Teorema de la intersección de Kuratowski

En matemáticas , el teorema de intersección de Kuratowski es un resultado de topología general que proporciona una condición suficiente para que una secuencia anidada de conjuntos tenga una intersección no vacía . El resultado de Kuratowski es una generalización del teorema de intersección de Cantor . Mientras que el resultado de Cantor requiere que los conjuntos involucrados sean compactos , el resultado de Kuratowski permite que no lo sean, pero insiste en que su no compacidad "tiende a cero" en un sentido apropiado. El teorema recibe su nombre del matemático polaco Kazimierz Kuratowski , quien lo demostró en 1930.

Sea ( X , d ) un espacio métrico completo . Dado un subconjunto A ⊆ X , su medida de no compacidad de Kuratowski α ( A ) ≥ 0 se define por    

${\displaystyle \alpha (A)=\inf \left\{r\geq 0\left|{\begin{array}{c}A{\text{ puede ser cubierto por un número finito de subconjuntos}}\\{\text{de }}X{\text{, cada uno con diámetro como máximo }}r\end{array}}\right.\right\}.}$

Nótese que, si A es compacto, entonces α ( A )  =  0, puesto que toda cubierta de A por bolas abiertas de diámetro arbitrariamente pequeño tendrá una subcubierta finita. Lo contrario también es cierto: si α ( A )  =  0, entonces A debe ser precompacto , y de hecho compacto si A es cerrado. Además, si A es un subconjunto de B , entonces α ( A ) ≤ α ( B ). En cierto sentido, la cantidad α ( A ) es una descripción numérica de "cuán no compacto" es el conjunto A.  

Consideremos ahora una secuencia de conjuntos A _n ⊆ X , uno para cada número natural n . El teorema de intersección de Kuratowski afirma que si estos conjuntos no son vacíos, son cerrados , están anidados decrecientemente (es decir, A _{n +1} ⊆ A _n para cada n ) y α ( A _n ) → 0 cuando n → ∞ , entonces su intersección es infinita.        

${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

es un conjunto compacto no vacío.

El resultado también se cumple si se trabaja con la medida de no compacidad de bola o la medida de no compacidad de separación, ya que estas tres medidas de no compacidad son mutuamente equivalentes de Lipschitz; si alguna de ellas tiende a cero cuando n  → ∞ , entonces también deben hacerlo las otras dos. 

• Kuratowski, Kazimierz (1930). "Sur les espaces complets" . Fundamentos Mathematicae . 15 : 301– 309. doi : 10.4064/fm-15-1-301-309 .