polinomio de Kostant

En matemáticas , los polinomios de Kostant , que reciben su nombre de Bertram Kostant , proporcionan una base explícita del anillo de polinomios sobre el anillo de polinomios invariantes bajo el grupo de reflexión finito de un sistema de raíces .

Si el grupo de reflexión W corresponde al grupo de Weyl de un grupo semisimple compacto K con toro maximal T , entonces los polinomios de Kostant describen la estructura de la cohomología de de Rham de la variedad de banderas generalizada K / T , también isomorfa a G / B, donde G es la complejización de K y B es el subgrupo de Borel correspondiente . Armand Borel demostró que su anillo de cohomología es isomorfo al cociente del anillo de polinomios por el ideal generado por los polinomios homogéneos invariantes de grado positivo. Este anillo ya había sido considerado por Claude Chevalley al establecer los fundamentos de la cohomología de grupos de Lie compactos y sus espacios homogéneos con André Weil , Jean-Louis Koszul y Henri Cartan ; la existencia de dicha base fue utilizada por Chevalley para demostrar que el anillo de invariantes era en sí mismo un anillo de polinomios. Bernstein, Gelfand y Gelfand (1973) , e independientemente Demazure (1973), dieron una descripción detallada de los polinomios de Kostant como una herramienta para comprender el cálculo de Schubert de la variedad de banderas. Los polinomios de Kostant están relacionados con los polinomios de Schubert definidos combinatoriamente por Lascoux y Schützenberger (1982) para la variedad de banderas clásica, cuando G = SL(n, C ). Su estructura está regida por operadores de diferencias asociados al sistema de raíces correspondiente .

Steinberg (1975) definió una base análoga cuando el anillo de polinomios se reemplaza por el anillo de exponenciales de la red de pesos . Si K es simplemente conexo , este anillo puede identificarse con el anillo de representación R ( T ) y el subanillo W -invariante con R ( K ). La base de Steinberg fue motivada nuevamente por un problema sobre la topología de espacios homogéneos; la base surge al describir la K -teoría T - equivariante de K / T .

Sea Φ un sistema de raíces en un espacio de producto interno real de dimensión finita V con grupo de Weyl W. Sea Φ ⁺ un conjunto de raíces positivas y Δ el conjunto correspondiente de raíces simples. Si α es una raíz, entonces s _α denota el operador de reflexión correspondiente. Las raíces se consideran como polinomios lineales en V usando el producto interno α( v ) = (α, v ). La elección de Δ da lugar a un orden de Bruhat en el grupo de Weyl determinado por las formas de escribir elementos mínimamente como productos de reflexión de raíces simples. La longitud mínima para un elemento s se denota ${\displaystyle \ell (s)}$. Elija un elemento v en V tal que α ( v ) > 0 para cada raíz positiva.

Si α _i es una raíz simple con operador de reflexión s _i

${\displaystyle s_{i}x=x-2{(x,\alpha _{i}) \over (\alpha _{i},\alpha _{i})}\alpha _{i},}$

Entonces, el operador de diferencia dividida correspondiente se define por

${\displaystyle \delta _{i}f={ff\circ s_{i} \over \alpha _{i}}.}$

Si${\displaystyle \ell (s)=m}$y s tiene expresión reducida

${\displaystyle s=s_{i_{1}}\cdots s_{i_{m}},}$

entonces

${\displaystyle \delta _{s}=\delta _{i_{1}}\cdots \delta _{i_{m}}}$

es independiente de la expresión reducida. Además

${\displaystyle \delta _{s}\delta _{t}=\delta _{st}}$

si${\displaystyle \ell (st)=\ell (s)+\ell (t)}$y 0 en caso contrario.

Si w ₀ es el elemento más largo de W , el elemento de mayor longitud o, equivalentemente, el elemento que envía Φ ⁺ a −Φ ⁺ , entonces

${\displaystyle \delta _{w_{0}}f={\sum _{s\in W}\det s\,f\circ s \over \prod _{\alpha >0}\alpha }.}$

En términos más generales

${\displaystyle \delta _{s}f={\det s\,f\circ s+\sum _{t<s}a_{s,t}\,f\circ t \over \prod _{\alpha >0,\,s^{-1}\alpha <0}\alpha }}$

para algunas constantes a _{s , t} .

