invariante de Kontsevich

Sea X un círculo (que es una variedad unidimensional). Como se muestra en la figura de la derecha, un diagrama de Jacobi de orden n es el grafo con 2n vértices , donde el círculo exterior se representa con una línea continua y el círculo interior con líneas discontinuas, que satisface las siguientes condiciones:

1. La orientación se da únicamente al círculo exterior.
2. Los vértices tienen valores de 1 o 3. Los vértices con valor 3 se conectan a una de las aristas opuestas, ya sea en sentido horario o antihorario, representada por un pequeño círculo dirigido. Los vértices con valor 1 se conectan al círculo exterior sin multiplicidad, ordenados según la orientación del círculo.

Las aristas en G se llaman cuerdas . Denotamos como A ( X ) el espacio cociente del grupo conmutativo generado por todos los diagramas de Jacobi en X divididos por las siguientes relaciones:

(La relación AS) + = 0

(La relación IHX) = −

(La relación STU) = −

(La relación FI) = 0.

Un diagrama sin vértices con valor 3 se denomina diagrama de cuerdas o diagrama de Gauss. Si cada componente conexa de un grafo G tiene un vértice con valor 3, podemos convertir el diagrama de Jacobi en un diagrama de cuerdas utilizando la relación STU de forma recursiva. Si nos limitamos únicamente a los diagramas de cuerdas, las cuatro relaciones anteriores se reducen a las dos siguientes:

(La relación de cuatro términos) − + − = 0.

(La relación FI) = 0.

• El grado de un diagrama de Jacobi se define como la mitad de la suma del número de vértices con valor 1 y uno con valor 3. Es el número de cuerdas en el diagrama de cuerdas transformado a partir del diagrama de Jacobi.
• Al igual que con los enredos , los diagramas de Jacobi forman una categoría monoidal donde la composición consiste en compilar diagramas de Jacobi en dirección ascendente y descendente, y el producto tensorial consiste en yuxtaponer diagramas de Jacobi.
  • En el caso especial donde X es un intervalo I , A ( X ) será un álgebra conmutativa. Considerando A ( S1 ) como el álgebra con la multiplicación como ^sumas conexas , A ( S1 ) ^es isomorfo a A ( I ) .
• Un diagrama de Jacobi puede verse como una abstracción de las representaciones del álgebra tensorial generada por las álgebras de Lie, lo que nos permite definir algunas operaciones análogas a los coproductos, counidades y antípodas de las álgebras de Hopf .
• Dado que los invariantes de Vassiliev (o invariantes de tipo finito) están estrechamente relacionados con los diagramas de cuerdas, se puede construir un nudo singular a partir de un diagrama de cuerdas G en S ¹ . K _n denotando el espacio generado por todos los nudos singulares con grado n , cada G de este tipo determina un elemento único en K _m / K _{m +1} .

Una aplicación de los diagramas de Jacobi a los enteros positivos se denomina sistema de pesos . La aplicación extendida al espacio A ( X ) también se denomina sistema de pesos. Tienen las siguientes propiedades:

• Sea g un álgebra de Lie semisimple y ρ su representación. Obtenemos un sistema de pesos "sustituyendo" el tensor invariante de g en la cuerda de un diagrama de Jacobi y ρ en la variedad subyacente X del diagrama de Jacobi.
  • Podemos ver los vértices con valor 3 del diagrama de Jacobi como el producto de corchetes del álgebra de Lie, las flechas de línea continua como el espacio de representación de ρ , y los vértices con valor 1 como la acción del álgebra de Lie.
  • La relación IHX y la relación STU corresponden respectivamente a la identidad de Jacobi y a la definición de la representación.

ρ ([ a , b ]) v = ρ ( a ) ρ ( b ) v − ρ ( b ) ρ ( a ) v .

• Los sistemas de pesos juegan un papel esencial en la demostración de la conjetura de Mervin-Morton, ^{[ 3 ]} que relaciona los polinomios de Alexander con los polinomios de Jones .

Los diagramas de Jacobi se introdujeron como análogos de los diagramas de Feynman cuando Kontsevich definió los invariantes de nudos mediante integrales iteradas en la primera mitad de la década de 1990. ^{[ 2 ]} Representó los puntos singulares de nudos singulares mediante cuerdas, es decir, los trató solo con diagramas de cuerdas. D. Bar-Natan posteriormente los formuló como grafos valuados de 1 a 3 y estudió sus propiedades algebraicas, y los llamó "diagramas de caracteres chinos" en su artículo. ^{[ 4 ]} Se utilizaron varios términos como diagramas de cuerdas, diagramas de red o diagramas de Feynman para referirse a ellos, pero se les ha llamado diagramas de Jacobi desde alrededor del año 2000, porque la relación IHX corresponde a la identidad de Jacobi para álgebras de Lie .

Podemos interpretarlos desde un punto de vista más general mediante los claspers , que fueron definidos independientemente por Goussarov y Kazuo Habiro en la segunda mitad de la década de 1990.