Yuktibhāṣā

Yuktibhāṣā ( malayalam : യുക്തിഭാഷ , iluminado.  'Rationale'), también conocido como Gaṇita-yukti-bhāṣā ^{[1] : xxi} y Gaṇitanyāyasaṅgraha ( inglés: Compendium of Astronomical Rationale ), es un importante tratado sobre matemáticas y astronomía , escrito por elastrónomo indio Jyesthadeva de la escuela de matemáticas de Kerala alrededor de 1530. ^[2] El tratado, escrito en malayalam, es una consolidación de los descubrimientos de Madhava de Sangamagrama , Nilakantha Somayaji , Parameshvara , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati y otros astrónomos-matemáticos de la escuela de Kerala. ^[2] También existe una versión sánscrita, con autor y fecha poco claros, compuesta como una traducción aproximada del original malayalam. ^[1]

La obra contiene pruebas y derivaciones de los teoremas que presenta. Los historiadores modernos solían afirmar, basándose en las primeras obras de matemáticas indias que se hicieron accesibles, que los primeros estudiosos indios en astronomía y computación carecían de pruebas, ^[3] pero Yuktibhāṣā demuestra lo contrario. ^[4]

Algunos de sus temas importantes incluyen las expansiones de funciones en series infinitas ; series de potencias , incluidas π y π/4; series trigonométricas de seno , coseno y arcotangente ; series de Taylor , incluidas aproximaciones de segundo y tercer orden de seno y coseno ; radios, diámetros y circunferencias.

Yuktibhāṣā principalmente da fundamentos para los resultados en el Tantra Samgraha de Nilakantha . ^[5] Se considera un texto temprano para dar algunas ideas de cálculo como Taylor y la serie infinita, anterior a Newton y Leibniz por dos siglos. ^{[6] [7] [8] [9]} El tratado pasó desapercibido fuera de la India, ya que fue escrito en el idioma local de Malayalam. En los tiempos modernos, debido a una cooperación internacional más amplia en matemáticas, el resto del mundo ha tomado nota de la obra. Por ejemplo, tanto la Universidad de Oxford como la Royal Society de Gran Bretaña han atribuido teoremas matemáticos pioneros de origen indio que son anteriores a sus contrapartes occidentales. ^{[7] [8] [9]}

Yuktibhāṣā contiene la mayoría de los desarrollos de la escuela anterior de Kerala, particularmente Madhava y Nilakantha . El texto está dividido en dos partes: la primera trata del análisis matemático y la segunda de la astronomía. ^[2] Más allá de esto, el texto continuo no tiene ninguna división adicional en temas o tópicos, por lo que las ediciones publicadas dividen la obra en capítulos según el criterio editorial. ^{[1] : xxxvii}

Estos temas tratados en la parte matemática del Yuktibhāṣā se pueden dividir en siete capítulos: ^{[1] : xxxvii}

1. parikarma : logística (las ocho operaciones matemáticas)
2. daśapraśna : diez problemas relacionados con la logística
3. bhinnagaṇita : aritmética de fracciones
4. trairāśika : regla de tres
5. kuṭṭakāra : pulverización (ecuaciones lineales indeterminadas)
6. paridhi-vyāsa : relación entre circunferencia y diámetro: series infinitas y aproximaciones para la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo
7. jyānayana : derivación de Rsines: series infinitas y aproximaciones para senos. ^[10]

Los primeros cuatro capítulos del libro contienen matemáticas elementales, como la división, el teorema de Pitágoras , las raíces cuadradas , etc. ^[11] Las ideas novedosas no se tratan hasta el sexto capítulo sobre la circunferencia de un círculo . Yuktibhāṣā contiene una derivación y prueba de la serie de potencias de la tangente inversa , descubierta por Madhava. ^[5] En el texto, Jyesthadeva describe la serie de Madhava de la siguiente manera:

El primer término es el producto del seno y el radio del arco deseados dividido por el coseno del arco. Los términos siguientes se obtienen mediante un proceso de iteración en el que el primer término se multiplica repetidamente por el cuadrado del seno y se divide por el cuadrado del coseno. A continuación, todos los términos se dividen por los números impares 1, 3, 5, ... El arco se obtiene sumando y restando respectivamente los términos de rango impar y los de rango par. Se establece que el seno del arco o el de su complemento, el que sea menor, se debe tomar aquí como el seno dado. De lo contrario, los términos obtenidos mediante esta iteración anterior no tenderán a la magnitud que se desvanece.

En notación matemática moderna,

${\displaystyle r\theta ={r{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}-{\frac {r}{3}}{\frac {\sin ^{3}\theta }{\cos ^{3}\theta }}+{\frac {r}{5}}{\frac {\sin ^{5}\theta }{\cos ^{5}\theta }}-{\frac {r}{7}}{\frac {\sin ^{7}\theta }{\cos ^{7}\theta }}+\cdots }$

o, expresado en términos de tangentes,

${\displaystyle \theta =\tan \theta -{\frac {1}{3}}\tan ^{3}\theta +{\frac {1}{5}}\tan ^{5}\theta -\ cpuntos \ ,}$

que en Europa se llamó convencionalmente serie de Gregory en honor a James Gregory , quien la redescubrió en 1671.

