Serie analítica real de Eisenstein

Considerado como una función de${\displaystyle z=x+iy}$,${\displaystyle E(z,s)}$es una autofunción analítica real del operador de Laplace en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$con valor propio${\displaystyle s(s-1)}$En otras palabras, satisface la ecuación diferencial parcial elíptica .

${\displaystyle -y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)E(z,s)=s(1-s)E(z,s).}$

La función${\displaystyle E(z,s)}$es invariante bajo la acción de${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$en${\displaystyle z}$en el semiplano superior mediante transformaciones lineales fraccionarias . Junto con la propiedad anterior, esto significa que la serie de Eisenstein es una forma de Maass , un análogo analítico real de una función modular elíptica clásica .

Tenga en cuenta que${\displaystyle E(z,s)}$no es una función de cuadrado integrable de${\displaystyle z}$con respecto a la métrica riemanniana invariante en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

La serie de Eisenstein converge para${\displaystyle \Re (s)>1}$, pero puede continuarse analíticamente a una función meromorfa de${\displaystyle s}$en todo el plano complejo, con un polo único de residuo${\displaystyle 3/\pi }$en${\displaystyle s=1}$en el semiplano${\displaystyle \Re (s)>1/2}$(a pesar de${\displaystyle z\in {\mathcal {H}}}$) e infinitos polos en la franja${\displaystyle 0<\Re (s)<1/2}$en${\displaystyle \rho /2}$, dónde${\displaystyle \rho }$corresponde a un cero no trivial de la función zeta de Riemann. El término constante del polo en${\displaystyle s=1}$se describe mediante la fórmula del límite de Kronecker .

La función modificada

${\displaystyle E^{*}(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)E(z,s)}$

satisface la ecuación funcional

${\displaystyle E^{*}(z,s)=E^{*}(z,1-s),}$

análoga a la ecuación funcional para la función zeta de Riemann.

El producto escalar de dos series de Eisenstein diferentes${\displaystyle E(z,s)}$y${\displaystyle E(z,t)}$viene dada por las relaciones de Maass-Selberg .

Las propiedades anteriores de la serie analítica real de Eisenstein, es decir, la ecuación funcional para${\displaystyle E(z,s)}$y${\displaystyle E^{*}(z,s)}$usando el laplaciano en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, se demuestran a partir del hecho de que${\displaystyle E(z,s)}$tiene una expansión de Fourier

${\displaystyle E(z,s)=y^{s}+{\frac {\Lambda (2s-1)}{\Lambda (2s)}}y^{1-s}+{\frac {4}{\Lambda (2s)}}\sum _{n=1}^{\infty }n^{s-1/2}\sigma _{1-2s}(n){\sqrt {y}}\,K_{s-1/2}(2\pi ny)\cos(2\pi nx),}$

dónde

${\displaystyle \Lambda (s)=\pi ^{-s/2}\Gamma {\biggl (}{\frac {s}{2}}{\biggr )}\zeta (s),\quad \sigma _{s}(m)=\sum _{d|m}d^{s},}$

y${\displaystyle K_{s}(z)}$son las funciones de Bessel modificadas

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{s}(z)&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-(z/2)(t+1/t)}t^{s-1}dt\\&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\quad (z\rightarrow \infty ).\end{aligned}}}$