Colocar

${\displaystyle d=|W|^{-1}\prod _{\alpha >0}\alpha .}$

y

${\displaystyle P_{s}=\delta _{s^{-1}w_{0}}d.}$

Entonces P _s es un polinomio homogéneo de grado${\displaystyle \ell (s)}$.

Estos polinomios son los polinomios de Kostant .

Teorema . Los polinomios de Kostant forman una base libre del anillo de polinomios sobre los polinomios W-invariantes.

De hecho, la matriz

${\displaystyle N_{st}=\delta _{s}(P_{t})}$

es unitriangular para cualquier orden total tal que s ≥ t implica${\displaystyle \ell (s)\geq \ell (t)}$.

Por eso

${\displaystyle \det N=1.}$

Por lo tanto, si

${\displaystyle f=\sum _{s}a_{s}P_{s}}$

con un _s invariante bajo W , entonces

${\displaystyle \delta _{t}(f)=\sum _{s}\delta _{t}(P_{s})a_{s}.}$

De este modo

${\displaystyle a_{s}=\sum _{t}M_{s,t}\delta _{t}(f),}$

dónde

${\displaystyle M=N^{-1}}$

otra matriz unitarangular con entradas polinómicas. Se puede comprobar directamente que a _s es invariante bajo W.

De hecho, δ _i satisface la propiedad de derivación.

${\displaystyle \delta _{i}(fg)=\delta _{i}(f)g+(f\circ s_{i})\delta _{i}(g).}$

Por eso

${\displaystyle \delta _{i}\delta _{s}(f)=\sum _{t}\delta _{i}(\delta _{s}(P_{t}))a_{t})=\sum _{t}(\delta _{s}(P_{t})\circ s_{i})\delta _{i}(a_{t})+\sum _{t}\delta _{i}\delta _{s}(P_{t})a_{t}.}$

Desde

${\displaystyle \delta _{i}\delta _{s}=\delta _{s_{i}s}}$

o 0, se deduce que

${\displaystyle \sum _{t}\delta _{s}(P_{t})\,\delta _{i}(a_{t})\circ s_{i}=0}$

de modo que por la invertibilidad de N

${\displaystyle \delta _{i}(a_{t})=0}$

para todo i , es decir, un t _es invariante bajo W.

Como se indicó anteriormente, sea Φ un sistema de raíces en un espacio real con producto interno V , y Φ ⁺ un subconjunto de raíces positivas. A partir de estos datos obtenemos el subconjunto Δ = { α ₁ , α ₂ , ..., α _n } de las raíces simples, las co-raíces

${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee }=2(\alpha _{i},\alpha _{i})^{-1}\alpha _{i},}$

y los pesos fundamentales λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n como la base dual de las co-raíces.

Para cada elemento s en W , sea Δ _s el subconjunto de Δ que consta de las raíces simples que satisfacen s ⁻¹ α < 0, y pongamos

${\displaystyle \lambda _{s}=s^{-1}\sum _{\alpha _{i}\in \Delta _{s}}\lambda _{i},}$

donde la suma se calcula en la red de pesos P.

El conjunto de combinaciones lineales de las exponenciales e ^μ con coeficientes enteros para μ en P se convierte en un anillo sobre Z isomorfo al álgebra de grupo de P , o equivalentemente al anillo de representación R ( T ) de T , donde T es un toro maximal en K , el grupo de Lie semisimple compacto conexo y simplemente conexo con sistema de raíces Φ. Si W es el grupo de Weyl de Φ, entonces el anillo de representación R ( K ) de K puede identificarse con R ( T ) ^W .

Teorema de Steinberg . Las exponenciales λ _s ( s en W ) forman una base libre para el anillo de exponenciales sobre el subanillo de exponenciales W - invariantes.

Sea ρ la mitad de la suma de las raíces positivas, y A el operador de antisimetrización.

${\displaystyle A(\psi )=\sum _{s\in W}(-1)^{\ell (s)}s\cdot \psi .}$

Las raíces positivas β con s β positivo pueden verse como un conjunto de raíces positivas para un sistema de raíces en un subespacio de V ; las raíces son las ortogonales a s.λ _s . El grupo de Weyl correspondiente es igual al estabilizador de λ _s en W. Se genera mediante las reflexiones simples s _j para las cuales s α _j es una raíz positiva.

