Teorema de Krull

En matemáticas , y más específicamente en teoría de anillos , el teorema de Krull , que lleva el nombre de Wolfgang Krull , afirma que un anillo no nulo ^{[ 1 ]} tiene al menos un ideal maximal . El teorema fue demostrado en 1929 por Krull, quien utilizó inducción transfinita . El teorema admite una demostración sencilla utilizando el lema de Zorn , y de hecho es equivalente al lema de Zorn , ^{[ 2 ]} que a su vez es equivalente al axioma de elección .

• Para anillos no conmutativos , también se cumplen los análogos para ideales izquierdos máximos e ideales derechos máximos.
• Para los pseudoanillos , el teorema se cumple para ideales regulares .
• Un resultado aparentemente un poco más contundente (pero equivalente), que puede demostrarse de forma similar, es el siguiente:

Sea R un anillo, y sea I un ideal propio de R. Entonces existe un ideal maximal de R que contiene a I.

El enunciado del teorema original se obtiene tomando I como el ideal cero (0). Recíprocamente, al aplicar el teorema original a R / I se llega a este resultado.

Para demostrar directamente el resultado "más fuerte", consideremos el conjunto S de todos los ideales propios de R que contienen a I. El conjunto S no es vacío ya que I ∈ S. Además, para cualquier cadena T de S , la unión de los ideales en T es un ideal J , y una unión de ideales que no contiene a 1 no contiene a 1, por lo que J ∈ S. Por el lema de Zorn, S tiene un elemento maximal M. Este M es un ideal maximal que contiene a I.

• Krull, W. (1929). "Teoría ideal en Ringen ohne Endlichkeitsbedingungen". Annalen Matemáticas . 101 (1): 729– 744. doi : 10.1007/BF01454872 . S2CID 119883473 . 
• Hodges, W. (1979). "Krull implica Zorn". Journal of the London Mathematical Society . s2-19 (2): 285– 287. doi : 10.1112/jlms/s2-19.2.285 .