Teorema de Krener

En matemáticas, el teorema de Krener es un resultado atribuido a Arthur J. Krener en la teoría del control geométrico sobre las propiedades topológicas de los conjuntos alcanzables de sistemas de control de dimensión finita. Afirma que cualquier conjunto alcanzable de un sistema generador de corchetes tiene interior no vacío o, equivalentemente, que cualquier conjunto alcanzable tiene interior no vacío en la topología de la órbita correspondiente . Heurísticamente, el teorema de Krener prohíbe que los conjuntos alcanzables sean peludos .

Dejar ${\displaystyle {\ }{\dot {q}}=f(q,u)}$ ser un sistema de control suave, donde ${\displaystyle {\ q}}$ pertenece a una variedad de dimensión finita${\displaystyle \ M}$y${\displaystyle \ u}$pertenece a un conjunto de control${\displaystyle \ U}$Consideremos la familia de campos vectoriales${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(\cdot ,u)\mid u\in U\}}$.

Dejar${\displaystyle \ \mathrm {Mentira} \,{\mathcal {F}}}$sea ​​el álgebra de Lie generada por${\displaystyle {\mathcal {F}}}$con respecto al corchete de Lie de campos vectoriales . Dado${\displaystyle \ q\in M}$, si el espacio vectorial${\displaystyle \ \mathrm {Mentira} _{q}\,{\mathcal {F}}=\{g(q)\mid g\in \mathrm {Mentira} \,{\mathcal {F}}\}}$es igual a${\displaystyle \ T_{q}M}$, entonces${\displaystyle \ q}$pertenece al cierre del interior del conjunto alcanzable de${\displaystyle \ q}$.

Incluso si${\displaystyle \mathrm {Mentira} _ {q}\,{\mathcal {F}}}$es diferente de${\displaystyle \ T_{q}M}$, el conjunto alcanzable de${\displaystyle \ q}$tiene interior no vacío en la topología de la órbita, como se deduce del teorema de Krener aplicado al sistema de control restringido a la órbita a través de${\displaystyle \ q}$.

Cuando todos los campos vectoriales en${\displaystyle \ {\mathcal {F}}}$son analíticos, ${\displaystyle \ \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}=T_{q}M}$si y solo si${\displaystyle \ q}$pertenece al cierre del interior del conjunto alcanzable de${\displaystyle \ q}$Esto es consecuencia del teorema de Krener y del teorema de la órbita .

Como corolario del teorema de Krener se puede demostrar que si el sistema es generador de corchetes y si el conjunto alcanzable de${\displaystyle \ q\in M}$es denso en${\displaystyle \ M}$, entonces el conjunto alcanzable de${\displaystyle \ q}$ en realidad es igual a${\displaystyle \ M}$.

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