Teorema de De Branges

En análisis complejo , el teorema de De Branges , o conjetura de Bieberbach , es un teorema que proporciona una condición necesaria para que una función holomorfa mapee inyectivamente el disco unitario abierto del plano complejo al plano complejo. Fue enunciado por Ludwig Bieberbach ( 1916 ) y finalmente demostrado por Louis de Branges ( 1985 ) .  

La afirmación se refiere a los coeficientes de Taylor.${\displaystyle a_{n}}$de una función univalente , es decir, una función holomorfa biyectiva que mapea el disco unitario en el plano complejo, normalizada como siempre es posible de modo que${\displaystyle a_{0}=0}$y${\displaystyle a_{1}=1}$. Es decir, consideramos una función definida en el disco unitario abierto que es holomorfa e inyectiva ( univalente ) con una serie de Taylor de la forma

${\displaystyle f(z)=z+\sum _ {n\geq 2}a_ {n}z^{n}.}$

Estas funciones se denominan schlicht [término alemán que significa "natural, simple"]. El teorema establece entonces que

${\displaystyle |a_{n}|\leq n\quad {\text{para todo }}n\geq 2.}$

La función de Koebe (ver más abajo) es una función${\displaystyle a_{n}=n}$a pesar de${\displaystyle n}$y es schlicht, por lo que la desigualdad que limita el${\displaystyle n}$El coeficiente es agudo.

Las normalizaciones

${\displaystyle a_{0}=0\ {\text{y}}\ a_{1}=1}$

significa que

${\displaystyle f(0)=0\ {\text{y}}\ f'(0)=1.}$

Esto siempre se puede obtener mediante una transformación afín : partiendo de una función holomorfa inyectiva arbitraria.${\displaystyle g}$definido en el disco de la unidad abierta y configuración

${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)-g(0)}{g'(0)}}.}$

Tales funciones${\displaystyle g}$son de interés porque aparecen en el teorema de mapeo de Riemann .

Una función de Schlicht se define como una función analítica.${\displaystyle f}$que es uno a uno y satisface${\displaystyle f(0)=0}$y${\displaystyle f'(0)=1}$Una familia de funciones de Schlicht son las funciones de Koebe rotadas.

${\displaystyle f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}}$

con${\displaystyle \alpha }$un número complejo de valor absoluto${\displaystyle 1}$. Si${\displaystyle f}$es una función schlicht y${\displaystyle |a_{n}|=n}$para algunos ${\displaystyle n\geq 2}$, entonces${\displaystyle f}$es una función de Koebe rotada.

La condición del teorema de De Branges no es suficiente para demostrar que la función es schlicht, ya que la función

${\displaystyle f(z)=z+z^{2}=(z+1/2)^{2}-1/4}$

muestra: es holomorfo en el disco unitario y satisface${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$a pesar de${\displaystyle n}$, pero no es inyectivo ya que ${\displaystyle f(-1/2+z)=f(-1/2-z)}$.

Koepf (2007) ofrece un panorama general de la historia .

Bieberbach (1916) demostró${\displaystyle |a_{2}|\leq 2}$y afirmó la conjetura de que${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$Löwner (1917) y Nevanlinna (1921) demostraron independientemente la conjetura para funciones estrelladas . Luego, Charles Loewner ( Löwner (1923) ) demostró${\displaystyle |a_{3}|\leq 3}$, utilizando la ecuación diferencial de Löwner . Su trabajo fue utilizado en la mayoría de los intentos posteriores y también se aplica en la teoría de la evolución de Schramm-Loewner .

Littlewood (1925 , teorema 20) demostró que${\displaystyle |a_{n}|\leq en}$a pesar de${\displaystyle n}$, demostrando que la conjetura de Bieberbach es verdadera salvo un factor de${\displaystyle e=2.718\ldots }$Varios autores posteriormente redujeron la constante en la siguiente desigualdad.${\displaystyle e}$.

