Categoría de Krull-Schmidt

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, una categoría de Krull-Schmidt es una generalización de categorías en las que se cumple el teorema de Krull-Schmidt . Surgen, por ejemplo, en el estudio de módulos de dimensión finita sobre un álgebra .

Sea C una categoría aditiva , o más generalmente una categoría aditiva R -lineal para un anillo conmutativo R. Llamamos a C una categoría de Krull-Schmidt si todo objeto se descompone en una suma directa finita de objetos que tienen anillos de endomorfismos locales. Equivalentemente, C tiene idempotentes escindidos y el anillo de endomorfismos de todo objeto es semiperfecto . 

Existe un análogo del teorema de Krull-Schmidt en las categorías de Krull-Schmidt:

Un objeto se denomina indescomponible si no es isomorfo a una suma directa de dos objetos distintos de cero. En una categoría de Krull-Schmidt tenemos que

• Un objeto es indescomponible si y solo si su anillo de endomorfismos es local.
• Todo objeto es isomorfo a una suma directa finita de objetos indescomponibles.
• si${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2}\oplus \cdots \oplus X_{r}\cong Y_{1}\oplus Y_{2}\oplus \cdots \oplus Y_{s}}$donde el${\displaystyle X_{i}}$y${\displaystyle Y_{j}}$son todos indescomponibles, entonces${\displaystyle r=s}$y existe una permutación${\displaystyle \pi }$de tal manera que${\displaystyle X_{\pi (i)}\cong Y_{i}}$para todos yo .

Se puede definir el conjunto de características de Auslander-Reiten de una categoría de Krull-Schmidt.

• Una categoría abeliana en la que cada objeto tiene longitud finita . ^{[ 1 ]} Esto incluye como caso especial la categoría de módulos de dimensión finita sobre un álgebra.
• La categoría de módulos finitamente generados sobre un álgebra R finita ^{[ 2 ]} , donde R es un anillo local completo noetheriano conmutativo . ^{[ 3 ]}
• La categoría de haces coherentes en una variedad completa sobre un cuerpo algebraicamente cerrado . ^{[ 4 ]}

• Carcaj
• Sobre Karoubi

• Michael Atiyah (1956) Sobre el teorema de Krull-Schmidt con aplicación a gavillas . Bulletin de la Société Mathématique de France, volumen 84 (1956), págs. 307-317. doi:10.24033/bsmf.1475. https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.1475/
• Henning Krause, Categorías Krull-Remak-Schmidt y cubiertas proyectivas , mayo de 2012.
• Irving Reiner (2003) Órdenes maximales. Reimpresión corregida del original de 1975. Con prólogo de MJ Taylor. Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Nueva serie, 28. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford. ISBN 0-19-852673-3.
• Claus Michael Ringel (1984) Álgebras domesticadas y formas cuadráticas integrales , Lecture Notes in Mathematics 1099 , Springer-Verlag, 1984.