Clasper (matemáticas)

En el campo matemático de la topología de baja dimensión , un clasper es una superficie (con estructura adicional) en una variedad tridimensional sobre la cual se puede realizar una intervención quirúrgica .

A partir del polinomio de Jones , se descubrieron infinitas invariantes nuevas de nudos , enlaces y 3-variedades durante la década de 1980. El estudio de estas nuevas invariantes "cuánticas" se expandió rápidamente hasta convertirse en una subdisciplina de la topología de baja dimensión llamada topología cuántica. Una invariante cuántica se construye típicamente a partir de dos ingredientes: una suma formal de diagramas de Jacobi (que poseen una estructura de álgebra de Lie ) y una representación de un álgebra de Hopf de cinta, como un grupo cuántico . No está claro a priori por qué alguno de estos ingredientes debería tener algo que ver con la topología de baja dimensión. Por lo tanto, uno de los principales problemas en topología cuántica ha sido interpretar topológicamente las invariantes cuánticas.

La teoría de los claspers proporciona dicha interpretación. Un clasper, al igual que un enlace enmarcado , es un objeto topológico incrustado en una 3-variedad sobre la cual se puede realizar una cirugía . De hecho, el cálculo de claspers puede considerarse una variante del cálculo de Kirby en la que solo se permiten ciertos tipos específicos de enlaces enmarcados. Los claspers también pueden interpretarse algebraicamente, como un cálculo de diagramas para la categoría monoidal estricta trenzada Cob de superficies conexas orientadas con frontera conexa. Además, y lo que es más importante, los claspers pueden verse aproximadamente como una realización topológica de los diagramas de Jacobi, que son objetos puramente combinatorios . Esto explica la estructura de álgebra de Lie del espacio vectorial graduado de los diagramas de Jacobi en términos de la estructura de álgebra de Hopf de Cob .

Un clasper${\displaystyle G=\mathbf {A} \cup \mathbf {B} }$es una superficie compacta incrustada en el interior de un colector de 3${\displaystyle M}$equipado con una descomposición en dos subsuperficies${\displaystyle \mathbf {A} }$y${\displaystyle \mathbf {B} }$, cuyos componentes conectados se denominan constituyentes y aristas de${\displaystyle G}$correspondientemente. Cada borde de${\displaystyle G}$Es una banda que une dos constituyentes entre sí, o un constituyente consigo mismo. Hay cuatro tipos de constituyentes: hojas, hojas de disco, nodos y cajas.

La cirugía del clasper se define más fácilmente (después de la eliminación de nodos, cajas y hojas de disco como se describe a continuación) como una cirugía a lo largo de un enlace asociado al clasper, reemplazando cada hoja con su núcleo y reemplazando cada borde por un enlace de Hopf derecho.

Las siguientes son las convenciones gráficas utilizadas al dibujar claspers (y pueden considerarse como una definición de cajas, nodos y hojas de disco):

Reemplazar nodos, hojas de disco y cajas con hojas

Convenciones dibujando broches

Habiro descubrió doce movimientos que relacionan los claspers, de modo que la cirugía produce el mismo resultado. Estos movimientos constituyen la base del cálculo de claspers y otorgan a la teoría un gran poder como herramienta para la demostración de teoremas.

Se dice que dos nudos, enlaces o variedades tridimensionales son${\displaystyle C_{n}}$-equivalentes si están relacionados por ${\displaystyle C_{n}}$-movimientos, que son los movimientos locales inducidos por cirugías en claspers de árboles simples sin cajas ni hojas de disco y con${\displaystyle n}$hojas.

Para un enlace${\displaystyle L\subset M}$, a${\displaystyle C_{1}}$-movimiento es un cambio de cruce. Un${\displaystyle C_{2}}$-move es un movimiento Delta . La mayoría de las aplicaciones de claspers solo utilizan${\displaystyle C_{n}}$-movimientos.

Para dos nudos${\displaystyle K}$y${\displaystyle K^{\prime }}$y un número entero no negativo${\displaystyle k}$Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. ${\displaystyle K}$y${\displaystyle K^{\prime }}$no se distinguen por ningún invariante de tipo${\displaystyle k}$.
2. ${\displaystyle K}$y${\displaystyle K^{\prime }}$son${\displaystyle C_{k}}$-equivalente.

La afirmación correspondiente es falsa para los enlaces.

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