Si${\displaystyle f(z)=z+\cdots }$entonces es una función de Schlicht${\displaystyle \varphi (z)=z(f(z^{2})/z^{2})^{1/2}}$es una función de Schlicht extraña. Littlewood y Paley ( 1932 ) demostraron que sus coeficientes de Taylor satisfacen ${\displaystyle b_{k}\leq 14}$a pesar de${\displaystyle k}$. Conjeturaron que${\displaystyle 14}$puede ser reemplazado por${\displaystyle 1}$como una generalización natural de la conjetura de Bieberbach. La conjetura de Littlewood-Paley implica fácilmente la conjetura de Bieberbach usando la desigualdad de Cauchy (también conocida como estimación de Cauchy ), pero pronto fue refutada por Fekete y Szegő (1933) , quienes demostraron que existe una función schlicht impar con${\displaystyle b_{5}=1/2+\exp(-2/3)=1.013\ldots }$y que este es el valor máximo posible de${\displaystyle b_{5}}$Isaak Milin demostró más tarde que${\displaystyle 14}$puede ser reemplazado por${\displaystyle 1.14}$y Hayman demostró que los números${\displaystyle b_{k}}$tener un límite menor que${\displaystyle 1}$si${\displaystyle f}$no es una función de Koebe (para la cual la${\displaystyle b_{2k+1}}$son todos${\displaystyle 1}$). Por lo tanto, el límite siempre es menor o igual que${\displaystyle 1}$, lo que significa que la conjetura de Littlewood y Paley es verdadera para todos los coeficientes excepto para un número finito. Robertson (1936) descubrió una forma más débil de la conjetura de Littlewood y Paley .

La conjetura de Robertson afirma que si

${\displaystyle \phi (z)=b_{1}z+b_{3}z^{3}+b_{5}z^{5}+\cdots }$

es una función extraña de Schlicht en el disco de la unidad con${\displaystyle b_{1}=1}$entonces para todos los enteros positivos${\displaystyle n}$,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|b_{2k+1}|^{2}\leq n.}$

Robertson observó que su conjetura sigue siendo lo suficientemente fuerte como para implicar la conjetura de Bieberbach y la demostró.${\displaystyle n=3}$Esta conjetura introdujo la importante idea de limitar diferentes funciones cuadráticas de los coeficientes en lugar de solo los coeficientes mismos, lo que es lo mismo que establecer límites en los tamaños de ciertos elementos en espacios de Hilbert específicos de funciones de Schlicht.

Hubo varias pruebas de la conjetura de Bieberbach para ciertos valores más altos de${\displaystyle n}$En particular, Garabedian y Schiffer (1955) demostraron${\displaystyle |a_{4}|\leq 4}$Ozawa (1969) y Pederson (1968) demostraron${\displaystyle |a_{6}|\leq 6}$y Pederson y Schiffer (1972) demostraron${\displaystyle |a_{5}|\leq 5}$.

Hayman (1955) demostró que el límite de${\displaystyle a_{n}/n}$existe y tiene un valor absoluto menor que${\displaystyle 1}$a menos que${\displaystyle f}$es una función de Koebe. En particular, esto demostró que para cualquier${\displaystyle f}$A la conjetura de Bieberbach solo puede haber un número finito de excepciones.

La conjetura de Milin afirma que para cada función schlicht en el disco unitario, y para todos los enteros positivos${\displaystyle n}$,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(n-k+1)(k|\gamma _{k}|^{2}-1/k)\leq 0}$

donde los coeficientes logarítmicos${\displaystyle \gamma _{n}}$de${\displaystyle f}$son dados por

${\displaystyle \log(f(z)/z)=2\sum _{n=1}^{\infty }\gamma _{n}z^{n}.}$

Milin (1977) demostró utilizando la desigualdad de Lebedev-Milin que la conjetura de Milin (probada posteriormente por de Branges) implica la conjetura de Robertson y, por lo tanto, la conjetura de Bieberbach.

Finalmente, de Branges (1987) demostró${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$a pesar de${\displaystyle n}$.

