Lema de Artin-Rees

En matemáticas , el lema de Artin - Rees es un resultado fundamental sobre módulos sobre un anillo noetheriano , junto con resultados como el teorema de la base de Hilbert . Fue demostrado en la década de 1950 en trabajos independientes de los matemáticos Emil Artin y David Rees ; ^{[ 1 ] [ 2 ]} Oscar Zariski ya conocía un caso especial antes de su trabajo.

Una caracterización intuitiva del lema implica la noción de que un submódulo N de un módulo M sobre algún anillo A con ideal I especificado posee a priori dos topologías: una inducida por la topología en M, y la otra cuando se considera con la topología I-ádica sobre A. Entonces, Artin-Rees dicta que estas topologías coinciden, al menos cuando A es noetheriano y M es finitamente generado.

Una consecuencia del lema es el teorema de intersección de Krull . El resultado también se utiliza para demostrar la propiedad de exactitud de la completitud . ^{[ 3 ]} El lema también juega un papel clave en el estudio de haces ℓ-ádicos .

Sea I un ideal en un anillo noetheriano R ; sea M un R -módulo finitamente generado y sea N un submódulo de M. Entonces existe un entero k  ≥  1 tal que, para n  ≥ k , 

${\displaystyle I^{n}M\cap N=I^{nk}(I^{k}M\cap N).}$

El lema se deduce inmediatamente del hecho de que R es noetheriano una vez que se establecen las nociones y notaciones necesarias. ^{[ 4 ]}

Para cualquier anillo R y un ideal I en R , definimos${\textstyle B_{I}R=\bigoplus _ {n=0}^{\infty }I^{n}}$( B de explosión.) Decimos que es una secuencia decreciente de submódulos${\displaystyle M=M_{0}\supset M_{1}\supset M_{2}\supset \cdots }$es una filtración I si${\displaystyle IM_{n}\subset M_{n+1}}$; además, es estable si${\displaystyle IM_{n}=M_{n+1}}$para n suficientemente grande . Si a M se le da una I- filtración, establecemos${\textstyle B_ {I} M = \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} M_ {n}}$; es un módulo graduado sobre${\displaystyle B_{I}R}$.

Ahora bien, sea M un R -módulo con la filtración I.${\displaystyle M_{i}}$mediante R -módulos generados finitamente . Hacemos una observación

${\displaystyle B_{I}M}$es un módulo generado finitamente sobre${\displaystyle B_{I}R}$si y solo si la filtración es I- estable.

De hecho, si la filtración es I- estable, entonces${\displaystyle B_{I}M}$es generado por el primero${\displaystyle k+1}$términos${\displaystyle M_{0},\dots ,M_{k}}$y esos términos se generan de forma finita; por lo tanto,${\displaystyle B_{I}M}$es finitamente generado. Recíprocamente, si es finitamente generado, entonces es generado por${\textstyle \bigoplus _ {j=0}^{k}M_ {j}}$para algunos${\displaystyle k\geq 0}$. Entonces, para${\displaystyle n>k}$, cada f en${\displaystyle M_{n}}$se puede escribir como $${\displaystyle f=\sum a_{j}g_{j},\quad a_{j}\in I^{nj}}$$ con${\displaystyle g_{j}}$en${\displaystyle M_{j},j\leq k}$. Eso es,${\displaystyle f\in I^{nk}M_{k}}$.

Ahora podemos demostrar el lema, suponiendo que R es noetheriano. Sea${\displaystyle M_{n}=I^{n}M}$. Entonces${\displaystyle M_{n}}$son una filtración I- estable. Por lo tanto, por la observación,${\displaystyle B_{I}M}$se genera de forma finita sobre${\displaystyle B_{I}R}$. Pero${\displaystyle B_{I}R\simeq R[It]}$es un anillo noetheriano ya que R lo es. (El anillo${\displaystyle R[Eso]}$se llama álgebra de Rees .) Por lo tanto,${\displaystyle B_{I}M}$es un módulo noetheriano y cualquier submódulo se genera finitamente sobre${\displaystyle B_{I}R}$; En particular,${\displaystyle B_{I}N}$se genera de forma finita cuando a N se le da la filtración inducida; es decir,${\displaystyle N_{n}=M_{n}\cap N}$. Entonces, la filtración inducida vuelve a ser I -estable según la observación.

