Álgebra de Rees

En álgebra conmutativa , el álgebra de Rees o anillo de Rees de un ideal I en un anillo conmutativo R se define como

${\displaystyle R[It]=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}t^{n}\subseteq R[t].}$

El álgebra de Rees extendida de I (a la que algunos autores ^[1] denominan álgebra de Rees de I ) se define como

${\displaystyle R[It,t^{-1}]=\bigoplus _{n=-\infty }^{\infty }I^{n}t^{n}\subseteq R[t,t^{-1}].}$

Esta construcción tiene especial interés en geometría algebraica ya que el esquema proyectivo definido por el álgebra de Rees de un ideal en un anillo es la explosión del espectro del anillo a lo largo del subesquema definido por el ideal. ^[2]

El álgebra de Rees es un álgebra sobre , y está definida de modo que, cociente por o t=λ para λ cualquier elemento invertible en R , obtenemos${\displaystyle \mathbb {Z} [t^{-1}]}$$estilo de visualización t^{-1}=0}$

${\displaystyle {\text{gr}}_{I}R\ \leftarrow \ R[It]\ \to \ R.}$

Por lo tanto, se interpola entre R y su anillo graduado asociado gr _I R .

• Supongamos que R es noetheriano ; entonces R[It] también es noetheriano. La dimensión de Krull del álgebra de Rees es si I no está contenido en ningún ideal primo P con ; en caso contrario . La dimensión de Krull del álgebra de Rees extendida es . ^[3]${\displaystyle \dim R[It]=\dim R+1}$${\displaystyle \dim(R/P)=\dim R}$${\displaystyle \dim R[It]=\dim R}$${\displaystyle \dim R[It,t^{-1}]=\dim R+1}$
• Si son ideales en un anillo noetheriano R , entonces la extensión del anillo es integral si y sólo si J es una reducción de I . ^[3]${\displaystyle J\subseteq I}$${\displaystyle R[Jt]\subseteq R[It]}$
• Si I es un ideal en un anillo noetheriano R , entonces el álgebra de Rees de I es el cociente del álgebra simétrica de I por su submódulo de torsión .

El anillo graduado asociado de I puede definirse como

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(R)=R[It]/IR[It].}$

Si R es un anillo local noetheriano con ideal máximo , entonces el anillo de fibra especial de I está dado por${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{I}(R)=R[It]/{\mathfrak {m}}R[It].}$

La dimensión de Krull del anillo de fibra especial se denomina dispersión analítica de I.

• Weisstein, Eric W. "Anillo de Rees". MathWorld . Consultado el 31 de agosto de 2024 .
• ¿Qué es el álgebra de Rees de un módulo?
• Geometría detrás del álgebra de Rees (deformación del cono normal)