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Kriyakramakari

Kriyakramakari ( Kriyā-kramakarī ) es un extenso comentario en sánscrito escrito por Sankara Variar y Narayana, dos astrónomos-matemáticos pertenecientes a la escuela de astrono...

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Kriyakramakari ( Kriyā-kramakarī ) es un extenso comentario en sánscrito escrito por Sankara Variar y Narayana, dos astrónomos-matemáticos pertenecientes a la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala , sobre el conocido libro de texto de matemáticas Lilavati de Bhaskara II . [ 1 ] Kriyakramakari ('Técnicas Operativas' [ 2 ] ), junto con Yuktibhasa de Jyeshthadeva , es una de las principales fuentes de información sobre la obra y las contribuciones de Sangamagrama Madhava , fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala . [ 3 ] Asimismo, las citas que aparecen en este tratado arrojan mucha luz sobre las contribuciones de varios matemáticos y astrónomos que florecieron en una época anterior. Hay varias citas atribuidas a Govindasvami, un astrónomo del siglo IX de Kerala. [ 4 ]

Sankara Variar (c. 1500 - 1560), primer autor de Kriyakramakari, fue discípulo de Nilakantha Somayaji y ayudante de templo de profesión. Fue un miembro destacado de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala. Entre sus obras se encuentra Yukti-dipika, un extenso comentario sobre Tantrasangraha de Nilakantha Somayaji. Narayana (c. 1540–1610), segundo autor, era un brahmán namputiri perteneciente a la familia Mahishamangalam en Puruvanagrama (Peruvanam en el actual distrito de Thrissur en Kerala ).

Sankara Variar escribió su comentario sobre el Lilavati hasta la estrofa 199. Variar lo completó hacia 1540, cuando dejó de escribir debido a otras preocupaciones. Tiempo después de su muerte, Narayana completó el comentario sobre las estrofas restantes del Lilavati.

Sobre el cálculo de π

Según la edición crítica de KV Sarma de Lilavati [ 5 ] basada en Kriyakramakari, la estrofa 199 de Lilavati se lee de la siguiente manera [ 6 ] ( se utiliza la convención Harvard-Kyoto para la transcripción de los caracteres indios):

vyAse bha-nanda-agni-hate vibhakte kha-bANa-sUryais paridhis sas sUkSmas/
dvAviMzati-ghne vihRte atha zailais sthUlas atha-vA syAt vyavahAra-yogyas//

Esto podría traducirse de la siguiente manera:

«Multiplica el diámetro por 3927 y divide el producto entre 1250; esto te dará la circunferencia más precisa. O bien, multiplica el diámetro por 22 y divide el producto entre 7; esto te dará la circunferencia aproximada que sirve para operaciones comunes.» [ 7 ]

Tomando este verso como punto de partida y comentándolo, Sanakara Variar, en su Kriyakrakari, explicó todos los detalles de las contribuciones de Sangamagrama Madhava para obtener valores precisos de π. Sankara Variar comentó de la siguiente manera:

"El maestro Madhava también mencionó un valor de la circunferencia más cercano [al valor verdadero] que ese: "Dioses [treinta y tres], ojos [dos], elefantes [ocho], serpientes [ocho], fuegos [tres], tres, cualidades [tres], Vedas [cuatro], nakshatras [veintisiete], elefantes [ocho], brazos [dos] (2.827.433.388.233)—los sabios dijeron que esta es la medida de la circunferencia cuando el diámetro de un círculo es nueve nikharva [10¹¹]." Sankara Variar dice aquí que el valor de Madhava 2.827.433.388.233 / 900.000.000.000 es más preciso que "ese", es decir, más preciso que el valor tradicional para π." [ 3 ]

Sankara Variar cita entonces un conjunto de cuatro versos de Madhava que prescriben un método geométrico para calcular el valor de la circunferencia de un círculo . Esta técnica consiste en calcular los perímetros de polígonos circunscritos regulares sucesivos , comenzando con un cuadrado .

Una serie infinita para π

A continuación, Sankara Variar describe un método más sencillo, propuesto por Madhava, para calcular el valor de π.