El texto también contiene la expansión de la serie infinita de π de Madhava , que obtuvo a partir de la expansión de la función arco-tangente.

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}+\cdots \ ,}$

que en Europa se llamó convencionalmente serie de Leibniz , en honor a Gottfried Leibniz, quien la redescubrió en 1673.

Utilizando una aproximación racional de esta serie, dio valores del número π como 3,14159265359, correcto a 11 decimales, y como 3,1415926535898, correcto a 13 decimales.

El texto describe dos métodos para calcular el valor de π. Primero, se obtiene una serie que converge rápidamente transformando la serie infinita original de π. Al hacerlo, los primeros 21 términos de la serie infinita

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Se utilizó para calcular la aproximación a 11 decimales. El otro método consistía en añadir un término residual a la serie original de π. El término residual se utilizó en la expansión de la serie infinita de para mejorar la aproximación de π a 13 decimales de precisión cuando n = 76. ${\textstyle {\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}}$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$

Aparte de estos, el Yuktibhāṣā contiene muchos temas matemáticos elementales y complejos, incluidos, ^{[ cita requerida ]}

• Pruebas para la expansión de las funciones seno y coseno
• Las fórmulas de suma y diferencia de seno y coseno
• Soluciones enteras de sistemas de ecuaciones lineales (resueltas mediante un sistema conocido como kuttakaram )
• Derivaciones geométricas de series
• Primeros enunciados de las series de Taylor para algunas funciones

Los capítulos ocho a diecisiete tratan temas de astronomía: órbitas planetarias , esferas celestes , ascensión , declinación , direcciones y sombras, triángulos esféricos , elipses y corrección de paralaje . La teoría planetaria descrita en el libro es similar a la adoptada posteriormente por el astrónomo danés Tycho Brahe . ^[12] Los temas tratados en los ocho capítulos son el cálculo de las longitudes medias y verdaderas de los planetas, la Tierra y las esferas celestes, quince problemas relacionados con la ascensión, la declinación, la longitud, etc., la determinación del tiempo, el lugar, la dirección, etc., a partir de la sombra gnomónica, los eclipses, Vyatipata (cuando el Sol y la Luna tienen la misma declinación), la corrección de la visibilidad de los planetas y las fases de la luna. ^[10]

En concreto, ^{[1] : xxxviii}

8. grahagati : movimiento planetario, bhagola : esfera del zodíaco, madhyagraha : planetas medios, sūryasphuṭa : sol verdadero, grahasphuṭa : planetas verdaderos
9. bhū-vāyu-bhagola : esferas de la tierra, atmósfera y asterismos, ayanacalana : precesión de los equinoccios
10. pañcadaśa-praśna : quince problemas relacionados con triángulos esféricos
11. dig-jñāna : orientación, chāyā-gaṇita : cálculos de sombras, lagna : punto de salida de la eclíptica , nati-lambana : paralajes de latitud y longitud
12. grahaṇa : eclipse
13. Vyatipata
14. Corrección de la visibilidad de los planetas
15. Cúspides de la luna y fases de la luna

La importancia de Yuktibhāṣā fue traída a la atención de la erudición moderna por CM Whish en 1832 a través de un artículo publicado en las Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland . ^[4] La parte matemática del texto, junto con notas en malabar, fue publicada por primera vez en 1948 por Rama Varma Thampuran y Akhileswara Aiyar. ^{[2] [13]}

La primera edición crítica de todo el texto en malayalam, junto con una traducción al inglés y notas explicativas detalladas, fue publicada en dos volúmenes por Springer ^[14] en 2008. ^[1] Un tercer volumen, que contiene una edición crítica del Ganitayuktibhasa en sánscrito, fue publicado por el Instituto Indio de Estudios Avanzados de Shimla en 2009. ^{[15] [16] [17] [18]}

Esta edición de Yuktibhasa se ha dividido en dos volúmenes: el Volumen I trata de las matemáticas y el Volumen II trata de la astronomía. Cada volumen se divide en tres partes: la primera parte es una traducción al inglés de la parte malayalam relevante de Yuktibhasa , la segunda parte contiene notas explicativas detalladas sobre la traducción y en la tercera parte se reproduce el texto en el original malayalam . La traducción al inglés es de KV Sarma y las notas explicativas las proporcionan K. Ramasubramanian, MD Srinivas y MS Sriram. ^[1]

La Fundación Sayahna publica una edición de acceso abierto de Yuktibhasa en 2020. ^[19]

• Ganita-yukti-bhasa
• Término de corrección de Madhava
• Matemáticas indias
• Escuela de Kerala

• Biografía de Jyesthadeva – Facultad de Matemáticas y Estadística de la Universidad de St Andrews, Escocia