Sean M y N las matrices

${\displaystyle M_{ts}=t(\lambda _{s}),\,\,N_{st}=(-1)^{\ell (t)}\cdot t(\psi _{s}),}$

donde ψ _s viene dado por el peso s ⁻¹ ρ - λ _s . Entonces la matriz

${\displaystyle B_{s,s'}=\Omega ^{-1}(NM)_{s,s'}={A(\psi _{s}\lambda _{s'}) \over \Omega }}$

es triangular con respecto a cualquier orden total en W tal que s ≥ t implica${\displaystyle \ell (s)\geq \ell (t)}$Steinberg demostró que las entradas de B son sumas exponenciales invariantes bajo W. Además, todas sus entradas diagonales son iguales a 1, por lo que su determinante es 1. Por lo tanto, su inversa C tiene la misma forma. Definir

${\displaystyle \varphi _{s}=\sum C_{s,t}\psi _{t}.}$

Si χ es una suma exponencial arbitraria , entonces se deduce que

${\displaystyle \chi =\sum _{s\in W}a_{s}\lambda _{s}}$

con a _s la suma exponencial invariante W

${\displaystyle a_{s}={A(\varphi _{s}\chi ) \over \Omega }.}$

En efecto, esta es la única solución del sistema de ecuaciones.

${\displaystyle t\chi =\sum _{s\in W}t(\lambda _{s})\,\,a_{s}=\sum _{s}M_{t,s}a_{s}.}$

• Bernstein, IN; Gelfand, IM ; Gelfand, SI (1973), "Celdas de Schubert y la cohomología de los espacios G/P", Russian Math. Surveys , 28 (3): 1–26 , doi : 10.1070/RM1973v028n03ABEH001557 , S2CID 250748691 
• Billey, Sara C. (1999), "Polinomios de Kostant y el anillo de cohomología para G/B.", Duke Math. J. , 96 : 205– 224, CiteSeerX 10.1.1.11.8630 , doi : 10.1215/S0012-7094-99-09606-0 , S2CID 16184223  
• Bourbaki, Nicolas (1981), Groupes et algèbres de Lie, Capítulos 4, 5 y 6 , Masson, ISBN 978-2-225-76076-1
• Cartan, Henri ( 1950), "Notions d'algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie", Colloque de Topologie (Espaces Fibrés), Bruselas : 15-27
• Cartan, Henri (1950), "La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibré principal", Colloque de Topologie (Espaces Fibrés), Bruselas : 57– 71
• Chevalley, Claude (1955), "Invariantes de grupos finitos generados por reflexiones", Amer. J. Math. , 77 (4): 778– 782, doi : 10.2307/2372597 , JSTOR 2372597 
• Demazure, Michel (1973), "Invariants symétriques entiers des groupes de Weyl et torsion", Invent. Matemáticas. , 21 (4): 287– 301, Bibcode : 1973InMat..21..287D , doi : 10.1007/BF01418790 , S2CID 123253975 
• Greub, Werner; Halperin, Stephen; Vanstone, Ray (1976), Conexiones, curvatura y cohomología. Volumen III: Cohomología de haces principales y espacios homogéneos , Matemáticas Puras y Aplicadas, vol.  47-III, Academic Press
• Humphreys, James E. (1994), Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación (2.ª  ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90053-7
• Kostant, Bertram (1963), "Cohomología de álgebras de Lie y celdas de Schubert generalizadas", Ann. of Math. , 77 (1): 72– 144, doi : 10.2307/1970202 , JSTOR 1970202 
• Kostant, Bertram (1963), "Representaciones de grupos de Lie en anillos de polinomios" , Amer. J. Math. , 85 (3): 327–404 , doi : 10.2307/2373130 , JSTOR 2373130 
• Kostant, Bertram ; Kumar, Shrawan (1986), "El anillo de Hecke nulo y la cohomología de G/P para un grupo de Kac-Moody G.", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 83 (6): 1543–1545 , Bibcode : 1986PNAS...83.1543K , doi : 10.1073/pnas.83.6.1543 , PMC 323118 , PMID 16593661  
• Lascoux, Alain ; Schützenberger, Marcel-Paul (1982), "Polynômes de Schubert [polinomios de Schubert]", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 294 : 447– 450
• McLeod, John (1979), La fórmula de Kunneth en la teoría K equivariante , Lecture Notes in Math., vol.  741, Springer, pp . 316–333 
• Steinberg, Robert (1975), "Sobre un teorema de Pittie", Topology , 14 (2): 173–177 , doi : 10.1016/0040-9383(75)90025-7