"Él (Madhava) menciona una forma más sencilla de obtener la circunferencia. Es decir:
Sumar o restar alternativamente el diámetro multiplicado por cuatro y dividido en orden por los números impares como tres, cinco, etc., al diámetro multiplicado por cuatro y dividido por uno.
Suponiendo que la división se completa dividiendo por un número impar, cualquiera que sea el número par que está encima [al lado] de ese [número impar], la mitad de ese es el multiplicador del último [término].
El cuadrado de ese número par, incrementado en 1, es el divisor del diámetro multiplicado por 4, como antes. El resultado de estos dos términos (el multiplicador y el divisor) se suma cuando el término anterior es negativo y se resta cuando es positivo.
El resultado es una circunferencia precisa. Si la división se repite muchas veces, se volverá muy precisa." [ 3 ]

Para traducir estos versos a notaciones matemáticas modernas, sea C la circunferencia y D el diámetro de un círculo . Entonces, el método más sencillo de Madhava para hallar C se reduce a la siguiente expresión para C:

C = 4D/1 - 4D/3 + 4D/5 - 4D/7 + ...

Esta es esencialmente la serie conocida como la serie de Gregory-Leibniz para π. Después de enunciar esta serie, Sankara Variar la complementa con una elaborada justificación geométrica para su derivación. [ 3 ]

Una serie infinita para la arcotangente

La teoría se desarrolla aún más en Kriyakramakari. En ella se aborda el problema de derivar una serie similar para el cálculo de un arco de círculo arbitrario. Esto da como resultado la expansión en serie infinita de la función arcotangente . Este resultado también se atribuye a Madhava.

"Ahora bien, mediante el mismo argumento, se puede determinar el arco de un seno deseado. Esto se hace de la siguiente manera:
El primer resultado es el producto del seno deseado y el radio dividido por el coseno. Cuando se ha hecho el cuadrado del seno como multiplicador y el cuadrado del coseno como divisor,
Ahora se debe determinar un grupo de resultados a partir de los resultados [anteriores] comenzando por el primero. Cuando estos se dividen en orden por los números impares 1, 3, y así sucesivamente,
y cuando se haya restado la suma de los resultados pares de la suma de los impares, [ese] debería ser el arco. Aquí, se requiere que el menor de los senos y cosenos se considere como el seno deseado.
De lo contrario, no habría terminación de los resultados incluso si se [calcularan] repetidamente." [ 3 ]

Las fórmulas anteriores establecen que si para un arco arbitrario θ de un círculo de radio R se conocen el seno y el coseno , y si suponemos que sen  θ < cos θ, entonces tenemos:

θ = (R sen θ)/(1 cos θ) − (R sen 3 θ)/(3 cos 3 θ) + (R sen 5 θ)/(5 cos 5 θ) − (R sen 7 θ)/(7 cos 7 θ)+ . . .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Sternbach, Ludwik. "Reseña de Lilavati de Bhaskaracarya con Kriyakramakari" (PDF) . Revista de la Sociedad Oriental Americana. Archivado del original (PDF) el 27 de julio de 2011. Consultado el 5 de marzo de 2011 .
  2. ↑ Joseph, George Gheverghese. "El desarrollo de las series infinitas en tres culturas: antecedentes y logros internos" . Consultado el 5 de marzo de 2011 .
  3. 1 2 3 4 5 Plofker, Kim (18 de enero de 2009). Matemáticas en la India . Princeton: Princeton University Press . págs. 221–248 . ISBN  978-0-691-12067-6.
  4. ↑ Hayashi, Takao (2000). "Reglas aritméticas de Govindasvami citadas en el Kriyakramakari de Sankara y Narayana" (PDF) . Indian Journal of History of Science . 35 (3): 189–231 . Archivado del original (PDF) el 21 de julio de 2011. Recuperado el 5 de marzo de 2011 .
  5. ^ Sarma, KV (1975). Lilavati editó con el comentario Kriyakramakari de Sankara y Narayana . Hoshiarpur: Instituto de Investigación Védica Vishveshvaranand.
  6. ^ Hayashi, Takao. "Texto electrónico del Lilavati de Bhaskara II" . Consultado el 5 de marzo de 2011 .
  7. ↑ John, Taylor (1816). Lilawati o tratado sobre aritmética y geometría . pág. 94.