de una variable compleja II , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94460-9
• Duren, PL (1983), Funciones univalentes , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol.  259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
• Gronwall, TH (1914), "Algunas observaciones sobre la representación conforme", Annals of Mathematics , 16 (1/4): 72–76 , doi : 10.2307/1968044 , JSTOR 1968044 
• Nehari, Zeev (1952), Mapeo conforme , Dover, págs. 248–249 , ISBN  0-486-61137-X{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Pommerenke, C. (1975), Funciones univalentes, con un capítulo sobre diferenciales cuadráticas de Gerd Jensen , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol.  15, Vandenhoeck y Ruprecht
• Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . Serie de matemáticas superiores (3.ª  ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1. SR 0924157 . 

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