La demostración utiliza un tipo de espacio de Hilbert de funciones enteras . El estudio de estos espacios se convirtió en un subcampo del análisis complejo, y los espacios han pasado a llamarse espacios de De Branges . De Branges demostró la conjetura más fuerte de Milin ( Milin 1977 ) sobre coeficientes logarítmicos. Ya se sabía que esto implicaba la conjetura de Robertson ( Robertson 1936 ) sobre funciones univalentes impares, que a su vez implicaba la conjetura de Bieberbach sobre funciones de Schlicht ( Bieberbach 1916 ) . Su demostración utiliza la ecuación de Loewner , la desigualdad de Askey-Gasper sobre polinomios de Jacobi y la desigualdad de Lebedev-Milin sobre series de potencias exponenciadas.

En 1983-84, De Branges estaba escribiendo un libro, uno de cuyos capítulos trataba sobre la conjetura de Bieberbach. ^{[ 1 ]} Le sorprendieron los cálculos, que estaban cerca de demostrar la conjetura. Sea$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n,k}(x)&:=\int _{0}^{1}t^{nk-1/2}P_{k}^{(2n-2k,1)}(1-2tx)\,dt>0\\&\qquad {\text{para }}\quad k=0,1,2,\ldots ,n-1\end{aligned}}}$$dónde${\displaystyle P_{k}^{(\alpha,\beta)}}$es el polinomio de Jacobi de grado${\displaystyle k}$con parámetros${\displaystyle \alpha,\beta}$.${\displaystyle F_{n,k}}$es un polinomio de grado k , y es una serie hipergeométrica con coeficientes racionales (los coeficientes precisos se pueden derivar utilizando la serie hipergeométrica para polinomios de Jacobi ).

Él demostró que si${\displaystyle F_{n,k}(x)>0}$para${\displaystyle 0<x<1}$y${\displaystyle k=0,1,\dots ,n-1}$, entonces ${\displaystyle |a_{n+1}|\leq n+1}$Él verificó esto para${\displaystyle n=2,3,4,5,6}$a mano, encontrando demasiado laborioso para continuar. Le pidió ayuda a Walter Gautschi , quien verificó más de estas desigualdades mediante la cuadratura de Gauss-Jacobi en un CDC 6500 , llegando hasta${\displaystyle n=30}$...y luego preguntó a Richard Askey si conocía alguna desigualdad similar. ^{[ 2 ]} Askey señaló que Askey y Gasper (1976) habían demostrado las desigualdades necesarias ocho años antes, lo que permitió a de Branges completar su demostración. La primera versión era muy larga y tenía algunos errores menores, lo que causó cierto escepticismo al respecto, pero estos fueron corregidos con la ayuda de miembros del seminario de Leningrado sobre Teoría de la Función Geométrica ( Departamento de Leningrado del Instituto Matemático Steklov ) cuando de Branges visitó el instituto en 1984. ^{[ 3 ]}

De Branges demostró el siguiente resultado, que para${\displaystyle \nu =0}$implica la conjetura de Milin (y por lo tanto la conjetura de Bieberbach). Supongamos que${\displaystyle \nu >-3/2}$y${\displaystyle \sigma _{n}}$son números reales para enteros positivos${\displaystyle n}$con límite${\displaystyle 0}$y tal que

${\displaystyle \rho _{n}={\frac {\Gamma (2\nu +n+1)}{\Gamma (n+1)}}(\sigma _{n}-\sigma _{n+1})}$

es no negativo, no creciente y tiene límite${\displaystyle 0}$Entonces, para todas las funciones de mapeo de Riemann${\displaystyle F(z)=z+\cdots }$univalente en el disco de la unidad con

${\displaystyle {\frac {F(z)^{\nu }-z^{\nu }}{\nu }}=\sum _ {n=1}^{\infty }a_{n}z^{\nu +n}}$

el valor máximo de

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\nu +n)\sigma _{n}|a_{n}|^{2}}$

Esto se logra mediante la función de Koebe.${\displaystyle z/(1-z)^{2}}$.

Una versión simplificada de la demostración fue publicada en 1985 por Carl FitzGerald y Christian Pommerenke ( FitzGerald y Pommerenke (1985) ), y una descripción aún más breve por Jacob Korevaar ( Korevaar (1986) ). Posteriormente, Lenard Weinstein encontró una demostración muy breve que evitaba el uso de las desigualdades de Askey y Gasper ( Weinstein (1991) ).

• Matriz de Grunsky
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