Fórmula límite de Kronecker

En matemáticas, la fórmula clásica del límite de Kronecker describe el término constante en s = 1 de una serie de Eisenstein analítica real (o función zeta de Epstein ) en términos de la función eta de Dedekind . Existen muchas generalizaciones de esta fórmula para series de Eisenstein más complicadas. Recibe su nombre en honor a Leopold Kronecker .

La (primera) fórmula límite de Kronecker establece que

${\displaystyle E(\tau ,s)={\pi \over s-1}+2\pi (\gamma -\log(2)-\log({\sqrt {y}}|\eta (\tau )|^{2}))+O(s-1),}$

dónde

• E (τ, s ) es la serie analítica real de Eisenstein, dada por

${\displaystyle E(\tau ,s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{y^{s} \sobre |m\tau +n|^{2s}}}$

para Re( s ) > 1, y por continuación analítica para otros valores del número complejo s .

• γ es la constante de Euler-Mascheroni
• τ = x + iy con y > 0.
• ${\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})}$, con q = e ^{2π i τ} es la función eta de Dedekind .

Así, la serie de Eisenstein tiene un polo en s = 1 de residuo π, y la (primera) fórmula del límite de Kronecker da el término constante de la serie de Laurent en este polo.

Esta fórmula tiene una interpretación en términos de la geometría espectral de la curva elíptica asociada a la red : dice que el determinante regularizado zeta del operador de Laplace asociado a la métrica plana en está dado por . Esta fórmula se ha utilizado en teoría de cuerdas para el cálculo de un bucle en el enfoque perturbativo de Polyakov .${\displaystyle E_{\tau}}$${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$${\estilo de visualización \Delta}$${\displaystyle {\frac {1}{y}}|dz|^{2}}$${\displaystyle E_{\tau}}$${\displaystyle 4y|\eta (\tau )|^{4}}$

La segunda fórmula del límite de Kronecker establece que

${\displaystyle E_{u,v}(\tau ,1)=-2\pi \log |f(uv\tau ;\tau )q^{v^{2}/2}|,}$

dónde

• u y v son reales y no ambos enteros.
• q = e ^{2π i τ} y q ^a = e ^{2π i a τ}
• p = e ^{2π i z} y p ^a = e ^{2π i az}
• ${\displaystyle E_{u,v}(\tau ,s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}e^{2\pi i(mu+nv)}{y^{s} \over |m\tau +n|^{2s}}}$

para Re( s ) > 1, y se define por continuación analítica para otros valores del número complejo s .

• ${\displaystyle f(z,\tau )=q^{1/12}(p^{1/2}-p^{-1/2})\prod_{n\geq 1}(1-q^{n}p)(1-q^{n}/p).}$

• Función de Herglotz-Zagier

• Serge Lang , Funciones elípticas , ISBN  0-387-96508-4
• CL Siegel , Conferencias sobre teoría analítica avanzada de números, Instituto Tata 1961.

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