Además de su uso en la completación de un anillo, una aplicación típica del lema es la demostración del teorema de intersección de Krull, que dice:${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}=0}$para un ideal propio I en un anillo noetheriano conmutativo que es un anillo local o un dominio de integridad . Por el lema aplicado a la intersección${\displaystyle N}$, encontramos k tal que para${\displaystyle n\geq k}$, $${\displaystyle I^{n}\cap N=I^{nk}(I^{k}\cap N).}$$ Tomando${\displaystyle n=k+1}$, esto significa${\displaystyle I^{k+1}\cap N=I(I^{k}\cap N)}$o${\displaystyle N=IN}$. Por lo tanto, si A es local,${\displaystyle N=0}$por el lema de Nakayama . Si A es un dominio de integridad, entonces se utiliza el truco del determinante ^{[ 5 ]} (es decir, una variante del teorema de Cayley-Hamilton que produce el lema de Nakayama ):

En la configuración aquí, tomemos u como el operador identidad en N ; eso producirá un elemento no nulo x en A tal que${\displaystyle xN=0}$, lo cual implica${\displaystyle N=0}$, como${\displaystyle x}$es un divisor distinto de cero.

Tanto para un anillo local como para un dominio integral, el "noetheriano" no puede eliminarse de la suposición: para el caso del anillo local, véase anillo local#Caso conmutativo . Para el caso del dominio integral, véase${\displaystyle A}$ser el anillo de enteros algebraicos (es decir, la clausura integral de${\displaystyle \mathbb {Z} }$en${\displaystyle \mathbb {C} }$). Si${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$Si A es un ideal primo de A , entonces tenemos:${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{n}={\mathfrak {p}}}$para cada entero${\displaystyle n>0}$. De hecho, si${\displaystyle y\in {\mathfrak {p}}}$, entonces${\displaystyle y=\alpha ^{n}}$para algún número complejo${\displaystyle \alpha }$. Ahora,${\displaystyle \alpha }$es integral sobre${\displaystyle \mathbb {Z} }$; así en${\displaystyle A}$y luego en${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, lo que demuestra la afirmación.

Tanto el caso del anillo noetheriano como el del anillo noetheriano como dominio integral son consecuencias de una versión más general del teorema de intersección de Krull, que también es consecuencia del lema de Artin-Rees y Nakayama: ^{[ 6 ]}

• Rees, David (1956). "Dos teoremas clásicos de la teoría de ideales". Actas Matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 52 (1): 155– 157. Bibcode : 1956PCPS...52..155R . doi : 10.1017/s0305004100031091 . S2CID 121827047 . 
• Sharp, RY (2015). "David Rees. 29 de mayo de 1918 — 16 de agosto de 2013" . Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society . 61 : 379–401 . doi : 10.1098/rsbm.2015.0010 . S2CID 123809696 . 
• Atiyah, Michael Francis ; MacDonald, IG (1969). Introducción al álgebra conmutativa . Westview Press. págs. 107–109 . ISBN  978-0-201-40751-8.
• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  150. Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-5350-1 . ISBN 0-387-94268-8.
• Conrad, Brian ; de Jong, Aise Johan (2002). "Aproximación de deformaciones versales" (PDF) . Journal of Algebra . 255 (2): 489– 515. doi : 10.1016/S0021-8693(02)00144-8 . MR 1935511 . ofrece una versión de alguna manera más precisa del lema de Artin-Rees.

• "Teorema de Artin-Rees" . PlanetMath .