Congruencia de Kummer

En matemáticas , las congruencias de Kummer son algunas congruencias que involucran números de Bernoulli , encontradas por Ernst Eduard Kummer. ^{[ 1 ]}

Kubota y Leopoldt (1964) utilizaron las congruencias de Kummer para definir la función zeta p-ádica . ^{[ 2 ]}

La forma más simple de la congruencia de Kummer establece que

${\displaystyle {\frac {B_{h}}{h}}\equiv {\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p}}{\text{ siempre que }}h\equiv k{\pmod {p-1}}}$

donde p es un número primo, h y k son enteros pares positivos no divisibles por p −1 y los números B _h son números de Bernoulli .

De forma más general, si h y k son enteros pares positivos no divisibles por p  −  1, entonces

${\displaystyle (1-p^{h-1}){\frac {B_{h}}{h}}\equiv (1-p^{k-1}){\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p^{a+1}}}}$

cuando sea

${\displaystyle h\equiv k{\pmod {\varphi (p^{a+1})}}}$

donde φ( p ^{a +1} ) es la función totiente de Euler , evaluada en p ^{a +1} y a es un entero no negativo. En a = 0, la expresión toma la forma más simple, como se ve arriba. Los dos lados de la congruencia de Kummer son esencialmente valores de la función zeta p-ádica , y las congruencias de Kummer implican que la función zeta p -ádica para enteros negativos es continua, por lo que puede extenderse por continuidad a todos los enteros p -ádicos.

• Teorema de Von Staudt-Clausen , otra congruencia que involucra números de Bernoulli
• Número de Bernoulli §  Los teoremas de Kummer

• Koblitz, Neal (1984),Números p -ádicos, análisis p -ádico y funciones zeta , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 58, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96017-3, MR 0754003